江苏省南通市如皋市、崇川区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份江苏省南通市如皋市、崇川区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共22页。

注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 在，，，四个数中，比大的数是（）
A. B. C. D.
【答案】D
解：，，，，
而，
，
即比大的数是；
故选：D．
2. 据报道，2024年4月26日05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻距离地表约米的中国空间站——“天宫”．数用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】B
解：，
故选：B．
3. 下列几何体中，三视图都是圆的是（）
A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 正方体
【答案】C
解：由题意知，圆柱的三视图为圆和长方形，故A不符合要求；
圆锥的三视图为带圆心的圆和三角形，故B不符合要求；
球的三视图均为圆，故C符合要求；
正方体的三视图均为正方形，故D不符合要求；
故选：C．
4. 下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
解：A．，正确，故此选项符合题意；
B．与不是同类项，无法合并，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．∵，，
∴，故此选项不符合题意；
故选：A．
5. 下列调查中，适宜全面调查的是（ ）
A. 了解某班学生的视力情况
B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间
D. 某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
【答案】A
解：．了解某班学生的视力情况，适合使用全面调查，因此选项符合题意；
．调查某批次汽车的抗撞击能力，不可以使用全面调查，适用抽样调查，因此选项不符合题意；
．调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间，适用抽样调查，因此选项不符合题意；
．某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次，适用抽样调查，因此选项不符合题意；
故选：A．
6. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
解：由题意知，，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（）
A. B. C. D.
【答案】B
解：∵，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
8. 已知，，将线段平移得到线段，其中，点A的对应点为点C，若，，则的值为（）
A. B. 1C. D. 5
【答案】D
解：与C对应，B与D对应，
平移是向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，
，
；
故选：D．
9. 如图，在菱形中，，点P是上一点（不与端点重合），点A关于直线的对称点为E，连接，，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
解：连接，如图：
由点A关于直线的对称点为E，得：
，
为等腰三角形，故，
由菱形可得，，
，
，
在四边形中，由内角和为得，
，
由，得，
，
，
，即，
故选：D．
10. 定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（）
A. B. 6C. D. 3
【答案】A
首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可．
∵，是一对“互助数”
∴
去分母得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
整理得，
∴
∴或
∴或
∴解得或
但当时，，，不符合题意，
所以或，
∴p的值可以为．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 分解因式：3ax2+6axy+3ay2＝_____．
【答案】3a（x+y）2．
解：3ax2+6axy+3ay2
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2．
故答案为3a（x+y）2．
12. 若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为________．
【答案】18π
解：依题意知母线长=6，底面半径r=3，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×3×6=18π．
故答案为：18π．
13. 计算：________．
【答案】0
解：
=
=
=0
故答案为：0．
14. 若a，b为连续整数，且，则____________．
【答案】11
解：，
，
，，
，
故答案为：11．
15. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，画直线交于点，连接，则的度数为____________．
【答案】
解：∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 中国古代数学家杨辉的田亩比数乘除减法中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步”？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设长为步，则依题意列方程为______．
【答案】
根据矩形的长为x，宽为，利用矩形面积公式列方程即可．
∵矩形长为x，宽比长少12，
∴宽为，
∵矩形面积为864，
∴，
故答案：．
17. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上，点为边的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则与的关系为____________．
【答案】
解：∵中，，
∴点和点纵坐标相同，
∵点在反比例函数上，点在反比例函数上，
设，则，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴点坐标为，
即，
∵点在反比例函数上，
∴，
化简得，
故答案为：．
18. 如图，在四边形中，，，．作，垂足为点M，连接，若，则的最小值为____________．
【答案】
解：如图，过D作的平行线，过A作的平行线，两平行线交于点E，
即，
四边形是平行四边形；
，
四边形是矩形，
，，
；
连接，则当点M与的交点重合时，最小，从而最小，且最小值为线段的长；
过C作，交延长线于点F，
则，
四边形是矩形，
，，
；
在中，由勾股定理得，
最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）解不等式组：
（2）化简求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为；
（2）解：原式
，
当时，原式．
20. 如图，点A，F，C，D一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析（2）
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴；
【小问2】
∵，
∴．
∴．
即．
∵，，
∴．
∴．
∴．
21. 移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付．
（1）甲选择“微信”支付的概率为____________；
（2）求三人选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）
（2）
【小问1】
解：∵某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，
∴甲选择“微信”支付的概率为；
【小问2】
分别设“微信”和“支付宝”为A和B
画树状图如下：
∴一共有8种等可能得结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种
∴三人选择同一种支付方式的概率为．
22. 某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图：
b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85；
c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：____________，____________；
（2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是____________组（填“甲”或“乙”）；
（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由·
【答案】（1）90，86
（2）乙（3）推荐丙小组，理由见解析
【小问1】
乙组平均数，
甲组得分按从小到大排列为82，83，86，94，95，故中位数，
故答案为：90，86；
【小问2】
甲组方差为，
乙组方差为，
∴乙组方差更小，
∴对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是乙组，
故答案为：乙．
【小问3】
推荐丙小组；
理由：乙、丙两组的平均分高于甲组，
所以可以在乙组或丙组中选一组，
而乙组与丙组的平均分与中位数及最高分都相同，但丙组的最低分更高，
所以推荐丙组去．
23. 如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B，，垂足为E，交于点D，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）
【小问1】
解：∵与相切，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2】
解：如图，连接，过点O作．
∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴，．
∵．
∴．
∴．
∵与相切，
∴．
∵，，
∴四边形为矩形．
∴，．
∴，，．
∴，
∴阴影部分面积为．
24. 为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表：
已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等．
（1）求m的值；
（2）若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？
【答案】（1）90（2）当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元
【小问1】
由题意列方程，得．
解得．
检验：当时，．
所以原分式方程的解为．
答：m的值为90；
【小问2】
设总费用为w万元，购买甲型号的机器人x台，则乙型号的机器人为台，
则．
∵，
∴．
∵，
∴w随x的增大而减小．
∴当时，w取得最小值，最小值为48万元．
∴当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元．
25. 在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片，其中，，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动．
【操作猜想】
（1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想：
请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由；
【深入探究】
（2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当时，点E恰好落在矩形的对角线上．请求出图中线段的长度；
【拓广延伸】
（3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当时，过点E作交射线于点F，若，则的长是多少？请解答这个问题．
【答案】（1）正确，理由见解析；（2）；（3）或
解：（1）甲小组的猜想正确．
理由：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）在中，，，
∴，
∵折叠，
∴，，
由（1）可知，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理，
；
（3）当点E在下方时，如图1，延长交于点H，
同（2）可证．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
由（1）可得，
∴．
∵，
∴．
设，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点E在下方时，设交于点H，如图2．
同①可得，．
∴．
∴，
∴，
∴，
∴；
综上或．
26. 在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C．
（1）用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________；
（2）如图，当时，连接，．求证：平分；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围．
【答案】（1），
（2）见解析（3）或
【小问1】
根据直线与y轴交于点B，令，得
∴点，
根据题意，得，
解得，
∴交点坐标分别为，
∵点M在x轴上．
∴点，
故答案为：，．
【小问2】
∵抛物线，
∴，
解得，
∴抛物线与x轴的交点为，
∴，
∵，
∴，
根据(1)，得，，
∵点B关于点A的对称点为C，，
∴，
设直线的解析式为，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故直线的解析式为，
∴不论k为何值，直线过定点，
∴点在直线上．
∴平分；
【小问3】
设图象上的任意一点，图象上的任意一点，根据题意，得，，解得，
∴即图象的解析式为，
当时，图象的解析式为经过点B时，图象，图象与线段有唯一交点，
∴满足解析式，
∴，
解得(舍去)，
经过点M时，图象，图象与线段有唯一交点，
∴满足解析式，
∴，
解得(舍去)
∴；
当时，
当时，图象，图象与线段没有交点，
当时，图象，图象与线段有M，B两个交点，不符合题意；
∴当时，图象与线段有两个交点，不符合题意；
∴时，图象与线段有一个交点，
∴，
故，
∴，
综上所述，符合题意的范围是或．
甲组
乙组
丙组
平均分
88
m
90
中位数
n
92
92
型号
甲
乙
效率（单位：千克/时）
m
每台价格（单位：万元）
4
6
甲小组的操作与猜想
操作：如图，在，上分别取一点N，M，将沿直线翻折，得到．
猜想：当时，．