新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题3-9 利用导函数研究极值点偏移问题（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc28777" 专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题 PAGEREF _Tc28777 \h 1
\l "_Tc5572" PAGEREF _Tc5572 \h 1
\l "_Tc25708" 题型一：对称化构造 PAGEREF _Tc25708 \h 1
\l "_Tc30652" 题型二：比值代换法 PAGEREF _Tc30652 \h 13
\l "_Tc19877" 题型三：对数均值不等式法 PAGEREF _Tc19877 \h 22
\l "_Tc13134" PAGEREF _Tc13134 \h 29
题型一：对称化构造
【典例分析】
例题1．（2022·江苏南通·高三期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，其极小值为-4.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不相等的实数根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
例题2．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 单调区间；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，
①求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
②求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 SKIPIF 1 < 0 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)构造函数，即对结论 SKIPIF 1 < 0 型，构造函数 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)对结论 SKIPIF 1 < 0 型，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，通过研究 SKIPIF 1 < 0 的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 SKIPIF 1 < 0 在某段区间上的正负，并得出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系．
(6)转化，即利用函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，将 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，进而得到所证或所求．
【变式演练】
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是两个不相等的实数，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的极值.
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·河北·开滦第二中学高二期末）设函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 有极值时，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，若在 SKIPIF 1 < 0 定义域内存在两实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)在（1）的条件下，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数根 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
题型二：比值代换法
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 SKIPIF 1 < 0 表示)表示两个极值点，即 SKIPIF 1 < 0 ，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的函数问题求解．
【变式演练】
1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求a的取值范围；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 存在三个极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求k的取值范围，并证明： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根 SKIPIF 1 < 0 ．
（ⅰ）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅱ）证明： SKIPIF 1 < 0 ．

题型三：对数均值不等式法
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数）.
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 单调性；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点，证明： SKIPIF 1 < 0 .
例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个不相等的实数根，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
两个正数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的对数平均定义： SKIPIF 1 < 0
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： SKIPIF 1 < 0 （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（ SKIPIF 1 < 0 ）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 .
一、单选题
1．（2022·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，对于正实数a，若关于t的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2021·河南·郑州外国语中学高三阶段练习（理））关于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
B．函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有 SKIPIF 1 < 0 个零点
C．存在正实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立
D．对任意两个正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
4．（2021·江西·鹰潭一中高三阶段练习（文））关于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点
B．函数 SKIPIF 1 < 0 有2个零点
C．存在正整数k，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立
D．对任意两个正实数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
二、多选题
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 则下列结论正确的有（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有2个零点
D．若 SKIPIF 1 < 0 是关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的2个不等实数根，则 SKIPIF 1 < 0
6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的零点只有 SKIPIF 1 < 0 个
C．若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则正数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，x，y均为正数，则 SKIPIF 1 < 0
三、解答题
8．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 .
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的极值点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
10．（2022·江苏常州·高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在x＝0处的切线与 SKIPIF 1 < 0 在x＝1处的切线相同，求实数a的值；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，直线y＝m与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
11．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实数根 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个不相同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 .证明： SKIPIF 1 < 0 .
四、双空题
13．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点为0，则实数m的值为_________；设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_____________．