新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第16讲 函数模型及其运用（2份打包，原卷版+解析版）

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1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).
(2)反比例函数模型：y＝eq \f(k,x)(k≠0).
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).
(5)对数函数模型：y＝mlgax＋n(a>0，a≠1，m≠0).
2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
【重点总结】
解答函数应用题的一般步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③求模：求解数学模型，得出数学结论；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
【考点研习一点通】
考点01 ：一次函数与分段函数模型
1.某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 SKIPIF 1 < 0 及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 SKIPIF 1 < 0 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，(只要写出的函数满足在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 即可.答案不唯一)
【解析】
由题意，个数越高，系数 SKIPIF 1 < 0 越大，因此在 SKIPIF 1 < 0 上的函数是增函数即可，初始值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设出函数式代入求解．
【详解】
由题意函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
注：在 SKIPIF 1 < 0 上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 等等．
【规律方法】
1.确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
2.分段函数模型的求解策略
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
【变式1-1】某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ）
A．1180元B．1230元C．1250元D．1152元
【答案】A
【解析】
计算第③种方案的优惠折扣，可得先以第②种方案购票 SKIPIF 1 < 0 张，再以第③种方案购买 SKIPIF 1 < 0 张可得答案.
【详解】
由第③种方案可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则第③种方案约为84折，所以先以第②种方案购票 SKIPIF 1 < 0 张：
SKIPIF 1 < 0 (元)，再以第③种方案购买余下的 SKIPIF 1 < 0 张： SKIPIF 1 < 0 (元)，
所以共需要 SKIPIF 1 < 0 (元).
故选：A.
【变式探究1-2】某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：
（1）若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；
（2）若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；
（3）若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠.
某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；
方案二：一次性付款购买.
若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元
A．540B．620C．640D．800
【答案】C
【解析】
依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，
因为，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为元；
第二次付款4850元时，
因为，所以其原来的价格为元.
所以分两次购买饲料的原价为元.
方案二：若一次性付款，则应付款为：元，
所以节省元.
故选：C
【总结提升】
1.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
2.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．
3.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
考点02：二次函数模型
2、山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）（2）将这批香菇存放天后出售（3）存放天后出售可获得最大利润为元.
【解析】
（1）由题意得，与之间的函数关系式为：
.
（2）由题意得，；
化简得，；
解得，，（不合题意，舍去）；
因此，李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放天后出售.
（3）设利润为，则由（2）得，
；
因此当时，；
又因为，所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润为元.
【易错提醒】
二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
【变式2-1】共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2，0＜x≤400，,80 000，x＞400，))其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．
【答案】
【解析】(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x)元，则
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋300x－20 000，0＜x≤400，,60 000－100x，x＞400.))
(2)当0＜x≤400时，y＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000，故当x＝300时，ymax＝25 000；当x＞400时，y＝60 000－100x是减函数，故y＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．
考点03：指数函数模型
3、“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位： SKIPIF 1 < 0 ）满足函数关系 SKIPIF 1 < 0 （a，b为常数），若该果蔬在6 SKIPIF 1 < 0 的保鲜时间为216小时，在24 SKIPIF 1 < 0 的保鲜时间为8小时，那么在12 SKIPIF 1 < 0 时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时．
A．72B．36C．24D．16
【答案】A
【解析】
根据题意列出 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后即可计算出 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的值，则对应保鲜时间可求.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
【规律方法】
1．指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．
2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
4．对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：
直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．
【变式3-1】一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变,剩余质量为原来的.若该物质余下质量不超过原有的，则至少需要的年数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的，两年后变为原来的，依此类推，得到年后质量是原来的，只需要 故结果为4.
故答案为：B.
考点04：对数函数模型
4、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，
令，
则
从而.
故选A.
【总结提升】
指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧
(1与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
【变式4-1】科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 SKIPIF 1 < 0 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级 SKIPIF 1 < 0 可定义为 SKIPIF 1 < 0 .2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏 SKIPIF 1 < 0 级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏 SKIPIF 1 < 0 级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（ ）倍．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
根据给定的公式结合对数的运算性质可求两者之间的倍数关系.
【详解】
设自贡地震所散发出来的能量为 SKIPIF 1 < 0 ，余江地震所散发出来的能量 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
【变式4-2】声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为 SKIPIF 1 < 0 （瓦/平方米）.对于一个声音的声强 SKIPIF 1 < 0 ，用声强 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 比值的常用对数的10倍表示声强 SKIPIF 1 < 0 的声强级，单位是“分贝”，即声强 SKIPIF 1 < 0 的声强级是 SKIPIF 1 < 0 （分贝）.声音传播时，在某处听到的声强 SKIPIF 1 < 0 与该处到声源的距离 SKIPIF 1 < 0 的平方成反比，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）.若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于 SKIPIF 1 < 0 ）的位置到声源的最大距离为（ ）
A．100米B．150米C．200米D． SKIPIF 1 < 0 米
【答案】B
【解析】
根据题设中的条件，列出方程，求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值，再由题设中的条件，即可求解.
【详解】
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据人耳能听到的足校声强为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 米.
故选：B.
考点05：分式函数模型
5、上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当 SKIPIF 1 < 0 时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当 SKIPIF 1 < 0 时，载客量会减少，减少的人数与 SKIPIF 1 < 0 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为 SKIPIF 1 < 0 （元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 分钟.
【解析】
(1) SKIPIF 1 < 0 时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；
(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.
【详解】
（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，（k为常数），
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 等号成立；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在[10，20]上递减，当 SKIPIF 1 < 0 时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为 SKIPIF 1 < 0 分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
【易错点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【变式5-1】某工厂有旧墙一面长 SKIPIF 1 < 0 ，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为 SKIPIF 1 < 0 的厂房．工程条件是：①建 SKIPIF 1 < 0 新墙的费用为 SKIPIF 1 < 0 元；②修 SKIPIF 1 < 0 旧墙的费用是 SKIPIF 1 < 0 元；③拆去 SKIPIF 1 < 0 旧墙，用所得的材料建 SKIPIF 1 < 0 新墙的费用为 SKIPIF 1 < 0 元．利用旧墙的一段 SKIPIF 1 < 0 为矩形厂房的一面边长：
（1）向如何利用旧墙，即 SKIPIF 1 < 0 为多少时建墙费用最省，最省费用是多少？
（2）由于地理位置的限制，厂房另一边长（旧墙的临边）不能超过 SKIPIF 1 < 0 ，如何利用旧墙使总费用最省？
【答案】（1）答案见解析；（2）当 SKIPIF 1 < 0 （米）时，建墙费用最省.
【解析】
（1）求得总费用为 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值及其对应的 SKIPIF 1 < 0 值，由此可得出结论；
（2）由已知条件可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用定义证明函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，由此可得出结论.
【详解】
（1）设利用旧墙的一面的矩形边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则矩形的另一面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
利用旧墙的一段 SKIPIF 1 < 0 为矩形的一面边长，则修旧墙费用为 SKIPIF 1 < 0 元，
将剩余的旧墙拆得所得材料建新墙的费用为 SKIPIF 1 < 0 元，
其余建新墙费用为 SKIPIF 1 < 0 元，
总费用为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 （米）时，等号成立，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 （米）时，建墙费用最省，最省费用是 SKIPIF 1 < 0 元；
（2）下面利用定义证明函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性.
任取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 （米）时，即厂房另一边长（旧墙的临边）为 SKIPIF 1 < 0 米时，建墙费用最省.
【总结提升】
分式函数模型的应用技巧
1.利用“配凑法”，创造应用基本不等式的条件.注意“一正、二定、三相等”.
2.应用“对勾函数”的单调性.
【考点易错】
1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元,设该公司一年内生产该产品x千件(01)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgax