云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷

这是一份云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列表示正确的个数是( )
(1)0∉⌀；
(2)⌀⊆{1,2}；
(3)若A⊆B，则A∩B=A；
(4){(x,y)|2x+y=103x−y=5={3,4}．
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.命题“∃x>0，x2+x+1≥0”的否定是( )
A. ∀x≤0，x2+x+1<0B. ∀x≤0，x2+x+1≥0
C. ∀x>0，x2+x+1<0D. ∃x>0，x2+x+1<0
3.“sinθ=1”是“θ=π2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知x0是函数f(x)=(13)x−x+4的一个零点，则x0∈( )
A. (2,3)B. (4,5)C. (3,4)D. (1,2)
5.已知二次函数y=x2−2ax+1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,2]∪[3,+∞)B. [2,3]
C. (−∞,−3]∪[−2,+∞)D. [−3,−2]
6.已知a=lg312,b=lg1314,c=2−0.2，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>a>b
7.下列不等式一定成立的是( )
A. x2+2x≥2
B. x+3+1x+3≥2(其中x>−3)
C. x2+5 x2+4的最小值为2
D. x−1+1x−1的最小值为2(其中x>2)
8.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，对于任意的a∈[− 3,1)，方程f(x)=a(0A. (7π12,3π4]B. [π2,5π6)C. (π2,5π6]D. [7π12,3π4)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(2x+1)是定义域为R的奇函数，则下列式子一定正确的是( )
A. f(2x+1)=−f(−2x−1)B. f(2x+1)=−f(−2x+1)
C. f(0)=0D. f(1)=0
10.已知一次函数f(x)满足f(f(2x))=8x+3，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=2x+1B. f(x)=2x−3C. f(x)=−2x−3D. f(x)=−2x+1
11.已知sinα−csα=15，0≤α≤π，则下列选项中正确的有( )
A. sinα=45B. tanα=43
C. sinα+csα=−75D. sinαcsα=1225
12.已知函数f(x)=2−|x|，g(x)=x2，设函数H(x)=f(x),f(x)≤g(x)g(x),f(x)>g(x)，则( )
A. H(x)是偶函数B. 方程H(x)=12有四个实数根
C. H(x)在区间(0,2)上单调递增D. H(x)有最大值，没有最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.写出一个为奇函数的幂函数f(x)=______．
14.若扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为______．
15.已知α∈(π,3π2)，2sin2α=cs2α+1，则csα= ．
16.已知定义在x∈[−π4,3π4]上的函数f(x)=sin(x−π4)−sin2x在x=θ处取得最小值，则最小值为______，此时csθ=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知角α终边上一点P(−4,3)，求cs(π2+α)sin(32π−α)tan(−π+α)的值；
(2)化简求值：(lg43+lg83)⋅(lg32+lg92)+(6427)13．
18.(本小题12分)
已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x2+2x．
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)若函数f(x)在区间[−1,m−1]单调递增，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= 2sin(ωx+π4)，其中x∈R，ω>0，函数f(x)图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2．
(1)求f(x)的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数h(x)=(sinx+csx)⋅g(x)在[0,π2]上的最大值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga1−mxx+1(a>0,a≠1,m≠−1)，是定义在(−1,1)上的奇函数．
(1)求f(0)和实数m的值；
(2)若f(x)在(−1,1)上是增函数且满足f(b−2)+f(2b−2)>0，求实数b的取值范围．
21.(本小题12分)
函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数．
(1)求函数f(x)=x3−6x2图象的对称中心；
(2)根据第(1)问的结论，求f(−100)+f(−99)+⋯+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(103)+f(104)的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(4x+1)．
(1)解关于x的方程[f(x)+1][f(x)−1]=3；
(2)设函数g(x)=2f(x)+12f(x)−1−2b(2x+2−x)−1+b2(b∈R)，若g(x)在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由空集的定义知0∉⌀，(1)正确；
由子集的概念空集是任何集合的子集，因此⌀⊆{1,2}正确；
当A⊆B时，A∩B=A，(3)正确；
集合{(x,y)2x+y=103x−y=5的元素是有序实数对(x,y)，是题中方程组的解，
而集合{3,4}是由两个实数组成的，它的元素是实数，两个集合不可能相等，(4)错误，
所以题中有3个命题正确．
故选：D．
根据元素与集合，集合与集合关系，集合的概念判断．
本题主要考查元素与集合的关系和集合的包含关系，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，命题“∃x>0，x2+x+1≥0”的否定是∀x>0，x2+x+1<0．
故选：C．
根据题意，利用全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵sinθ=1，∴θ=π2+2kπ，k∈Z，
且θ=π2⇒θ=π2+2kπ,k∈Z，
∴“sinθ=1”是“θ=π2”的必要不充分条件．
故选：B．
解三角函数的方程，由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得结果．
本题考查了充分必要条件的判断，是一道基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数y=(13)x在区间(1,+∞)上单调递减，函数y=−x+4在区间(1,+∞)上单调递减，
故函数f(x)=(13)x−x+4在区间(1,+∞)上单调递减，
又f(1)>0，f(2)>0，f(3)>0，f(4)>0，f(5)<0，∴x0∈(4,5)．
故选：B．
根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果．
本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题知，当a≤2或a≥3．
故选：A．
结合图像讨论对称轴位置可得．
本题主要考查了二次函数单调性的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：a=lg312,b=lg1314,c=2−0.2，
由a=lg312∴b>c>a．
故选：C．
根据指对数的性质判断a，b，c的大小关系．
本题考查指数与对数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：当x<0时，A显然错误；
当x>−3时，x+3>0，
则x+3+1x+3≥2 (x+3)⋅1x+3=2，当且仅当x+3=1x+3，即x=−2时取等号，B正确；
令t= 4+x2，则t≥2，原式=t+1t在t≥2时单调递增，
故t+1t≥2+12=52，C错误；
令m=x−1，则x>2时，m>1，m+1m>2，没有最小值，D错误．
故选：B．
举出反例检验选项A，结合基本不等式检验选项B，结合对勾函数单调性检验选项C，D即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：对任意的a∈[− 3,1)，方程f(x)=a(0等价于：函数f(x)=sin(2x+π6)(0由于：a∈[− 3,1)，
所以：a2∈[− 32,12)，
即sin(2x+π6)∈[− 32,12)，
令f(x)=− 3，即2sin(2x+π6)=− 3，
所以：2x+π6=43π+2kπ或2x+π6=5π3+2kπ(k∈Z)，
由0∵对任意的a2∈[− 32,12)，函数f(x)=sin(2x+π6)(0可得：4π3≤2m+π6<5π3，
所以：7π12≤m<3π4，
故m的取值范围是：[7π12,3π4).
故选：D．
直接利用三角函数的图象及三角函数的性质求出结果．
本题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想转化思想，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，因为f(2x+1)是定义域为R的奇函数，所以f(2x+1)=−f(−2x+1)，
A错误，B正确；
对于C，由已知条件，不能确定f(0)的值，C错误；
又由f(2x+1)=−f(−2x+1)，令x=0可得：f(1)=−f(1)，变形可得f(1)=0，D正确．
故选：BD．
根据题意，由奇函数的性质分析A、B，利用特殊值法分析D，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性和对称性，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：设f(x)=kx+b，则f(2x)=2kx+b，故f(f(2x))=f(2kx+b)=2k2x+kb+b．
因为f(f(2x))=8x+3，所以2k2=8kb+b=3，解得k=2b=1或k=−2b=−3，
则f(x)=2x+1或f(x)=−2x−3．
故选：AC．
根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果．
本题主要考查函数解析式的求解，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由sinα−csα=15，可得csα=sinα−15，
则sin2α+(sinα−15)2=1，
解之得sinα=45，或sinα=−35
又0≤α≤π，则sinα=45，故选项A判断正确；
则csα=sinα−15=35，tanα=sinαcsα=43，故选项B判断正确；
sinα+csα=45+35=75，故选项C判断错误；
sinαcsα=45×35=1225，故选项D判断正确．
故选：ABD．
构造关于sinα的方程求得sinα的值判断选项A；利用同角三角函数关系求得tanα的值判断选项B；分别求得sinα+csα，sinαcsα的值判断选项CD．
本题考查了同角三角函数的基本关系，是基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：作出H(x)的图像如图所示：
对于A：因为H(x)的图像关于y轴对称，所以H(x)是偶函数．故A正确；
对于B：作出直线y=12的图像，与H(x)的图像有4个交点，所以方程H(x)=12有四个实数根．故B正确；
对于C：从图像可以看出H(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．故C错误；
对于D：从图像可以看出；当x=1或x=−1时，H(x)=1最大，没有最小值．故D正确．
故选：ABD．
作出H(x)的图像，利用图像对四个选项一一验证．
本题主要考查函数的图像与性质，数形结合是解题的关键，属于中档题．
13.【答案】x
【解析】解：根据幂函数的定义，奇函数的定义和性质，
一个为奇函数的幂函数为f(x)=x，
故答案为：x．
由题意，利用幂函数的定义，奇函数的定义和性质，得出结论．
本题主要考查幂函数的定义，奇函数的定义和性质，属于基础题．
14.【答案】1或4
【解析】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，则2r+αr=612αr2=2
∴r=1α=4或r=2α=1
故答案为：1或4
设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，利用扇形的周长为6，面积为2，即可求得扇形的圆心角的弧度数．
本题考查扇形的周长与面积公式，解题的关键是建立方程组，属于基础题．
15.【答案】−2 55
【解析】解：因为2sin2α=cs2α+1，
所以4sinαcsα=2cs2α，
而α∈(π,3π2)，
故csα<0，sinα<0，
则2sinα=csα，
又sin2α+cs2α=1，得cs2α=45，
由csα<0，知csα=−2 55．
故答案为：−2 55．
先根据二倍角公式化简原方程，然后结合sin2α+cs2α=1求解出结果．
本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.【答案】−98 30+ 28
【解析】解：根据题意：函数f(x)=sin(x−π4)−sin2x⇒f(x)=sin(x−π4)−cs(2x−π2)=2sin2(x−π4)+sin(x−π4)−1，
令t=sin(x−π4)∈[−1,1]，所以，y=2t2+t−1，当t=−14时取得最小值−98，
此时sin(x−π4)=−14⇒cs(x−π4)= 154，
故csθ=cs[(θ−π4)+π4]=cs(θ−π4)csπ4−sin(θ−π4)sinπ4= 30+ 28，
故答案为：−98， 30+ 28．
化简f(x)，并换元，利用二倍角的余弦公式，二次函数的性质，求得f(x)的最大值，再利用两角和的余弦公式，求得此时csθ的值．
本题主要考查三角恒等变换，二倍角的余弦公式，二次函数的性质，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为角α终边上一点P(−4,3)，所以csα=−4 (−4)2+32=−45，
所以cs(π2+α)sin(32π−α)tan(−π+α)=−sinα×(−csα)tanα=sinαcsα⋅csαsinα=cs2α=1625．
(2)(lg43+lg83)⋅(lg32+lg92)+(6427)13
=(12lg23+13lg23)⋅(lg32+12lg32)+[(43)3]13=56lg23×32lg32+43
=54+43=3112．
【解析】(1)由题意，根据三角函数的定义得到csα=−45，利用诱导公式化简后，代入csα=−45，求出答案；
(2)由题意，利用对数运算法则计算出结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，对数的运算性质应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x2+2x，
设x>0，则−x<0，
故f(−x)=x2−2x=f(x)，
故f(x)=x2+2x,x≤0x2−2x,x>0；
(2)若函数f(x)在区间[−1,m−1]单调递增，
则−1≤m−1≤0，解得0≤m≤1，
故m的范围为[0,1]．
【解析】(1)由已知结合奇函数定义即可求解；
(2)先作出函数的图象，结合函数的图象及可求．
本题主要考查了函数奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数单调性的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题知，T2=π2，所以，T=π=2πω，所以，ω=2．
所以得：f(x)= 2sin(2x+π4)．
所以得：2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，即kπ−3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)．
(2)将函数f(x)图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y= 2sin(x+π4)，再向右平移π4个单位长度，得g(x)= 2sinx.所以可得：
h(x)= 2sinx(sinx+csx)= 2sin2x+ 2sinxcsx= 2(1−cs2x2+sin2x2)=sin(2x−π4)+ 22，因为0≤x≤π2，
所以得：−π4≤2x−π4≤3π4，
所以当：2x−π4=π2时，即：x=3π8时，h(x)取得最大值为1+ 22．
【解析】(1)根据题意可求出ω的值，然后求出f(x)的解析式后再求解其单调递增区间；
(2)根据题意进行变化得到g(x)的解析式，然后求出h(x)的解析式并求出其最大值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵f(0)=lga1=0，
因为f(x)是奇函数，
所以f(−x)=−f(x)⇒f(−x)+f(x)=0，
∴lgamx+1−x+1+lga1−mxx+1=0，
∴lgamx+1−x+1⋅1−mxx+1=0⇒mx+1−x+1⋅1−mxx+1=1，
∴1−m2x2=1−x2对定义域内的x都成立，
∴m2=1，
所以m=1或m=−1(舍)，
∴m=1；
(2)由f(b−2)+f(2b−2)>0，
得f(b−2)>−f(2b−2)，
∵函数f(x)是奇函数，
∴f(b−2)>f(2−2b)，
又∵f(x)在(−1,1)上是增函数，
∴b−2>2−2b−1∴43∴的取值范围是(43,32)．
【解析】(1)计算出f(0)=0，根据f(−x)+f(x)=0列出方程，求出m=1；
(2)根据奇偶性得到f(b−2)>f(2−2b)，从而由单调性和定义域得到不等式组，求出实数b的取值范围．
本题主要考查了函数奇偶性的定义及单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设f(x)=x3−6x2图象的对称中心为(a,b)，
则g(x)=f(x+a)−b=(x+a)3−6(x+a)2−b为奇函数，‘
根据奇函数性质可得，x=0时，y=a3−6a2−b=0，
又g(−a)=−g(a)，
则−b=−8a3+24a2−b，
联立可得，a=2，b=−16或a=0，b=0(舍)，
故函数f(x)=x3−6x2图象的对称中心为(2,−16)；
(2)由(1)得f(2+x)+f(2−x)=−32，
所以f(−100)+f(104)=f(−99)+f(103)=…=f(0)+f(4)=f(1)+f(3)=32，f(2)=−16，
故f(−100)+f(−99)+⋯+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(103)+f(104)
=−32×102+(−16)=−3280．
【解析】(1)设f(x)=x3−6x2图象的对称中心为(a,b)，则g(x)=f(x+a)−b=(x+a)3−6(x+a)2−b为奇函数，然后结合奇函数的定义及性质即可求解a，b，进而可求函数的对称中心；
(2)结合函数的对称性即可求解．
本题主要考查了函数对称性的判断，还考查了函数的对称性在函数求值中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=lg2(4x+1)≥0．
∴由方程[f(x)+1][f(x)−1]=3，可得f(x)=2，
∴lg2(4x+1)=2，则4x=3，得x=lg43；
(2)∵2f(x)=4x+1，
∴函数g(x)=2f(x)+12f(x)−1−2b(2x+2−x)−1+b2(b∈R)
=4x+14x−2b(2x+12x)+b2=(2x+12x)2−2b(2x+12x)+b2−2，
令t=2x+12x，(1≤x≤2)，则t∈[52,174]，
则h(t)=t2−2bt+b2−2=(t−b)2−2，t∈[52,174]．
当b≤52时，g(x)在[1,2]上的最小值为h(52)=2，
整理可得4b2−20b+9=0，解答b=92(舍)或b=12；
当b≥174时，g(x)在[1,2]上的最小值为h(174)=2，
整理可得16b2−136b+225=0，解得b=94(舍)或b=254；
当2综上所述，实数b的值为12或254．
【解析】(1)由方程[f(x)+1][f(x)−1]=3求解f(x)，代入f(x)=lg2(4x+1)，即可求得x的值；
(2)利用对数的运算性质化简g(x)，令t=2x+12x，(1≤x≤2)，然后对b分类讨论求最值．
本题考查函数的最值及其几何意义，考查对数的运算性质及利用换元法求函数的最值，考查运算求解能力，是中档题．