2024年福建省莆田市第一中学高三下学期5月模拟考试数学试题

这是一份2024年福建省莆田市第一中学高三下学期5月模拟考试数学试题，共20页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知函数，若，则，已知，，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．
1．已知i是虚数单位，，，则（ ）．
A．5B．C．2D．4
2．已知各项均为正数的等比数列，若，则（ ）．
A．2B．3C．4D．9
3．在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）．
A．B．
C．D．
4．已知函数，若，则（ ）．
A．B．C．D．
5．抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．
A．B．C．4D．5
6．生活中很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如畚箕，其结构为如图所示的五面体ADEBCF，其中四边形ABFE与CDEF都为等腰梯形，ABCD为平行四边形，若面ABFE，且，记三棱锥的体积为，则该五面体的体积为（ ）．
A．B．C．D．
7．已知，，则（ ）．
A．B．C．D．
8．双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的左右两支分别交于M，N两点．若且，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题得目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9．已知一组正实数样本数据，满足，则（ ）．
A．样本数据的第80百分位数为
B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变
C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
D．将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的2倍
10．如图，在正方体中，P为棱AB上的动点，平面，Q为垂足，则（ ）．
A．
B．平面截正方体所得的截面可能为三角形
C．当P位于AB中点时三棱锥的外接球半径最大
D．线段DQ的长度随线段AP的长度增大而增大
11．已知，分别是函数和的零点，则（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，若，则实数__________．
13．从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有__________种．
14．已知函数，如图，A，B，C是曲线与坐标轴的三个交点，直线BC交曲线于点M，若直线AM，BM的斜率分别为，3，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线；
（2）讨论的单调性．
16．（15分）已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求；
（2）在数列的每相邻两项、之间依次插入、、…、，得到数列：、、、、、、、、、、…，求的前20项和．
17．（15分）如图所示的空间几何体是以AD为轴的圆柱与以ABCD为轴截面的半圆柱拼接而成，其中AD为半圆柱的母线，点G为弧CD的中点．
（1）求证：平面平面BCG；
（2）若，且平面BDF与平面ABG夹角的余弦值为，求点E到直线BG的距离．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，为左焦点，且的面积为．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN和直线QC的斜率）．
19．（17分）设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，
已知条件数学期望满足全期望公式．
解决如下问题：
为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
（1）求，；
（2）证明；
（3）已知，求，并结合（2）说明其实际含义．
附：对于随机变量X，．
参考答案
一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．
1．【答案】B
【解析】由题设有，而，故，，
故，故选：B．
2．【答案】C
【解析】由题意得．故选：C
法2．（特值法），则．
3．【答案】A
【解析】在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
，故选A．
4．【答案】D
【解析】因为的定义域为R，且，
所以为偶函数，
又当时，单调递增，且，
所以由可得，即，解得．故选D．
法2．，，所以符合题意排除AB，
又，不符合题意，排除C，选D．
5．【答案】A
【解析】转化为焦点到直线的距离．
6．【答案】C
【解析】（割补法）因为ABCD为平行四边形，所以，
所以．（等底同高）
记梯形ABFE的高为h，因为，
所以，
所以，（同高）
所以该五面体的体积．故选C．
7．【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，，
所以，所以，
所以．故选B．
法2．（特值法）令，则，选B．
令，则，选B．
8．【答案】D
【解析】由双曲线定义可知，，
设，则有，，，
由余弦定理可得，
整理可得：，故，，
则有，
整理可得：，．故选D．
【备注】可设，则，计算更简便．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题得目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9．【答案】BC
【解析】对于A，由10×80％＝8，所以样本数据的第80百分位数为，故A错误；
对于B，由题意存在这样一种可能，若，
则极差为，此时样本数据的极差不变，故B正确；
对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，
此时平均数大于中位数，故C正确；
对于D，，故错误．故选BC．
10．【答案】ABD
【解析】选项A，连接，CQ，则，，
因为，所以，选项A正确；
选项B，当P位于点A时，截面为三角形，选项B正确；
选项C，平面DCP，记的外接圆半径为r，则外接球半径，
由正弦定理得，当P位于AB中点时，，选项C错误；
选项D，为定值，
过P作于点M，过M作，则，
可知随AP的增大而变小，所以选项D正确．
CD选项可直观感知，再论证，寻找变化中的不变量．
【辨析】（1）存在点P使得；
（2）存在点Q，使得平面；
（3）点Q在圆上运动？
【练习】如图，在直三棱柱中，，，E、F分别为，的中点，过点A、E、F作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（ ）．
A．三棱柱外接球的表面积为
B．
C．若交于M，则
D．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为5∶4
【详解】如图所示：将该三棱柱视为正方体的一部分，
则三棱柱外接球的半径，，其表面积为，故A错误；
延长AF与交于点P，连接PE交于M，连接FM，则平面AEMF即为截面．
因为，F是中点，所以是PC的中点，
由与相似，得，得，
而E是的中点，所以ME与不平行且相交，所以与截面不平行，故B项错误；
因为，又，所以在中，，故C项正确；
延长PE交BC于点Q，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为
所以剩余部分的体积为，所以体积之比为，故D项错误．
故选AC．
11．【答案】BCD
【解析】思路1．（同构）令，得，即，，
令，得，即，即，，
记函数，，则，
所以函数在上单调递增，
因为，，所以，故A错误；
又，，所以，，
所以，故B正确；
所以，故C正确；
又，所以，结合，得，
因为，所以，且，
因为在区间上单调递减，所以，
即，故D正确．
【思路2】问题转化为函数图像，分别与交点问题，
由与互为反函数，图像关于直线对称；
图像本身关于对称，如图
点，，则，
依题意得．
选项B．所以
选项C．
可以发现选项BC等价，要么全对要么全错，而A错，则BC必然正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】1
【解析】由题知，，
若，则或，
当时，方程无解；当时，，解得：，
此时，，，符合题意，所以．故答案为：1．
13．【答案】54
【解析】理解关键词“若干人”的含义
①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果，余下的两个学科给剩下的两个人，有种结果，所以不同的安排方案共有种，
②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来，有种结果，再将四门不同学科分成两堆，有种结果，将学科分给学生，有种结果，
所以不同的安排方案共有种，综合得不同的安排方案共有种．
14．【答案】
【解析】关键在于逆用“五点法”
，，，，
则
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）当时，函数，
则，切点坐标为，
，则曲线在点处的切线斜率为，
所求切线方程为，即．
（2），函数定义域为R，
，
①，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
②，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
③，恒成立，在上单调递增．
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
16．【详解】（1）解：对任意的，因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合，
所以，．
（2）解：因为，，
所以当时，，
所以，，
所以，数列的前20项分别为：1、1、2、1、2、2、1、2、2、2、1、2、2、2、2、1、2、2、2、2，
所以的前20项是由6个1与14个2组成．所以．
【备注】6分处容易漏写，累加法，累乘法都需补充说明的情况．
17．【解析】【思路1】
（1）过G作交弧AB上一点，连结GB，
则G为弧AB的中点，则且，
所以四边形HBCG为平行四边形，所以．
由题意可知，，为等腰直角三角形，则．
因为G为弧AB的中点，则为等腰直角三角形，则，
所以，则．
因为，则．
又因为BC、面BCG，，所以平面BCG，
因为面BDF，所以平面平面BCG．
思路2．（建系简答）以A为原点，AF，AB，AD分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，
设，，，，，
则，，，，
设平面ABD和平面BCG的一个法向量为，，
由，可取，
由，可取，
所以，所以，所以平面平面BCG．
（2）如图所示建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，
则，，，，，
设平面BDF的一个法向量为，
则，即，令，．
设平面ABG的一个法向量为，
则，即，令，，
，解得，
所以，，，
则，，
，
所以点E到直线BG的距离为．
18．【解析】
【详解】（1）由题意得，
又，解得，
∴椭圆M的标准方程为．
（2）【分析】目标涉及直线QN，QC的斜率，考虑直接引进直线QC的斜率为参数进行运算更为直接．
【思路1．设线法】（设x型直线）直线，
依题意可设直线（且，（注：P不为椭圆顶点）
由，则，
所以，
由，
，所以，
由B，P，N三点共线得，即
，
所以，
所以．
【思路2．设线法】（设y型直线）
设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为：，
又，，直线AB的方程为，
由，解得，
所以，
由，得，
由，
则，所以，
则，
∴，
依题意B、P不重合，所以，即，
所以，
∴直线BP的方程为，
令，即，解得，
∴，
∴，
∴为定值．
【思路3．（设点法+椭圆参数方程）】设点，则，，，
由B，P，N三点共线得，
即，
，，
联立，得，
所以
所以
【思路4．（设点法）+点满足方程】设点，
则（且）
由B，P，N三点共线得，即，
直线，，
联立，得，，
所以，
【备注】当P→B时，Q与B重合，，此时，，
所以．
【其他解法】有待诸君补充
19．【解析】（1）事件发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8个死亡．
所以．
写法1．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有k个个体分裂，
则的取值为，所以的取值集合为，
，
所以．
写法2．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有K个个体分裂，
则，，
所以，．
【注】引进基础随机变量，寻找目标随机变量与基础随机变量的一次函数关系，类题：4月11日周考T18
【背景】对一个个体来说，一次生理反应要么死亡，要么变成2个，即个数从1变成0和2是等可能的，
记一个A个体一次生理反应后的个体数为X，
则，2，，，
所以，即1个个体一次反应后的期望依然是1．
这是一种变异型的二项分布，可以理解为：一个质点从数轴上1出发，往右走1格（试验成功）即为2，往左走1格（试验失败）即为0，只不过与一个质点的一维随机连续游走不同的是，这里是多个独立的质点同时进行试验，且每轮试验每个个体都是从数轴1开始运动．
然后再利用公式可得n个个体试验的期望．
（2）由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后，有k个个体分裂，则的取值为．
在事件发生的条件下，令随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，
则且．
因此
．
设的取值集合为，则由全期望公式可知
．
这表明是常数列，所以．
思路2．先计算，则可取0，2，4，…，，
且，
所以
．
【备注】这里没有利用二项分布的期望公式，相当于重新推导了p取下的二项分布期望公式．
（3）由（2）可知
．
这表明是公差为10的等差数列．
又因为，所以，
从而．
可以看出，随着n的增大而增大，而为定值．这表明药物的介入会使得微生物A的种群数量越来越不稳定，种族灭绝的风险越来越大．
【备注说明】第二行
．