新高考数学一轮复习第7章 第10讲 立体几何与空间向量（综合测试）（2份打包，原卷版+教师版）

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1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
正方体的对角线是球的直径，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球的表面积 SKIPIF 1 < 0
故选：D.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若水平放置的四边形 SKIPIF 1 < 0 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则原四边形中 SKIPIF 1 < 0 的长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，所以原四边形中 SKIPIF 1 < 0 的长度为2 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．（2022·江西·高三阶段练习（理））1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E和F分别表示简单凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系： SKIPIF 1 < 0 ．已知一个正多面体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．50B．52C．60D．62
【答案】D
由已知条件得出 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
4．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，AC与BD的交点为点M， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
5．（2022·山东济南·高一期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
设该正面体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
6．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
SKIPIF 1 < 0
则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
故选：D
7．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）如图（1），在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一点（不是端点），沿线段 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 折成 SKIPIF 1 < 0 （如图（2）），使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在图（1）中，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 的方程联立解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
在图（2）中，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
8．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为a，E是棱 SKIPIF 1 < 0 的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
②三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值 SKIPIF 1 < 0
③E为 SKIPIF 1 < 0 的中点时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角正切值为 SKIPIF 1 < 0
④过点 SKIPIF 1 < 0 ，C，E的截面的面积的范围是 SKIPIF 1 < 0
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
对于①：当E为 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 .设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，不妨令x =1,则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面A1BD的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，所以直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立.故①错误；
对于②：三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积等于三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
又 SKIPIF 1 < 0 ，高为a,所以 SKIPIF 1 < 0 .故②错误；
对于③：当E为 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 .平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 .
设直线B1E与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角正切值为 SKIPIF 1 < 0 .故③正确；
对于④：设 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上得到投影为 SKIPIF 1 < 0 .
所以点E到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，截面为等腰梯形.设截面交 SKIPIF 1 < 0 于F.所以 SKIPIF 1 < 0 ，
高 SKIPIF 1 < 0 ，所以其面积为 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
当z=a，即D1、E重合时，截面为边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，其面积为 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .故④正确.
故选：B
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若空间四个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 三点共线
C．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角
D．任意向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
对于A：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共点，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，故B正确；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为钝角：则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为钝角，故C错误；
对于D： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的共线向量，而 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的共线向量，故D错误，
故选：AB
10．（2022·辽宁·高一期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
选项A：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交或 SKIPIF 1 < 0 互为异面直线.判断错误；
选项B：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .判断正确；
选项C：设平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .判断正确；
选项D：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为相交，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 .判断错误.
故选：BC
11．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角 SKIPIF 1 < 0 沿BC向上翻折，得三棱锥 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使 SKIPIF 1 < 0
B．存在某个位置，使 SKIPIF 1 < 0
C．当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABCD
解：当平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直时，
SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故AB正确；
当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积取得最大值时，顶点A到底面距离最大，
即平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直时，
由上面可知， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故AD与平面ABC成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时,因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
如图将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 旋转，使其与 SKIPIF 1 < 0 在同一平面内，
则当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 最小，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABCD.
12．（2022·广东广州·高二期末）正方形 SKIPIF 1 < 0 ，的棱长为1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，下列说法正确的有（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直
B．平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得的截面周长为 SKIPIF 1 < 0
C．在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角是30°
D．在棱 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离相等
【答案】BD
对A，由正方体的性质，体对角线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，又平面 SKIPIF 1 < 0 不平行于平面 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，A错；
对B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得的截面为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得的截面周长为 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对C， SKIPIF 1 < 0 ，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，在等腰直角 SKIPIF 1 < 0 上，易得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，命题不成立，C错；
对D，若点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，MN是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，故 SKIPIF 1 < 0 上的点与C到MN的距离相等， SKIPIF 1 < 0 ，故G在 SKIPIF 1 < 0 点时， SKIPIF 1 < 0 ，命题成立，D对，
故选：BD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知某圆锥的底面周长为4π，侧面积为2 SKIPIF 1 < 0 π，则该圆锥的体积为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
设圆锥的底面半径为r，母线为l，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则该圆锥的高 SKIPIF 1 < 0 ，
故该圆锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14．（2022·辽宁抚顺·高一期末）已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点都在半径为 SKIPIF 1 < 0 的球 SKIPIF 1 < 0 的球面上，球心 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
解：在底面 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所在 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，如图，即 SKIPIF 1 < 0
球心 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022·广西桂林·高一期末）十月一日是国庆节，也是小明爸爸的生日，小明到商店买了一个生日蛋糕和家人一起庆祝．卖蛋糕的售货员说，商店有图①和图②两种捆扎方式供你选择，但捆扎用的彩带要根据带子的长度另外付费．你选择哪种捆扎方式？小明经过计算，很快作出了自己的选择．售货员听后直夸小明聪明．说，你选择的捆扎方式比另一种所用的彩带短，所需的费用少，那么，小明选择的捆扎方式是________(注：填图①或图②)．
【答案】图①
由给定的几何体及生活实际知，蛋糕盒是正四棱柱，设其底面正方形边长为a，高为b，
图②所用彩带总长为 SKIPIF 1 < 0 ，对于图①，令彩带与包装盒的棱的部分公共点如图，

过E作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于F，由图①的几何体及对称性知， SKIPIF 1 < 0 ，则彩带总长为 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以图①所用彩带总长比图②所用彩带总长短，所需的费用少.
故答案为：图①
16．（2022·河北保定·高一期末）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为2.已知蚂蚁从点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿着侧面 SKIPIF 1 < 0 走到 SKIPIF 1 < 0 上的一点，再沿着侧面 SKIPIF 1 < 0 继续走到棱 SKIPIF 1 < 0 上，则这只蚂蚁从点 SKIPIF 1 < 0 出发到达棱 SKIPIF 1 < 0 的最短路程为_______米，这只蚂蚁的最短路线与 SKIPIF 1 < 0 的交点到底面 SKIPIF 1 < 0 的距离为______米.
【答案】 2 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ##1.5
因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，又AB=4米，BC=3米，
所以AC=5米.因为AD与底面BCD所成的角为∠ADB，所以tan∠ADB= SKIPIF 1 < 0 =2，所以BD=2米.将侧面ABD翻折至与平面ABC共面，如图所示.AC=CD=5米，AD=2 SKIPIF 1 < 0 米，取AD的中点E，连接CE，交AB于F，则CE⊥AD，蚂蚁的最短路线为C→F→E，最短路程为CE=2 SKIPIF 1 < 0 米，最短路线与AB的交点为F.取BD的中点G，连接EG，则EG= SKIPIF 1 < 0 AB=2米，BG= SKIPIF 1 < 0 BD=1米，根据△CBF∽△CGE，得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则FB= SKIPIF 1 < 0 EG= SKIPIF 1 < 0 ，故这只蚂蚁的最短路线与AB的交点到底面BCD的距离为 SKIPIF 1 < 0 米.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·内蒙古包头·高一期末）如图，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
(1)证明：取BC中点O，连接OA， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
同理， SKIPIF 1 < 0 ．又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面ABC．
所以 SKIPIF 1 < 0
18．（2022·四川·遂宁中学高一期末）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 ，其外接球与内切球的表面积之和为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 与正方体的面相交，交线围成一个正三角形.
(1)在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；
(2)平面 SKIPIF 1 < 0 将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积.
【答案】(1)答案见解析(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为所求三角形（作法不唯一），如图所示
(2)解：设正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，正方体的体对角线即为外接球的直径，正方体的棱长即为内切球的直径，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 将正方体截成三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和多面体 SKIPIF 1 < 0 两部分，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此体积较大的几何体是多面体 SKIPIF 1 < 0 ，其体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故多面体 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2022·湖南衡阳·高二期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，
因为E，F分别为PA，BC的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又底面ABCD为菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形EGCF为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 平面PCD． SKIPIF 1 < 0 平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为PD⊥平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形ABCD为菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
因为F为BC的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以D（0，0，0），F( SKIPIF 1 < 0 ，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），
则 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面DEF的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线AF与平面DEF所成的角为θ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
20．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）如图1，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为侧棱 SKIPIF 1 < 0 上靠近点 SKIPIF 1 < 0 的四等分点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
(1)证明：取 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由题知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解：因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为锐角，故二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
21．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的菱形，并且 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为折痕将 SKIPIF 1 < 0 折起，使点 SKIPIF 1 < 0 到达 SKIPIF 1 < 0 的位置，且 SKIPIF 1 < 0 ，如图2.
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析；(2)存在点 SKIPIF 1 < 0 且为 SKIPIF 1 < 0 的中点； SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：如图所示：
在图1中连接AC，交BE于O，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的菱形，并且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在图2中，相交直线 SKIPIF 1 < 0 均与BE垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1）分别以 SKIPIF 1 < 0 为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为： SKIPIF 1 < 0 .
22．（2022·辽宁实验中学模拟预测）如图所示正四棱锥 SKIPIF 1 < 0
(1)求证： SKIPIF 1 < 0
(2)若沿侧棱将此四棱锥剪开，四个侧面向外旋转，PAD旋转至 SKIPIF 1 < 0 旋转至 SKIPIF 1 < 0 如图所示，其中二面角 SKIPIF 1 < 0 与二面角 SKIPIF 1 < 0 相同，当 SKIPIF 1 < 0 时，求平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的余弦值
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
(1)证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，设点E为DA中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．