福建省2024届莆田市第一中学高三下学期5月模拟考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．
1. 已知是虚数单位，a，，，则复数的模为（ ）
A. 5B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法和复数相等可得的值，从而可求的模.
【详解】由题设有，而，故，
故的模为，
故选：B.
2. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数运算性质结合等比中项求解即可.
【详解】由题意得，由等比中项性质得，
故.
故选：C
3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
4. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数为偶函数及函数在单调递增即可求解.
【详解】因为的定义域为，且，
所以为偶函数，
又当时，单调递增，且，
所以由可得，即，
解得，
故选：B
5. 抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．
A. B. C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和，等于此点到焦点的距离与到直线的距离之和，其最小值为焦点到直线的距离，求值即可.
【详解】抛物线，焦点，准线方程为，
抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，则有，
其最小值为焦点到直线的距离．
即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为.
故选：A.
6. 生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体，其中四边形与都为等腰梯形，为平行四边形，若面，且，记三棱锥的体积为，则该五面体的体积为（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将五面体分割成三个三棱锥，通过选择适当定点可得其体积关系，然后可得五面体体积.
【详解】因为为平行四边形，所以，所以.
记梯形的高为，因为，所以，
所以，
所以该五面体的体积.
故选：C

7. 已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】切化弦，以及二倍角的正弦可得，变形可得，从而可求.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，，
所以，所以．
故选：B．
8. 双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M、N两点．若且，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据双曲线定义以及余弦定理求解出m，再通过勾股定理得到a，c的方程，由此可求离心率.
【详解】由双曲线定义可知，，
设，则有，，，
由余弦定理可得，
整理可得：，故，，
则有，
整理可得：，所以．
故选：D．
【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题得目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9. 已知一组正实数样本数据，满足，则（ ）．
A. 样本数据的第80百分位数为
B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变
C. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
D. 将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的2倍
【答案】BC
【解析】
【分析】由百分位数的定义即可判断A；由极差的定义即可判断B，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断C；由方差的性质即可判断D.
【详解】对于A，由10×80％＝8，所以样本数据的第80百分位数为，故A错误；
对于B，由题意存在这样一种可能，若，
则极差为，此时样本数据的极差不变，故B正确；
对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，
此时平均数大于中位数，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：BC．
10. 如图，在正方体中，P为棱上的动点，平面，Q为垂足，则（ ）．
A.
B. 平面截正方体所得的截面可能为三角形
C. 当P位于中点时三棱锥的外接球半径最大
D. 线段的长度随线段的长度增大而增大
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，求证即可判断；对于B，由等边即可判断；对于C，由外接球半径和（的外接圆半径为r）即可判断；对于D，由和随AP的增大而变小可判断.
【详解】选项A，连接，CQ，则，，又因为，，
所以，故，选项A正确；
选项B，当P位于点A时，截面为三角形，选项B正确；
选项C，平面DCP，记的外接圆半径为r，
则外接球半径，由正弦定理得，
当P位于AB中点时，，则，
，选项C错误；
选项D，为定值，
过P作于点M，过M作，则，
如图，可知随AP的增大而变小，
所以由为定值可知，随AP的增大而增大，
故选项D正确．
故选：ABD.
11. 已知，分别是函数和的零点，则（ ）
A. B. C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据结构构造函数，求导，研究单调性，得到及，结合指对互化即可判断选项A、B、C，最后再通过对勾函数单调性求解范围即可判断选项D.
【详解】令，得，即，，
令，得，即，即，，
记函数，，则，
所以函数在上单调递增，
因为，，所以，故A错误；
又，所以，，
所以，故B正确；
所以，故C正确；
又，所以，结合，得，
因为，所以，且，
因为在区间上单调递减，所以，
即，故D正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数的零点转化为方程的根，通过结构构造函数，利用函数单调性及指对互化找到根的关系得出结论.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，集合，若，则实数____.
【答案】1
【解析】
【分析】根据子集的定义求解.
【详解】因为，所以，
即，所以.
当时，，，满足，故.
故答案为：1.
13. 从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有__________种．
【答案】54
【解析】
【分析】①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，利用分步乘法计数原理可求不同的安排方案种数，②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，利用分步乘法计数原理可求不同的安排方案种数，从而可求总的方案数.
【详解】①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人，
让他担任两门学科的课代表，有种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果，
余下的两个学科给剩下的两个人，有种结果，所以不同的安排方案共有种，
②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来，
有种结果，再将四门不同学科分成两堆，有种结果，将学科分给学生，
有种结果，所以不同安排方案共有种，
综合得不同的安排方案共有种．
故答案为：.
14. 已知函数，如图，A，B，C是曲线与坐标轴的三个交点，直线BC交曲线于点M，若直线AM，BM的斜率分别为，3，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】逆用“五点法”，表示点的坐标，利用斜率可求.
【详解】，，，，
则，所以，解得，可得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线；
（2）讨论的单调性；
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程；
（2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性.
【小问1详解】
当时，函数，则，切点坐标为，
，则曲线在点处的切线斜率为，
所求切线方程为，即.
【小问2详解】
，函数定义域为R，
，
①，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
③，恒成立，在上单调递增.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
16. 已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求；
（2）在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
【答案】（1），．
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，利用累加法可求得的表达式，结合可得出的表达式，再检验的情形，综合可得出的通项公式；
（2）由求出数列的通项公式，列举出数列的前项，即可求得的值.
【小问1详解】
解：对任意的，因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合，
所以，．
小问2详解】
解：因为，，
所以当时，，
所以，，
所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前项是由个与个组成．所以．
17. 如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过作交弧上一点，连结，由可得，进而由线面垂直的判定定理证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，设，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值，而列方程求出的值，从而向量法可求点到直线的距离.
【小问1详解】
过作交弧上一点，连结，如图所示：
则为弧的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，所以.
由题意可知，，为等腰直角三角形，则；
因为为弧的中点，所以,
则为等腰直角三角形，则，
所以，则,
因为，则，又，
又因为、面，
所以平面，因为面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由题意知，两两垂直，所以为坐标原点，
以分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：
设，又，
则，，，，，
，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，，
设平面与平面的夹角为
，解得（负舍），
所以，，，
则，
所以点到直线的距离为.
18. 已知椭圆的离心率为，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，为左焦点，且的面积为．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN和直线QC的斜率）．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由椭圆离心率和的面积，列方程组求出，可得椭圆M的标准方程；
（2）设直线或的方程，通过联立方程组求出的坐标，代入中化简得定值．
【小问1详解】
由题意得，又，
解得，
∴椭圆M的标准方程为．
【小问2详解】
方法一：
直线，
依题意可设直线（且），（注：P不为椭圆顶点），
由，则，
所以，
由，
，所以，
由B，P，N三点共线得，即，
得，
所以，
所以为定值．
方法二：
设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为：，
又，，直线AB的方程为，
由，解得，所以，
由，得，
由，
则，所以，
则，∴，
依题意B、P不重合，所以，即，
所以，
∴直线BP的方程为，
令，即，解得，
∴，
∴，
∴为定值．
方法三：
设点，则，，，
由B，P，N三点共线得，
即，
，，
联立，得，
所以
，
所以
.
方法四：
设点，则（且）,
由B，P，N三点共线得，即，
直线，，
联立，得，，
所以，
.
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19. 设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
（1）求，；
（2）证明；
（3）已知，求，并结合（2）说明其实际含义．
附：对于随机变量X，．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3），含义见解析
【解析】
【分析】（1）事件发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8个死亡，计算可得，方法一：的取值集合为，求得，计算可求；
方法二：如果在第三天下午加入药物后，有K个个体分裂，可得，可求；
（2）随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且，可得设的取值集合为，则由全期望公式可求得结论；
（3）由（2）可知，可求得，进而可得.
【小问1详解】
事件发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8个死亡．
所以．
方法1．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有k个个体分裂，
则的取值为，所以的取值集合为，
所以，
方法2．在事件发生条件下，如果在第三天下午加入药物后，有K个个体分裂，
则，，
所以，．
【小问2详解】
由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后，
有k个个体分裂，则的取值为．
在事件发生的条件下，令随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，
则且．
因此．
设的取值集合为，则由全期望公式可知
．
这表明是常数列，所以．
【小问3详解】
由（2）可知
．
这表明是公差为10的等差数列．
又因为，所以，
从而．
可以看出，随着n的增大而增大，而为定值．
这表明药物的介入会使得微生物A的种群数量越来越不稳定，种族灭绝的风险越来越大．
【点睛】关键点点睛：理解期望与方差的计算公式，以及题意是解题的关键，以及二项分布的应用，属难题.