新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第32讲 复数（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第32讲 复数（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第32讲复数原卷版doc、新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第32讲复数解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

一、复数的有关概念
1.虚数单位 SKIPIF 1 < 0 :
（1）它的平方等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 与－1的关系: SKIPIF 1 < 0 就是－1的一个平方根，即方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根，方程 SKIPIF 1 < 0 的另一个根是 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4） SKIPIF 1 < 0 的周期性： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
2. 概念
形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的数叫复数， SKIPIF 1 < 0 叫复数的实部， SKIPIF 1 < 0 叫复数的虚部。
说明：这里 SKIPIF 1 < 0 容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数集
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 SKIPIF 1 < 0 表示；复数集与其它数集之间的关系： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：
对于复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 是实数；
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 叫做虚数；
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 叫做纯虚数；
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 就是实数0.
所以复数的分类如下:
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 .
特别地: SKIPIF 1 < 0 .
应当理解:
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
6.共轭复数：
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：
复数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）互为共轭复数。
二：复数的代数表示法及其四则运算
1.复数的代数形式:
复数通常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），把复数表示成 SKIPIF 1 < 0 的形式，叫做复数的代数形式。
2.四则运算
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
复数除法通常上下同乘分母的共轭复数： SKIPIF 1 < 0 。
三：复数的几何意义
1. 复平面、实轴、虚轴：
点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）可用点 SKIPIF 1 < 0 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， SKIPIF 1 < 0 轴叫做实轴， SKIPIF 1 < 0 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为 SKIPIF 1 < 0 ，它所确定的复数是 SKIPIF 1 < 0 表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 复平面内的点 SKIPIF 1 < 0
这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
2.复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点 SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
（2）向量表示:以原点 SKIPIF 1 < 0 为起点，点 SKIPIF 1 < 0 为终点的向量 SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 .
向量 SKIPIF 1 < 0 的长度叫做复数 SKIPIF 1 < 0 的模，记作 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 .
【微点拨】
（1）向量 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 以及复数 SKIPIF 1 < 0 有一一对应；
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
3.复数加法的几何意义：
如果复数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别对应于向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，那么以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为两边作平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，对角线 SKIPIF 1 < 0 表示的向量 SKIPIF 1 < 0 就是 SKIPIF 1 < 0 的和所对应的向量。
4.复数减法的几何意义：
两个复数的差 SKIPIF 1 < 0 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
【微点拨】
1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；
2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；
4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。
【考点研习一点通】
考点一：复数的有关概念
【例1】设复数 SKIPIF 1 < 0 ，试求实数 SKIPIF 1 < 0 取何值时，复数 SKIPIF 1 < 0 分别满足：
(1) SKIPIF 1 < 0 是纯虚数； (2) SKIPIF 1 < 0 对应的点位于复平面的第二象限。
【点拨】利用复数的有关概念易求得。
【答案】
(1)当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于复平面的第二象限.
【总结】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )； SKIPIF 1 < 0 是纯虚数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
【变式1-1】实数m取什么数值时，复数 SKIPIF 1 < 0 分别是：
实数？ (2)虚数? (3)纯虚数？ (4)表示复数 SKIPIF 1 < 0 的点在复平面的第四象限?
【点拨】利用复数的有关概念易求得。
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 (1)当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，复数为实数.
当 SKIPIF 1 < 0 时即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，复数为虚数.
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，复数为纯虚数.
当 SKIPIF 1 < 0 时即 SKIPIF 1 < 0 时，表示复数 SKIPIF 1 < 0 的点在复平面的第四象限.
【总结】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )； SKIPIF 1 < 0 是纯虚数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
【变式1-2】求当实数 SKIPIF 1 < 0 取何值时，复数 SKIPIF 1 < 0 分别是：
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。
【解析】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 为实数；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数.
【变式1-3】已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,则复数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数
C.必为实数 D.可能是实数也可能是虚数
【答案】
[法1] 设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，故应选C。
[法2] ∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
[法3] ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
考点二：复数相等
【例2】复数z1＝ SKIPIF 1 < 0 ＋(10-a2)i，z2＝ SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 是实数，求实数a的值.
【点拨】 SKIPIF 1 < 0 是实数，将 SKIPIF 1 < 0 化简成a+bi形式可得。
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是实数，
∴a2＋2a-15＝0，解得a＝-5或a＝3.
又(a＋5)(a-1)≠0，∴a≠-5且a≠1，故a＝3.
【总结】两个复数相等，a+bi=c+di SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2-1】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同时满足M∩N SKIPIF 1 < 0 M，M∩N≠Φ，求整数a,b
【点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。
【解答】
SKIPIF 1 < 0 …………………………①
或 SKIPIF 1 < 0 …………………………………………②
或 SKIPIF 1 < 0 …………………………③
由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。∴a=-3，b=2
由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;
由③得 SKIPIF 1 < 0 ,此方程组无整数解。
综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。
【总结】
1、a+bi=c+di SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。
注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)。
【变式2-2】已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
【解析】设z2=a+2i(a∈R)，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.
【变式2-3】实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)与复数2－12i相等；
(2)与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)对应的点在x轴上方．
【点拨】利用复数相等定义。
【解析】(1)根据复数相等的充要条件得
SKIPIF 1 < 0 解之得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义得
SKIPIF 1 < 0 解之得m＝1.
(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，
解之得m＜－3或m＞5.
【总结】利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)。
考点三：复数的代数形式的四则运算
【例3】计算： SKIPIF 1 < 0
【点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。
【解析】 SKIPIF 1 < 0
【总结】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用 SKIPIF 1 < 0 进行运算。
【变式3-1】 SKIPIF 1 < 0
【答案】：原式= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【变式3-2】计算：计算 SKIPIF 1 < 0
【点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【总结】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用 SKIPIF 1 < 0 进行运算。
【变式3-3】 SKIPIF 1 < 0
【解析】原式= SKIPIF 1 < 0
【总结】复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.
【变式3-4】已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数， SKIPIF 1 < 0 且|z2|＝ SKIPIF 1 < 0 求z2.
【点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.
z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，
∵|z2|＝ SKIPIF 1 < 0
∴|z2(5＋5i)|＝50，
∴z2(5＋5i)＝±50，
SKIPIF 1 < 0
【总结】
1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.
(2)记住以下结论，可提高运算速度：
①(1±i)2=±2i； SKIPIF 1 < 0
⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).
2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。
考点四：复数的几何意义
【例4】已知复数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，若 SKIPIF 1 < 0 所对应的点在第四象限，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【点拨】 在复平面内以点 SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 所对应的点在第四象限等价于 SKIPIF 1 < 0 的实部大于零而虚部小于零。
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【总结】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
【变式4-1】已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数，求m值；
若 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
【点拨】在复平面内以点 SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 所对应的点在第四象限等价于 SKIPIF 1 < 0 的实部大于零而虚部小于零。
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 复数 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数，
SKIPIF 1 < 0 解得m=0.
(2) SKIPIF 1 < 0 复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点位于第四象限
SKIPIF 1 < 0 解之得 SKIPIF 1 < 0
【总结】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
【变式4-2】已知 SKIPIF 1 < 0 是复数， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为实数，且复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点在第一象限，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围。
【答案】：设 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )
∴ SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
根据已知条件有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
考点五：化复数问题为实数问题
【例5】已知 SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数，且 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 .
【点拨】设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的两个方程。
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 , 代入原等式得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 。
【总结】
复数定义：“形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。
【变式5-1】求使关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 至少有一个实根的实数 SKIPIF 1 < 0 .
【点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 为方程的一个实根，则有
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【总结】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。
【变式5-2】已知 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的两根为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ 方程的实系数一元二次方程可以用 SKIPIF 1 < 0 来判定方程有无实根。
(1)当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，方程的根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为实数根，
由韦达定理 SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(2)当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时，方程的根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为虚根 SKIPIF 1 < 0 。
SKIPIF 1 < 0
【易错易错】
易错一.复数的有关概念
1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，则z＝（ ）
A．B．6iC．D．20
【解析】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，
∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，
∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，
得a，此时zi，
故选：C．
2．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：由z（1+3i）＝i，得，
∴z的虚部为．
故选：A．
3．已知复数（i虚数单位），则z（ ）
A．B．2C．1D．
【解析】解：由题意知，
利用性质，得z2，
故选：B．
4．若b+2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b的值（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【解析】解：∵ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，i是虚数单位，
∴a＝﹣2，b＝﹣1
∴a+b＝﹣3．
故选：A．
5．设复数z满足z，则|z|＝（ ）
A．1B．C．D．2
【解析】解：z，
故|z|＝1，
故选：A．
易错二.复数的几何意义
1．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】解：由，
则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
2．设i是虚数单位，的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i•在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】解：∵z＝1+2i，
∴z+i•1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i．
∴复数z+i•在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限．
故选：A．
3．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（ ）
A．0B．﹣1C．1D．
【解析】解：∵复数（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在复平面内对应的点位于实轴上，
∴a+1＝0，即a＝﹣1．
故选：B．
4．已知复数z＝3+4i3，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于第 象限．
【解析】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，
∴，
则复数在复平面内对应的点的坐标为（3，4），位于第一象限．
故答案为：一．
5．在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数的模为 ．
【解析】解：∵向量对应的复数是﹣2+i，∴A（﹣2，1），
又点A关于实轴的对称点为点B，∴B（﹣2，﹣1）．
∴向量对应的复数为﹣2﹣i，该复数的模为|﹣2﹣i|．
故答案为：．
易错三.复数的指数幂运算
1．若复数z（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】解：∵z1+i，
∴1﹣i，
∴复数在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）；
∴它对应的点在第三象限，
故选：C．
2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（ ）
A．1B．0C．1+iD．1﹣i
【解析】解：复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a＝1，
1﹣i．
故选：D．
3．已知复数z（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解析】解：z1﹣i，
则z的虚部为﹣1，
故选：A．
4．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解析】解：∵i4＝1，
∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，
则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，
∴z的虚部为﹣1．
故选：A．
5．设i是虚数单位，则复数z＝（）2013＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解析】解：∵，
∴z＝（）2013＝i2013＝（i2）1006•i＝i．
故选：D．
易错四.待定系数在复数中的应用——最值问题
1．若复数z满足3z4+2i，则z＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
【解析】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则3z3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2i，
∴，即a＝﹣1，b＝1．
∴z＝﹣1+i．
故选：D．
2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（ ）
A．25B．5C．D．2+i
【解析】解：法一、设z＝a+bi（a，b∈R），
由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，
∴，解得或．
∴．
故选：C．
法二、由z2＝3+4i，得，
则|z|．
故选：C．
3．设复数z满足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1i，则|z1﹣z2|＝ ．
【解析】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d为实数），
因为复数z满足，
所以且a2+b2＝1，c2+d2＝4，
所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，
即2ac+2bd＝﹣1，
则|z1﹣z2|．
故答案为：．
4．已知z∈C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（ ）
A．21B．21C．D．2
【解析】解：∵|z|＝1且z∈C，作图如图：
∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，
∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1＝21．
故选：A．
5．设复数z1，z2满足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，则|z1﹣z2|的最大值为（ ）
A．3+2B．2C．3D．6
【解析】解：因为|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，
所以z1，对应的点在以A（1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z2对应的点在以B（0，﹣3）为圆心，以2为半径的圆上，
则|z1﹣z2|的几何意义是两圆上点的距离，
则则|z1﹣z2|的最大值为AB+1+2＝33．
故选：C．
【巩固提升】
1.互为共轭复数的两复数之差是( )
A、实数 B、纯虚数
C、0 D、零或纯虚数
【答案】D
【解析】选D.设互为共轭复数的两个复数分别为z=a+bi, SKIPIF 1 < 0 =a-bi(a、b∈R)，则z- SKIPIF 1 < 0 =2bi或 SKIPIF 1 < 0 -z=-2bi.
∵b∈R,当b≠0时，z- SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 -z为纯虚数；当b=0时，z- SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 -z=0.故选D.
2.若 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位)，则 SKIPIF 1 < 0 的值分别等于( )
A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 故选Ａ.
3. a为正实数，i为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 =2,则a=( )
A、2 B、 SKIPIF 1 < 0 C、 SKIPIF 1 < 0 D、1
【答案】选B.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 故可化为|1-ai|=2,又由于a为正实数，所以1+a2=4,得a= SKIPIF 1 < 0 ,故选B.
4.在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 所对应的点位于（ ）
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
【答案】选B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所对应点为 SKIPIF 1 < 0 位于第二象限
5.i为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 =________.
【答案】0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 =-i+i-i+i=0.
6.已知复数z满足（1+i）z=2,则z=_____.
【答案】1-i
【解析】由已知得 SKIPIF 1 < 0
7.已知A(1，2)，B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四点，且向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求 SKIPIF 1 < 0
(2)若z1+z2为纯虚数，z1-z2为实数，求a、b.
【解析】(1)∵ SKIPIF 1 < 0 =(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),
SKIPIF 1 < 0 =(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),
∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,
∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i,
又z1+z2=1+i,∴ SKIPIF 1 < 0
∴z1=4-i,z2=-3+2i,
SKIPIF 1 < 0
(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,
z1-z2=(a+2)+(2-b)i,
∵z1+z2为纯虚数，z1-z2为实数，
∴ SKIPIF 1 < 0
8.设z∈C，解方程z-2|z|=-7+4i.
【解析】设z=x+yi, x∈R, y∈R,
则原方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即(3x-5)(x-3)=0, ∴ SKIPIF 1 < 0 。
9.要使复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，其中实数 SKIPIF 1 < 0 是否存在？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。
【解析】要使复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，必须 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ０，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
但是，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ＝０此时 SKIPIF 1 < 0 不是纯虚数
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 无意义
所以不存在实数 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数。