湘教版（2019）选择性必修 第一册3.3 抛物线巩固练习

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册3.3 抛物线巩固练习，共7页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知圆M等内容，欢迎下载使用。

A.10 B.8 C.6 D.4
2.(2022河南洛阳期末)过抛物线y2=-2x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且A,B在直线x=12上的射影分别为M,N,则∠MFN=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.(2022安徽合肥六中期末)如图,F是抛物线x2=8y的焦点,过F作直线交抛物线于A,B两点,若△AOF与△BOF的面积之比为1∶4,则△AOB的面积为( )
A.10 B.8 C.16 D.12
4.(多选)(2022广东揭阳期末)设F是抛物线y2=4x的焦点,过F且斜率为3的直线与抛物线的一个交点为A,以F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点,且B在C的上方,B关于点F的对称点为D,以下结论正确的是( )
A.线段CD的长为8
B.A,C,F三点共线
C.△CDF为等边三角形
D.四边形ABCD为矩形
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线l交抛物线于A,B两点,点M-p2,p,若直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2= .
6.(2021湖南衡阳二十六中期中)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,O为原点,点P是抛物线C的准线上一动点,点A在抛物线C上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为 .
7.(2022湖南益阳期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,点M(x0,66)x0>p2是抛物线上一点,以M为圆心的圆与直线x=p2交于A,B两点(A在B的上方),若sin∠MFA=57,则抛物线C的方程为 .
8.(2022湖南淮阳中学期中)已知圆M:(x-1)2+y2=14,动圆N与圆M外切,且与直线x=-12相切.
(1)求动圆圆心N的轨迹C的方程;
(2)已知点P-12,-12,Q(1,2),过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A,B(与点Q不重合),直线QA,QB的斜率之和是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
1.B 依题意得,|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2,
∴|AB|=x1+x2+p,又∵2p=4,∴p=2.
因此,|AB|=6+2=8,故选B.
2.D 由题意得焦点F的坐标为-12,0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则M12,y1,N12,y2,因为过抛物线y2=-2x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,故y1y2=-p2=-1,
又因为FM=(1,y1),FN=(1,y2),所以FM·FN=1+y1y2=1-1=0,故∠MFN=90°.
3.A 易知抛物线x2=8y的焦点为F(0,2).若直线AB的斜率不存在,则直线AB与抛物线x2=8y有且只有一个公共点,不符合题意.设直线AB的方程为y=kx+2,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+2,x2=8y,消去y并整理得x2-8kx-16=0,则x1+x2=8k,x1x2=-16.由于△AOF与△BOF的面积之比为1∶4,则BF=4FA,即(-x2,2-y2)=4(x1,y1-2),所以x2=-4x1,则x1+x2=-3x1=8k,可得x1=-8k3,所以x1x2=-4x12=-4×-8k32=-256k29=-16,可得k2=916,所以S△OAB=12|OF|·|x1-x2|=12×2×(x1+x2)2-4x1x2=64k2+64=64×916+64=10.故选A.
4.BCD 由抛物线的方程可得F(1,0),准线方程为x=-1,过点F且斜率为3的直线的方程为y=3(x-1),代入抛物线方程可得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=13.易知当x=3时,圆F才能与抛物线的准线相交,此时点A的坐标为(3,23),则|FA|=3+1=4,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=16,令x=-1,得y=±23,则B(-1,23),C(-1,-23),设B关于点F的对称点为D(m,n),则m-12=1,n+232=0,解得m=3,n=-23,所以D(3,-23),所以|CD|=3-(-1)=4,故A错误;因为FA=(2,23),FC=(-2,-23),所以FA=-FC,所以A,C,F三点共线,故B正确;因为|FC|=|FD|=r=4,且|CD|=4,所以三角形CDF为等边三角形,故C正确;易知|AB|=|CD|,AB⊥BC,AB∥CD,所以四边形ABCD为矩形,故D正确.故选BCD.
5.答案 -2
解析 由题知Fp2,0.设直线l的方程为x=my+p2,将其与抛物线的方程y2=2px联立,消去x并整理,得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,所以k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p2=2p(y1-p)2px1+p2+2p(y2-p)2px2+p2=2p(y1-p)y12-y1y2+2p(y2-p)y22-y1y2=2py1-y2·y1-py1-y2-py2=2p2y1-y2·1y2-1y1=2p2y1y2=-2.
6.答案 213
解析 由题意得抛物线的准线方程为y=-2,
∵|AF|=4,∴点A到准线的距离为4,故点A的纵坐标为2,把y=2代入抛物线方程可得x=±4.不妨设点A在第一象限,则A(4,2),如图,取点O关于准线y=-2的对称点M(0,-4),连接AM,则|PO|=|PM|,于是|PA|+|PO|=|PA|+|PM|≥|AM|,
故|PA|+|PO|的最小值为|AM|=42+62=213.
7.答案 y2=12x
解析 如图所示,过点M作EM⊥直线x=p2,垂足为E,ME的延长线交准线于点D,则sin∠MFA=|ME||MF|=57,由抛物线的定义可得|MF|=|MD|=x0+p2,∴|ME||MF|=x0-p2x0+p2=57,即5x0+52p=7x0-72p,
∴x0=3p,∵点M(x0,66)x0>p2是抛物线上一点,
∴(66)2=2px0,将x0=3p代入上式,得36×6=6p2,
∴p=6,∴抛物线C的方程为y2=12x.
8.解析 (1)圆M的圆心为(1,0),半径为12.设N到直线x=-12的距离为d,则圆N的半径也为d.
因为动圆N与圆M外切,所以|MN|=d+12,
所以N到直线x=-1的距离等于N与M(1,0)两点间的距离,
由抛物线的定义可知,N的轨迹C为抛物线,其焦点为M(1,0),准线方程为x=-1,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)直线QA,QB的斜率之和是定值.设直线l的方程为x+12=my+12,即2x-2my+1-m=0.
因为点A,B与点Q不重合,所以m≠35.
设直线QA,QB的斜率分别为k1和k2,点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立2x-2my+1-m=0,y2=4x,消去x并整理得y2-4my-2m+2=0,则y1+y2=4m,y1y2=2-2m,
由Δ=(-4m)2-4(-2m+2)>0,解得m<-1或m>12,且m≠35.
可得k1=y1-2x1-1=y1-212(2my1+m-1)-1=2(y1-2)2my1+m-3,
同理可得k2=2(y2-2)2my2+m-3,
所以k1+k2=2(y1-2)2my1+m-3+2(y2-2)2my2+m-3
=2[4my1y2-3(m+1)(y1+y2)-4(m-3)]4m2y1y2+2m(m-3)(y1+y2)+(m-3)2
=2[4m(2-2m)-3(m+1)·4m-4(m-3)]4m2(2-2m)+2m(m-3)·4m+(m-3)2
=8(-5m2-2m+3)3(-5m2-2m+3)=83,
故直线QA,QB的斜率之和为定值83.