云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025届高三上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A B.
C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
4. 已知数列是等比数列，若，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
6. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数区间上单调递增，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A 已知随机变量服从二项分布，则
B. 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
D. 若事件满足，则事件相互独立
11. 已知数列，下列结论正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则数列等比数列
D. 若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是等差数列，且，，则数列的前项和_____________.
13. 曲线在处的切线方程为______.
14. 双曲线的左､右焦点分别是，，过且垂直于轴的直线与双曲线交于､两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为等差数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前10项和．
16. 随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：
（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
17. 如图所示，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点，分别在棱，上，且，．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求二面角的大小．
18. 已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.
19. 已知函数的图象过点，且.
（1）求，的值；
（2）求函数的极值.
使用智能辅导系统
未使用智能辅导系统
合计
入学测试成绩优秀
20
20
40
入学测试成绩不优秀
40
20
60
合计
60
40
100
0.10
0.05
0025
0.010
2.706
3.841
5024
6.635