新高考数学二轮复习讲义专题18 空间向量在立体几何中的应用（角和距离）（2份打包，原卷版+解析版）

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考点一：空间角的向量法解法
考点二：点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq \r(a2－a·u2) (如图)．
考点三：点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．
【核心题型】
题型一：空间向量求线面角/面面角
1．（2023·湖南邵阳·统考二模）如图所示，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 （除端点外）上的动点，沿直线 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．当点 SKIPIF 1 < 0 固定在线段 SKIPIF 1 < 0 的某位置时，点 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹为球面
B．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
D．异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】当点 SKIPIF 1 < 0 固定在线段 SKIPIF 1 < 0 的某位置时，线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为定值， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为定点， SKIPIF 1 < 0 的长度为定值，由此可判断A；无论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 （端点除外）的哪个位置， SKIPIF 1 < 0 均不与 SKIPIF 1 < 0 垂直，即可判断B；以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，由点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离公式 SKIPIF 1 < 0 求解，即可判断C；设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用向量夹角公式求解，即可判断D.
【详解】
选项A：当点 SKIPIF 1 < 0 固定在线段 SKIPIF 1 < 0 的某位置时，线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为定值， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为定点， SKIPIF 1 < 0 的长度为定值，且 SKIPIF 1 < 0 在过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直的平面内，故 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，故A错；
选项B：无论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 （端点除外）的哪个位置， SKIPIF 1 < 0 均不与 SKIPIF 1 < 0 垂直，故 SKIPIF 1 < 0 不与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，故B错；
选项C：以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错；
选项D：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D．
2．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，由面面垂直和线面垂直的性质和勾股定理可证得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由线面垂直性质可证得结论；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据垂直关系，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 正方向为 SKIPIF 1 < 0 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点.
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，且异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成30°角，求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，利用垂直关系转化为证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明；
（2）首先建立空间直角坐标系，利用向量公式求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，并分别求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，利用二面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1）证明：∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向建立空间直角坐标系，
所以 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成30°角，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
题型二：空间向量求空间距离
4．（2023·宁夏银川·校联考一模）如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面PCD；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 体积最大时，求S到平面PCD的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）连接OP，利用中位线定理可证OP∥SA，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意 SKIPIF 1 < 0 ，建立空间直角坐标系，利用向量求解点到平面距离.
【详解】（1）证明：连接OP，如图所示，
因为O为AB的中点，P为SB的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）记底面圆半径为r，侧面展开图半径为R，则R=2，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 体积最大时， SKIPIF 1 < 0 ，
以O为原点，OD，OB，OS为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面PCD的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以点S到平面PCD的距离 SKIPIF 1 < 0
5．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D是棱PC的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理证得 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，再得到 SKIPIF 1 < 0 平面PBC，从而即可得证；
（2）根据题意，以C为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方向分别为x轴，y轴，z轴的正A方向，建立空间直角坐标系，再由空间向量的坐标运算结合线面角的计算公式，即可得到结果.
【详解】（1）证明：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PAB，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，
又 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，PB， SKIPIF 1 < 0 平面PBC，所以 SKIPIF 1 < 0 平面PBC，
又 SKIPIF 1 < 0 平面PBC，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
以C为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方向分别为x轴，y轴，z轴的正A方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面ADB的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线BC与平面ADB所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线BC与平面ADB所成角的正弦值是 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2023秋·天津河北·高三统考期末）如图， SKIPIF 1 < 0 垂直于梯形 SKIPIF 1 < 0 所在平面， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的大小；
(3)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由三角形中位线性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，由线面平行判定定理可得结论；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果；
（3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 正方向为 SKIPIF 1 < 0 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 轴 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（2）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
题型三：空间线段点存在问题
7．（2023·河南焦作·统考模拟预测）如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 .现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 ，如图2.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 .
(2)已知二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，确定 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）翻折前，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，翻折后，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立；
（2）由二面角的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，利用空间向量法可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，解出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出结论.
【详解】（1）证明：翻折前，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，翻折后，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：因为二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，合乎题意，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面 SKIPIF 1 < 0 为菱形，点 SKIPIF 1 < 0 在底面上的投影为AC的中点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到侧面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
(3)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线DE与侧面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请求出 SKIPIF 1 < 0 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)存在满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 ，1
【分析】（1）由已知条件可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求解；
（3）假设存在满足条件的点E，并 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量的加减运算，求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用线面夹角公式得出 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的长.
【详解】（1）证明：由点 SKIPIF 1 < 0 在底面ABC上的投影为AC的中点 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，
又 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 是以AC为斜边的等腰直角三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为AC的中点，侧面 SKIPIF 1 < 0 为菱形，知 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 是以AC为斜边的等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，故以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，
直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为：
SKIPIF 1 < 0
（3）假设存在满足条件的点E，并 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是，由直线DE与侧面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
因此存在满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2021·天津静海·静海一中校考二模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上（不包括端点），点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值；
(3)是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明过程见详解
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)存在， SKIPIF 1 < 0 ，理由见详解.
【分析】(1) 取 SKIPIF 1 < 0 的一个靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，利用平行的传递性得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，再利用线面平行的判定定理即可求解；
(2)根据题意，建立空间直角坐标系，分别求出平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，代入向量的夹角公式即可求解；
(3)假设存在点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据（2）中平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量以及题中 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】（1）取 SKIPIF 1 < 0 的一个靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）如图所示，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）存在， SKIPIF 1 < 0 .
假设存在点 SKIPIF 1 < 0 (不包括端点)，设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）得 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
【高考必刷】
一、单选题
10．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 四点共面D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A选项，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不满足，错误；
对于B选项，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不满足，错误；
对于C选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 四点共面，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，显然方程组无解，
故不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 四点不共面，错误；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
故选：D
11．（2023·全国·模拟预测）如图，已知圆柱 SKIPIF 1 < 0 的轴截面 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 ，P，Q分别为圆柱上、下底面圆周上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可根据异面直线夹角的向量求法得出答案.
【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线PQ与AB所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:C.
12．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线AC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，由直线AC1与平面A1B1C1所成的角的正弦值得 SKIPIF 1 < 0 ，计算 SKIPIF 1 < 0 ，得异面直线BA1与B1C所成角的余弦值.
【详解】取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，过点O且平行于AA1的直线为z轴建立空间直角坐标系．
设a＝1，则 SKIPIF 1 < 0 ，易知AA1⊥平面A1B1C1，则直线AC1与平面A1B1C1所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
13．（2023·福建莆田·统考二模）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点M，N分别是 SKIPIF 1 < 0 上的动点，当线段 SKIPIF 1 < 0 的长最小时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，找到 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的公垂线，即线段 SKIPIF 1 < 0 的长最小，进而表达出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，从而利用线面角的夹角公式进行求解.
【详解】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点M ，N分别是 SKIPIF 1 < 0 上的动点，
当点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 交点时， SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的公垂线，即线段 SKIPIF 1 < 0 的长最小，
设正方体边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
14．（2023·四川·校联考一模）在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，已知异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与AB所成角的大小分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，结合题意可求得 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，结合空间向量夹角公式可得答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
从而直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
15．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且 SKIPIF 1 < 0 四个顶点在同一平面内，下列结论：① SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；②平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据题意，以正八面体的中心 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
以正八面体的中心 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设正八面体的边长为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0 ,
设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，①正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，②正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，③正确；
易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，④正确；
故选：D
16．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，P为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，Q为正方形 SKIPIF 1 < 0 内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．当且仅当Q点落在棱 SKIPIF 1 < 0 上某点处时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，那么Q点的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得动点轨迹判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，由 SKIPIF 1 < 0 与此法向量平行确定 SKIPIF 1 < 0 点位置，判断B，利用空间向量法求得 SKIPIF 1 < 0 到到平面 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值，确定 SKIPIF 1 < 0 点位置判断C，利用勾股定理确定 SKIPIF 1 < 0 点轨迹，得轨迹长度判断D．
【详解】选项A，分别取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平行且相等得平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 点轨迹是线段 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
选项B，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此正方形 SKIPIF 1 < 0 内（含边界）不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
选项C， SKIPIF 1 < 0 面积为定值，当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，d有最大值1，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，d有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 时，d取得最大值1，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时，d取得最大值，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，C正确；
选项D， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 点轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆弧，圆心角是 SKIPIF 1 < 0 ，轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过 SKIPIF 1 < 0 且与平面 SKIPIF 1 < 0 平行的平面 SKIPIF 1 < 0 ，由体积公式，在正方形 SKIPIF 1 < 0 内的点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积最大．
17．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则下面说法中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
D．点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】建立如图所示空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，由向量法即可证线面平行、线线垂直；求线面角、点面距离.
【详解】直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，故可建立如图所示空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
对A，平面 SKIPIF 1 < 0 的其中一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，A错；
对B，由 SKIPIF 1 < 0 得BD与EF不垂直，B错；
对C，平面 SKIPIF 1 < 0 的其中一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，C错；
对D， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选：A
18．（2022·陕西安康·统考一模）如图，在多面体 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法错误的是（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．点M到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 D．多面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】A选项，作出辅助线，证明出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而证明面面垂直；
B选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出平面的法向量，根据平面夹角列出方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ；
C选项，在第一问的基础上，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，从而利用点到平面距离公式求出答案.
D选项，求出 SKIPIF 1 < 0 ，相加得到答案.
【详解】对于A选项，取 SKIPIF 1 < 0 的中点G，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于N，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，且N是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，取 SKIPIF 1 < 0 的中点H，由四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以A为原点， SKIPIF 1 < 0 为坐标轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 重合，此时平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量可取 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，结合B，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点M到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
梯形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：D.
二、多选题
19．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则AP与BD所成角为 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】 SKIPIF 1 < 0 与BD所成角为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角，为 SKIPIF 1 < 0 ，A错误，建系得到 SKIPIF 1 < 0 ，B正确，故面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，C正确， SKIPIF 1 < 0 ，D正确，得到答案.
【详解】对选项A： SKIPIF 1 < 0 时P与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 与BD所成角为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则AP与BD所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
对选项B：如图建立空间直角坐标系，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对选项C： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对选项D： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，正确．
故选：BCD
20．（2023·河北石家庄·统考一模）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，M，N分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 截此正方体所得截面的周长为 SKIPIF 1 < 0
D．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为3
【答案】BC
【分析】建立坐标系，利用空间向量坐标的关系判定A,B选项的正误，把截面作出来，根据截面形状可求周长，利用等体积进行转化可求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【详解】如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ;
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，A不正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由正方体的性质可知， SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得截面为梯形 SKIPIF 1 < 0 ，
因为正方体的棱长为2，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 截此正方体所得截面的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
由上面分析可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为1，D不正确.
故选：BC.
21．（2023·安徽·统考一模）在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
B．线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 分别用 SKIPIF 1 < 0 表示，再根据向量数量积的运算律即可判断ABC；对于D，先证明平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，再解 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AC.
22．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）如图，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的三条棱长都是 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根据棱柱的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以A选项正确.
B选项， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确.
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以C选项错误.
D选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：ABD
三、填空题
23．（2022春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）如图，在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 的中点.若用一个与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面 SKIPIF 1 < 0 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下面的说法中正确的有___________.
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
②四面体外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
③异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
④多边形截面面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】①②④
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据线面垂直得线线垂直可判断①；将其补成长方体，转为为求长方体的外接球表面积可判断②；结合②建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可判断③；根据题意，证明截面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，且 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可判断④.
【详解】解：对于①，连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于②，该几何体可以在如图2的长方体中截出，设长方体的长宽高分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即长方体的体对角线的长度为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四面体的外接球即为该长方体的外接球，半径满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四面体外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于③，由②得 SKIPIF 1 < 0 ，如图3，以 SKIPIF 1 < 0 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；

对于④，如图4，设平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别交于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则由线面平行的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
同理， SKIPIF 1 < 0 ，所以截面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，由③的讨论可得异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故正确.
故答案为：①②④
【点睛】本题考查空间几何体的截面问题，内接外接球问题，线面垂直，线线垂直等位置关系，考查运算求解能力，直观想象能力，是难题.本题解题的关键在于将该几何体放置于长方体中，利用长方体的几何性质求解.
24．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为___________；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为___________；
（3）已知点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角为60°则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值，二面角的余弦值以及点到平面的距离；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，即点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；
假设在棱 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故在棱 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
25．（2022秋·湖南怀化·高三校考阶段练习）如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：
①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；
②存在点H，使得GH⊥AE；
③三棱锥B−GHF的体积为定值；
④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.
【详解】对①：当H为DE的中点时，取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如下所示：
因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，故可得 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据已知条件可知： SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，
故四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 //面 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
对②：因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若GH⊥AE，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意，故②错误；
对③： SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 均为定点，故 SKIPIF 1 < 0 为定值，
又 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 //面 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动，故点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离是定值，
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值，则③正确；
对④：取△ SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 一定在 SKIPIF 1 < 0 上
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在同一个平面，
则过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 如图所示.
在△ SKIPIF 1 < 0 中，容易知 SKIPIF 1 < 0 ，
则由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ；
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故由勾股定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，则该棱锥外接球的表面积 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查线面平行的证明，线线垂直的判定，以及三棱锥体积的计算和外接球半径的求解，属综合困难题.
26．（2022·新疆·统考模拟预测）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.则下列结论中正确序号为______.
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 的余弦值的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；④△ SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】①④
【分析】①连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据正方体性质有 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 即可判断；②③构建空间直角坐标系，求面 SKIPIF 1 < 0 的法向量及方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，利用空间向量夹角的坐标表示判断线面关系，同理求线线角的关于参数m的余弦值，结合导数求最值，即可判断余弦值的范围；④将问题转化为求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，展开正方体侧面研究最小情况即可判断.
【详解】①连接 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
②如下图示， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 是面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，仅当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
③如下图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，存在 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增； SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减；
所以 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
④由△ SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，要使周长最小只需 SKIPIF 1 < 0 最小，
将 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 展开成一个平面，如下图示：
当 SKIPIF 1 < 0 共线时， SKIPIF 1 < 0 最小为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故答案为：①④
【点睛】关键点点睛：②③构建空间直角坐标系，利用向量法判断线面关系、求线线角余弦值关于参数的表达式，进而应用导数判断最值.
四、解答题
27．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离；
（2）由（1），如图建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.
【详解】（1）取AD中点O，连接OB，OP.
∵ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，OA=1， SKIPIF 1 < 0 .
又∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD=AD，
SKIPIF 1 < 0 平面PAD，∴ SKIPIF 1 < 0 平面ABC.
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面POB，
SKIPIF 1 < 0 平面POB， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面POB.
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面POB，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设点A到平面PBC的距离为h，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，则取平面ABCD的法向量 SKIPIF 1 < 0 .
设AE与平面ABCD所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面ADE的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则取平面ADE的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，又平面ABCD的法向量 SKIPIF 1 < 0 .
故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
28．（2023·重庆·统考二模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，侧棱 SKIPIF 1 < 0 矩形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，过棱 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，再证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，然后证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得证 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为原点，射线 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角得 SKIPIF 1 < 0 的长，然后利用棱锥体积公式计算．
【详解】（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由底面 SKIPIF 1 < 0 为矩形，有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 得证．
（2）如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，射线 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量；
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量．
因为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去）．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))