专题11 与圆有关的位置关系（知识串讲+9大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
（2）直线与圆的位置关系
（二）切线的判定与性质
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直
（三）切线长定理
（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
（四）三角形与圆
（1）三角形与外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②三角形外心的性质：
★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距离相等；
★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（2）三角形与内切圆
①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，
②普通三角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径
S△ABC=12×R×（AB+BC+AC）
③直角三角形的三边与内切圆的关系
R=12（两直角边和-斜边长）
考点一遍过
考点1：点与圆的位置关系
典例1：（2022上·陕西商洛·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，AD⊥BC，以点A为圆心，3.5为半径画圆，则点D与⊙A的位置关系是（ ）

A．点D在⊙A外B．点D在⊙A上C．点D在⊙A内D．不能确定
【变式1】（2024上·广东广州·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=10，以点C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（ ）
A．点A在⊙C内B．点A在⊙C上C．点A在⊙C外D．无法确定
【变式2】（2023下·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）

A．r=1B．r=3C．r=5D．r=7
【变式3】（2022·广东江门·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（ ）
A．210−6B．326−10C．46−4D．413−8
考点2：三角形的外接圆
典例2：（2023上·江苏南通·九年级南通市实验中学校考期末）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心，若∠A=84°，则∠D的度数为（ ）
A．42°B．66°C．76°D．82°
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【变式2】（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）如图，直角坐标系中A(0,4)，B(4,4)，C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM=4，则点D与⊙M的位置关系为（ ）
A．点D在⊙M上B．点D在⊙M外C．点D在⊙M内D．无法确定
【变式3】（2023上·浙江湖州·九年级校考阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（ ）
A．14步B．15步C．16步D．17步
考点3：直线与圆的位置关系
典例3：（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=3，以点C为圆心，3为半径作圆，则下列判断正确的是（ ）
A．点B在⊙C内B．点A在⊙C上
C．边AB与⊙C相切D．边AC与⊙C相离
【变式1】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4．若⊙C与AB相离，则半径为r满足（ ）
A．r>2 B．r<2 C．0【变式2】（2012·北京海淀·统考中考模拟）如图，已知⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（ ）
A．−2 ≤ x ≤ 2B．0 ≤ x ≤ 2
C．−1 ≤ x ≤ 1D．x > 2
【变式3】（2023·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径r=22的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0)B．(2，0)C．（-6，0）D．(2，0) 或（-6，0）
考点4：切线的判定综合
典例4：（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点O，再以O为圆心，OE为半径作一圆．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)当AE=6时，求⊙O的半径．
【变式1】（2024上·湖南长沙·九年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）如图，在等腰△ABC中AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若CE=1，BD=5，tanF=34，求FB⋅FA的值．
【变式2】（福建省龙岩市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是BD的中点，过点C作CE⊥AB于点E，连接BD，交CE于点F，在EC的延长线上取一点P，使PF=PD，连接AC．

(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若PD∥AC，求∠ABD的度数．
【变式3】（2024上·重庆合川·九年级统考期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，E是⊙O外一点，AD平分∠CAE，连接ED并延长交⊙O于点F，连接BF交AC于点G．
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)求证：AE=AG．
【变式4】（2024上·山西吕梁·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是⊙O上一点，OD⊥AB，连接CD交AB于点E，F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若CF=8，BF=4，求弧BD的长度．
【变式5】（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图所示，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD=∠B．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AD=2CD=3时，求阴影部分的面积．
【变式6】（2023上·江西新余·九年级统考期末）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE，OE∥AD交CD于点E，连接BE．

(1)求证：直线BE与⊙O相切．
(2)若CA=4,CD=6，求DE的长．
【变式7】（2024上·四川绵阳·九年级校考期末）如图，AB为⊙O的直径，CE为⊙O的弦，AC∥OE，延长AC至D，且DE⊥AD，⊙O的半径为6．
(1)求证：直线DE与⊙O相切；
(2)如图1，若OA=2CD，求阴影部分面积；
(3)如图2，若CEAC=32，求CD的值．
考点5：切线的性质综合
典例5：（2024上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，直线AC与⊙O相切于点C，射线AO与⊙O交于点D，E，连接CD，CE．
(1)求证：∠ACD=∠E；
(2)若AC=23，AD=2，求CD的长.
【变式1】（2022上·北京·九年级清华附中校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，DE切⊙O于点E，BD⊥DE于点D，交⊙O于点C，连接BE．
(1)求证：BE平分∠ABC； (2)若AB=10，BC=6，求CD的长．
【变式2】（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙O上，O在线段AC上.
(1)如图1，若AB是⊙O的切线，求∠ADC的大小；
(2)如图2，若AB=26，AC=8，AB与⊙O交于点E，求BE的长.
【变式3】（2024上·新疆吐鲁番·九年级统考期末）如图，点A，B，C在⊙O上，AC是直径，AB是弦，点P是⊙O外一点，分别作射线PA，PB，其中PA是⊙O的切线，线段PA=PB．
(1)求证：PB是⊙O的切线．
(2)若∠CAB=25°，求∠P的度数．
【变式4】（2024上·河南洛阳·九年级统考期末）如图，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC边相切于点D，与AB边交于点E，EB是⊙O的直径．
(1)求证：DE∥OC；
(2)若⊙O的半径是32，AD=2，求CD的长．
【变式5】（2023上·河北张家口·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．
(1)求证：AB是半圆O的切线；
(2)若∠A=60°，点P是△ABC的内心，点O与点P之间的距离是2，则半圆O的半径是______．
考点6：切线的判定与性质综合
典例6：（2023上·吉林松原·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
(1)DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
(2)若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．
【变式1】（2023上·江苏南京·九年级校联考期末）如图，AC，BD是⊙O的切线，C，D为切点，连接AB．
(1)若AB与⊙O相切于点E，求证AC+BD=AB；
(2)若AC+BD=AB，求证AB与⊙O相切．
【变式2】（2024上·天津河西·九年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径长为22，BF=3，求BE的长．
【变式3】（2024上·北京昌平·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为AC的中点，过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P，连接OD交AC于点E．
(1)求证：四边形DECP是矩形；
(2)作射线AD交BC的延长线于点F，若tan∠CAB=34，BC=6，求DF的长．
考点7：切线长定理
典例7：（2023上·全国·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．16
【变式1】（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，PA、PB、CD分别与⊙O相切于点A，B，E，CD与PA、PB分别相交于C，D两点，若∠P=48°，则∠PAE+∠PBE的度数为（ ）
A．50°B．62°C．66°D．70°
【变式2】（2023上·九年级课时练习）如图，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B,OP交⊙O于点C．下列结论中，错误的是（ ）

A．∠1=∠2B．PA=PBC．AB⊥OPD．∠PAB=2∠1
【变式3】（2022·内蒙古包头·二模）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD,CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD,BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC=FE；④CE⋅FB=AB⋅CF．其中正确的只有（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①②④
考点8：三角形的内切圆
典例8：（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积是（ ）
A．2B．πC．4−πD．π−2
【变式1】（2022上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，AC=3，点D是△ABC的内心，则BD的长度为（ ）

A．2B．3C．10D．342
【变式2】（2023上·广西南宁·九年级南宁十四中校考期中）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∠B=90°，AB=6，BC=8，则△ABC的内切圆半径r为（ ）

A．4B．3C．2D．1
【变式3】（2023上·全国·九年级专题练习）已知△ABC中，∠C=90°，BC=a，CA=b，AB=c．⊙O是△ABC的内切圆，下列选项中，⊙O的半径为（ ）

A．a+b−c2B．a−b−c2C．2abcD．aba+b
考点9：圆的切线应用——尺规作图
典例9：（2023下·山西晋城·九年级校联考阶段练习）阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)“作法一”中的“依据”是指______．
(2)请写出“作法二”的证明过程．
【变式1】（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6cm．完成以下两个小题的解答：
(1)用尺规作BC的中点D，并以AD为半径作⊙A（不写作法，保留作图痕迹），求证：⊙A与边BC相切；
(2)若⊙A恰好交于边AB的中点，求⊙A的半径长．
【变式2】（2023·湖北·校联考三模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F．
(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：CA与⊙O相切：
(3)当BD=23，∠ABD=30°时，求劣弧BD的长．
【变式3】（2023上·重庆江津·九年级统考期末）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，D是AC延长线上一点．
(1)请用尺规完成基本作图：作出∠DCB的角平分线交⊙O于点P．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，过点P作PE⊥AC，垂足为E．则PE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外

点在圆的外部
d＞r ⇔点 QUOTE ? P在⊙O QUOTE ⊙? 的外
点在圆上
点在圆周上
QUOTE ?=?? d＝r ⇔点 QUOTE ? P在⊙O上
点在圆内

点在圆的内部
d＜r ⇔点 QUOTE ? P在 QUOTE ⊙? ⊙O的内
位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
直线与圆没有公共点
d＞r ⇔直线与⊙O相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
d＝r ⇔直线与⊙O相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
d＜r ⇔直线与⊙O相交
×年×月×日星期日晴
过圆外一点作圆的切线
我学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了如何用尺规过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，我想出了两种作法．具体如下（已知点P是⊙O外的一点）：
作法一（如图1）：
连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；
以点A为圆心，以AO的长为半径作弧，交⊙O于点B；
作直线PB，则直线PB是⊙O的切线．
证明：如图1，连接OB，AB．
由作图可知AP=OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，∠ABP=∠APB．（依据）
在△OPB中，∵∠PBO+∠POB+∠APB=180°，
∴2∠ABO+2∠ABP=180°．
∴∠PBO=90°．
∴PB⊥OB．
∵OB是⊙O的半径，
∴直线PB是⊙O的切线．
作法二（如图2）：
连接OP，交⊙O于点A，过点A作OP的垂线AD；
以点O为圆心，以OP的长为半径作弧，交直线AD于点B；
连接OB，交⊙O于点C；
作直线PC，则直线PC是⊙O的切线．
证明：……