新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题3-8 利用导函数证明不等式（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc10193" 专题3-8利用导函数证明不等式 PAGEREF _Tc10193 \h 1
\l "_Tc16555" PAGEREF _Tc16555 \h 1
\l "_Tc22059" 题型一：作差法构造函数证明不等式 PAGEREF _Tc22059 \h 1
\l "_Tc22968" 题型二：放缩法 PAGEREF _Tc22968 \h 9
\l "_Tc5717" 题型三：数列不等式证明 PAGEREF _Tc5717 \h 16
\l "_Tc4191" PAGEREF _Tc4191 \h 22
题型一：作差法构造函数证明不等式
【典例分析】
例题1．（2022·河南·扶沟县第二高中高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
例题2．（2022·四川·射洪中学高二期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，求切线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
利用导数证明不等式 SKIPIF 1 < 0 的基本方法,可作差构造函数 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．同时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或若 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．同时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式演练】
1．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·广东中山·高二期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有极值2．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
（Ⅱ）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·广东·中山纪念中学高二阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递减，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
题型二：放缩法
【典例分析】
例题1．（2022·新疆·克拉玛依市高级中学高二阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
例题2．（2022·河南驻马店·高三阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
放缩构造法证明不等式导数的综合应用题中，最常见的就是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 与其他代数式结合的
问题，对于这类问题，可以先对 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 进行放缩，使问题简化，
便于化简或判断导数的正负．常见的放缩不等式如下：
① SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
② SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 , 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
⑤ SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
⑥当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号．
【变式演练】
1．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)判断函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则
该法则表述为：“设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足下列条件：
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②在点a处函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图像是连续且光滑的，即函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在点a处存在导数；
③ SKIPIF 1 < 0 ，其中A是某固定实数；
则 SKIPIF 1 < 0 .”
那么，假设有函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求t的取值范围；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
题型三：数列不等式证明
【典例分析】
例题1．（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0
例题2．（2020·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
数列中不等式的证明本身就是放缩的结果，在证明过程中，要善于观察数列通项的特点，结合不等式的结构合理地选择放大与缩小，常见的两种放缩方式是：
①放缩成等比数列求和形式；
②放缩成裂项求和形式.
③借助超越不等式放缩
【变式演练】
1．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)试比较 SKIPIF 1 < 0 与1的大小；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
2．（2022·山西·高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，比较 SKIPIF 1 < 0 与2的大小；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .证明：
(1)当 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
(2)对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立（其中 SKIPIF 1 < 0 为自然常数）
一、单选题
1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（文））已知命题 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；命题 SKIPIF 1 < 0 ：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 下列命题为真命题的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·河南·高二阶段练习（理））若当 SKIPIF 1 < 0 时，关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·山西长治·模拟预测（理））若 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．98B．99C．100D．101
4．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中正确的是
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .
A．①③B．①②③C．②D．①②
二、多选题
7．（2022·河北沧州·二模）已知实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
8．（2022·重庆一中高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式， SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
9．（2022·江苏南京·高三阶段练习）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
四、解答题
10．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
11．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0
12．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求a的取值范围；
(3)证明不等式： SKIPIF 1 < 0 .
13．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值，并求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)①若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
②证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .