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北师大版（2024）九年级上册第六章 反比例函数1 反比例函数优秀课时训练
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这是一份北师大版（2024）九年级上册第六章 反比例函数1 反比例函数优秀课时训练，文件包含第6章反比例函数全章复习攻略与检测卷原卷版docx、第6章反比例函数全章复习攻略与检测卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
倍速学习五种方法
【1个概念】
1.反比例函数的概念
【2个方法】
1.画反比例函数图象的方法
2.求反比例函数表达式的方法
【2个应用】
1.反比例函数图象与性质的应用
2. .反比例函数的实际应用
【3种思想】
1.数形结合思想
2.方程思想
3.分类讨论思想
【检测卷】
【倍速学习四种方法】
【1个概念】
1.反比例函数的概念
【例1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．xy＝1B．y＝C．y＝D．y＝
【答案】A
【解答】解：A、由原式得到y＝，符合反比例函数的定义．故本选项正确；
B、该函数式表示y与x2成反比例关系，故本选项错误；
C、该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项错误；
D、该函数不属于反比例函数，故本选项错误；
故选：A．
【变式】（2023秋·九年级课时练习）已知关于x的反比例函数，则m的值为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义得到，，即可求得m的值．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，，
∴且，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数，形如的函数是反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
【2个方法】
1.画反比例函数图象的方法
【例2】（2022春·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数与的图象.
【分析】用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．
【详解】解：列表如下：
描点、连线，如图所示.
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
2.求反比例函数表达式的方法
【例3】（2021秋·福建三明·九年级统考阶段练习）水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为．
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)求当时，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y与x之间的函数关系式；
（2）把代入（1）中函数关系式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）当时，．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键．
【变式】（2023秋·九年级课时练习）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表：
根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】由表中数据可得，，从而可得y关于x的函数表达式．
【详解】由表中数据可得，，
∴y关于x的函数表达式为．
故答案为：
【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键．
【2个应用】
1.反比例函数图象与性质的应用
【例4】（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．
（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当y≤4，且y≠0时自变量x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝﹣，图象见详解；（2）x≤﹣或x＞0．
【解答】解：（1）把点（3，﹣2）代入y＝（k≠0），
﹣2＝，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
补充其函数图象如下：
（2）当y＝4时，﹣＝4，
解得：x＝﹣，
∴当y≤4，且y≠0时，x≤﹣或x＞0．
【变式】（2022秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式和n的值；
（2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A（1，6），B（3，n）在y＝的图象上，
∴k2＝6，
∴反比例函数的解析式是y＝．
∴n＝＝2；
（2）当0＜x＜1或x＞3时，k1x+b＜；
（3）∵A（1，6），B（3，2）在函数y＝k1x+b的图象上，
∴，
解得：，
则一次函数的解析式是y＝﹣2x+8，
设直线y＝﹣2x+8与x轴相交于点C，C的坐标是（4，0）．
S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC（|yA|﹣|yB）＝8．
2. .反比例函数的实际应用
【例5】（2023春·湖南常德·九年级统考开学考试）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
(1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式；
(2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？
【答案】(1)，
(2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元
【分析】（1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式；
（2）根据“售价进价销售量利润”列出式子，整理即可求解．
【详解】（1）（1）由表中数据得：，
，
是的反比例函数，
故所求函数关系式为；
（2）由题意得：，
把代入得：，
解得：；
经检验，是原方程的根，符合题意.
答：若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验．
【变式】（2022春·九年级课时练习）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym．
(1)直接写出y与x的函数关系式为______；
(2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
【答案】(1)
(2)22m
【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴y与x的函数关系式为：，
故答案为：；
（2）解：当x= 5时，，
∵，
∴不符合题意，舍去；
当x=6时，，
∵，
∴符合题意，此栅栏总长为：
；
答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值．
【3种思想】
1.数形结合思想
【例6】已知反比例函数的图像与的图像交于点A、B，A点的坐标是（，-2）
（1）求反比例函数解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在y轴上是否存在点C，使得△ABC的面积是6，若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）；（2）（-1，2）；（3）（0,6）或（0，-6）
【分析】（1）将点A坐标代入中，求a的值，然后用待定系数法求反比例函数解析式；（2）根据正比例函数和反比例函数关于原点对称的性质求点B的坐标；（3）设点C的坐标为（0，y），数形结合，根据三角形面积公式列方程求解.
【详解】解：（1）把A点的坐标（，-2）代入中
解得：a=1
∴A点的坐标是（1，-2）
设反比例函数解析式为：
将A点的坐标（1，-2）代入中
∴反比例函数的解析式为：
（2）∵正比例函数和反比例函数关于原点对称且它们的图像交于点A、B
∴点A、B关于原点对称
∴B点坐标为：（-1，2）
（3）存在，设点C的坐标为（0，y），连接AC，BC
∴
∴点C的坐标为（0,6）或（0，-6）
【点睛】本题考查反比例函数和正比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，数形结合思想解题是本题的解题关键.
【变式】．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点C（m，n）, .过点A作轴垂线，垂足为B，过点C作轴垂线，垂足为D，联结OC．
（1）求的值；
（2）设的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系；
（3）联结AC，当第（2）问中S的值为1时，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题．
（2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题．
（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题．
【详解】（1）设A点的坐标为（4，）；
由题意得：，解得：k=8，
即k的值为8．
（2）如图，设C点的坐标为C（m，n）．
则n=m，即DE=m；而OD=m，
∴S=OD•DE=m×m=m2，
即S关于m的函数解析式是S=m2．
（3）当S=1时，m2=1，解得m=2或-2（舍去），
∵点C在函数y=的图象上，
∴CD==4；
由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4-2=2；
∴S梯形ABDC＝ (4+2)×2=6，
S△AOB＝×4×2＝4，
S△COD＝×2×4=4；
∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD-S△AOB=6+4-4=6．
【点睛】该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明．
2.方程思想
【例7】（2023•六安模拟）如图，已知A的坐标是（4，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD，△OBD的面积为2．
（1）求k的值和点C的坐标．
（2）若点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求b的取值范围．
【解答】解：（1）∵S△OBD＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数为①，
设直线OA解析式为y＝mx，
将A（4，4）代入得，4m＝4，
∴m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x②，
由①②得x2＝4，
∴x＝﹣2（不合题意，舍去），x＝2，
∴C为（2，2）．
（2）将x＝4代入，
得y＝1，
∴点D的坐标为（4，1），
∵点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包含边界），且C的坐标为（2，2），
∴由图象得1≤b≤2．
【变式】（2023•合肥二模）反比例函数与一次函数y＝﹣x+m的图象交于A、B两点，A坐标为（1，2）．
（1）求出B点坐标；
（2）若M（x1，y1）是反比例函数图象上的点，N（x2，y2）是一次函数y＝﹣x+m图象上的点，当点M在点N下方时，判断自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数与一次函数y＝﹣x+m的图象交于A、B两点，A坐标为（1，2），
∴，
解得k＝2，m＝3，
∴，
∴，
解得，，
故B（2，1）；
（2）结合函数图象，得当点M在点N下方时，x＜0，1＜x＜2．
3.分类讨论思想
【例8】（2022秋•徐汇区期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝x的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB＝3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）将y＝3代入y＝x，得x＝，可得A（），再将点A代入反比例函数的解析式为y＝，即可得出答案；
（2）根据点A的坐标，可知∠OAB＝30°，过点C作CG⊥OA于G，由题意得CB＝CG，分点C在AB上或AB的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（3）由OA＝，分AO＝AP，OA＝OP，PA＝PO三种情形，分别得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝3，
∴点A的纵坐标为3，
∵正比例函数y＝x的图象经过点A，
当y＝3时，x＝，
∴A（），
设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
将点A（，3）代入得k＝3，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）∵AB⊥x轴于点B，设点C的坐标为（，y），
在Rt△ABO中，OB＝，AB＝3，由勾股定理得：OA＝＝2，
∵OB＝，
∴∠OAB＝30°，
过点C作CG⊥OA于G，
由题意得CB＝CG，
当点C在AB上时，
则OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝30°，
∴BC＝＝1，
∴C（，1），
当点C在AB延长线上时，
同理可得C'（，﹣3），
综上所述：C（，1）或（，﹣3）；
（3）当AO＝AP＝2时，则P（，3﹣2）或（，3+2），
当OA＝OP时，由OB⊥AP得，AB＝BP，
∴P（，﹣3），
当PA＝PO时，
∴∠OAP＝∠POA＝30°，
则OP平分∠AOB，
∴P（，1），
综上所述：P（，3﹣2）或（，3+2）或（，﹣3）或（，1）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
【变式】．（2022秋•黄浦区校级期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．
（1）求直线y＝kx的函数解析式；
（2）求点C到直线OA的距离；
（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．
【分析】（1）根据中点坐标公式求出点A的横坐标，进而求出点A坐标，即可求出答案；
（2）利用三角形AOC的面积建立方程求解，即可求出答案；
（3）设出点D的坐标，分三种情况利用勾股定理建立方程求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）设点A的坐标为（m，），
∵点C（2，0）是AB的中点，
∴2（m+0）＝2，
∴m＝4，
∴A（4，2），
∵点A在直线y＝kx上，
∴4k＝2，
∴k＝，
∴直线y＝kx的解析式为y＝x；
（2）由（1）知，点A（4，2），
∴OA＝2，
∵点C（2，0），
设点C到直线OA的距离为h，
则S△AOC＝OC•|yA|＝OA•h，
∴h＝＝＝，
即点C到直线OA的距离为；
（3）由（1）知，直线OA的解析式为y＝x，
设点D（n，n），
∵A（4，2），B（0，﹣2），
∴AB2＝32，BD2＝n2+（n+2）2，AD2＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，
∵△ABD是直角三角形，
∴①当∠ABD＝90°时，BD2+AB2＝AD2，
∴n2+（n+2）2+32＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，
∴n＝﹣，
∴D（﹣，﹣），
②当∠BAD＝90°时，AD2+AB2＝BD2，
∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+32＝n2+（n+2）2，
∴n＝4（不符合题意，舍去），
③当∠ADB＝90°时，AD2+BD2＝AB2，
∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+n2+（n+2）2＝32，
∴n＝4（不符合题意，舍去）或n＝﹣，
∴D（﹣，﹣），
即D（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，勾股定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
【检测卷】
一、单选题
1．（2022秋·湖南益阳·九年级校联考期中）下列函数是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】形如的函数是反比例函数，根据定义逐项判断即得答案.
【详解】解：A、，是正比例函数，不是反比例函数；
B、是反比例函数；
C、不是反比例函数；
D、不是反比例函数；
故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知概念是关键.
2．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）若是反比例函数的图象上的两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数表达式判断出图象经过第二、四象限，再根据判断出两点所在象限，即可得解．
【详解】解：在中，，
∴函数图象经过第二、四象限，
∵是图象上的两点，，
∴在第二象限，在第四象限，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据比例系数判断出函数图象所在象限．
3．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：当时，
一次函数经过一、二、四象限，
反比例函数的的图象经过一、三象限，
故A选项的图象符合要求，
当时，
一次函数经过一、三、四象限，
反比例函数的的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：．
【点睛】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与轴的交点与一次函数的常数项相关．
4．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，
∵点，在第二象限内反比例函数的图象上，而，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考开学考试）如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当值由小变大时，先经过点A，把点A的坐标代入即可；最后和直线有交点时最大，即联立的方程中,解题即可．
【详解】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是，
∵过点的反比例函数解析式为
∴
随着 值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意。
经过点的直线解析式设为，代入得
，解得，
∴,
由 得,根据,得
综上可知
故答案为: ．
【点睛】本题考查反比例函数与三角形有交点，解题的关键必须找出临界点．
6．（2023·河南周口·校联考三模）已知点、关于x轴对称，若点M、N分别在反比例函数和的图象上，则k的值为（ ）
A．5B．10C．D．无法确定
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征，得到，再根据关于x轴对称的点的坐标特征，得到，然后代入反比例函数，即可求出k的值．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
点、关于x轴对称，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，关于x轴对称的点的坐标特征，求反比例函数系数，解题关键是掌握关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
7．（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】确定交点的坐标，再根据函数图象进行判断即可．
【详解】解：函数过点，
，
点，
又的图象过点，
由图象可知，关于的不等式的解集，即的解集为，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点坐标，求出交点坐标，采用数形结合的思想是解题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：
根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，
，
直线与轴交于点，
当时，，即，
与双曲线分别相交于点，
联立，即，则，由，解得，
，即，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
9．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点P在函数的图象上，过点P作轴，交y轴于点Q，将点P绕线段的中点M逆时针旋转得到点，点恰好落在函数的图象上，连接、，若的面积等于4，则k的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】D
【分析】设，则，根据题意可得出，则．根据三角形面积公式可求出a的值，进而得出，．再根据点P和点都在的图象上，即可求出k和b的值．
【详解】解：设，则，
∵轴，将点P绕线段的中点M逆时针旋转得到点，
∴，
∴．
∵的面积等于4，
∴，即，
解得：（舍去负值），
∴，．
∵点P和点都在的图象上，
∴，解得：．
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，旋转的性质，坐标与图形．利用数形结合的思想是解题关键．
10．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把称为点P的“和差点”．若直线上有两点A、B，它们的和差点、均在反比例函数上，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，，由和均在反比例函数上，可得，，从而求出点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，即可求出结果．
【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，，
∵和均在反比例函数上，
∴，，
解得：、，、，
当时，；
当时，，
∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，
设一次函数与x的轴相交于点C，
当时，，即，
∴点C的坐标为：，
∴，
如图所示：，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键．
二、填空题
11．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图像上，点B、C的坐标分别是和．．且的面积为4，则k的值为 ．
【答案】
【分析】根据，求出即可求解比例系数．
【详解】解：如图：
∵点B、C的坐标分别是和，，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据图形面积求比例系数．作出正确的图形是解题关键．
12．（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A向y轴作垂线，垂足为点B，点C、D在x轴上，且，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】
【分析】如图，过点作轴于点，则四边形是矩形，根据反比例函数系数的几何意义可得，然后证明四边形是平行四边形，根据平行四边形面积的求法计算即可．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
，，
四边形是矩形，，
点是反比例函数的图象上一点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
13．（2022秋·湖南衡阳·九年级衡阳市华新实验中学校考开学考试）点，，在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系为 .
【答案】/
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴反比例函数（k为常数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点，，在反比例函数（k为常数）的图象上，
∴点位于第三象限，点，位于第一象限，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
14．（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）若反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的值可以是 .（写出一个满足条件的即可）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，然后在这个范围内写出一个则可．
【详解】解：∵反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，
，
解得： ，
∴k可以等于1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质和不等式的解法．
15．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，边在x轴上，边交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边交于点D．若，，，则 ．
【答案】
【分析】作于点M，于点N，设，则，，根据平行线分线段成比例求出，，，，再根据面积公式即可求出k的值．
【详解】解：如图，作于点M，于点N，
设，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴D的纵坐标为，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标特征，以及两条线段被一组平行线所截的线段成比例．
16．（2020秋·安徽蚌埠·九年级统考期中）如图，两个反比例函数其中和在第一象限内的图象依次是和，点P在上，矩形交于A、B两点，OA的延长线交于点E，轴于F点，且图中四边形的面积为6，则为 ．
【答案】
【分析】关键反比例函数的比例系数的几何意义可得、，即可求出．可证，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图：
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论是解题关键．
17．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，正方形的两个顶点、落在双曲线上，点A、分别落在轴与轴的正半轴上，则正方形的边长为 ．
【答案】2
【分析】设，，由正方形可以通过作辅助线，构造全等三角形，进而表示求出、的坐标，利用，得到，即可得到，然后根据勾股定理求得．
【详解】解：作轴于，轴于，
设，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
同理，≌，
，，
，
点、落在双曲线上，
，
，
，
，
，
正方形的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，表示出点、的坐标是解决问题的关键．
18．（2023·安徽滁州·校考二模）如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点A，，在坐标轴上，，的面积为16，则 ．
【答案】
【分析】由平行四边形面积转化为矩形面积，在得到矩形面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
【详解】解：如图，过点做轴于点．
四边形为平行四边形，
，
又轴，
为矩形，
，
，
为对角线交点，轴，
四边形为矩形面积为8，
即，
设点坐标为，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
三、解答题
19．（2021秋·福建三明·九年级统考阶段练习）已知图中的曲线是函数（m为常数）图象的一支．
(1)求常数m的取值范围；
(2)诺该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求点A的坐标及m的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）可得，即可求解；
（2）将代入得，可求的坐标，将的坐标代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：图象的一支在第一象限，
解得：；
（2）解：由题意得
将代入得
，
解得：，
，
，
解得：；
故，．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，掌握性质及解法是解题的关键．
20．（2023·山东·九年级专题练习）已知点A为函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．
(1)如图1，若点A的坐标为，求点C的坐标；
(2)如图2，过点A作，垂足为D，求四边形的面积．
【答案】(1)点C的坐标为
(2)4
【分析】（1）先由反比例函数解析式求出A点坐标，再由中点坐标公式求得B点坐标，由于轴，得到点B和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数解析式求出点C的横坐标，即可解决；
（2）设出A点坐标，由，得到B点坐标，由于轴，，可以得到轴，由此写出点D坐标，由于轴，且点C在图象上，求出点C的坐标，故可以得到和的长度，进而求得和的面积，与的面积之差即为四边形的面积．
【详解】（1）解：将点A坐标代入到反比例函数中得，
，
∴，
∴点A的坐标为，
∵，，
∴点B的坐标为，
∵轴，
∴点C的纵坐标为2，
令，则，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）设，
∵，
∴点B的坐标为，
∵轴，
∴轴，
又，
∴轴，
∴点D的坐标为，
∵轴，且点C在函数图象上，
∴，
∴，
，
∴四边形的面积为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．
21．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）已知：一次函数与反比例函数．其中的图象过．
(1)求出两个函数图象的交点坐标；
(2)根据图象直接回答：取何值时，．
【答案】(1)，．
(2)或
【分析】（1）依据题意，把，代入反比例函数解析式求出再将与联列方程组，进而可以求出交点的坐标；
（2）依据题意，根据一次函数图象在反比例函数下方时对应的自变量作答即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入反比例函数解析式得，，
．
联立方程组
解得：或．
两个函数图象的交点坐标为，．
（2）由题意，作图如下，
，
一次函数图象在反比例函数下方时对应的自变量为：或，即满足题意的为：或．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质，数形结合是解题的关键．
22．（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）如图所示，直线与坐标轴交于、两点，在轴上取点使得，过点作交直线于点，反比例函数与直线交于点，已知．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)用无刻度直尺和圆规作线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)判断点是否在垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)点E在线段的垂直平分线上，理由见解析
【分析】（1）根据一次函数解析式求出点，由进而可得点，再根据一次函数解析式求出点，由可得，用待定系数法即可求解；
（2）分别以点、为圆心，以大于长度为半径画弧，连接两段弧的交点，即为的中垂线；
（3）求出点，由点、的坐标知，线段中点的纵坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：对于，当时，，即点，
令，则，即点，则，
则点，
当时，，即点，则，
则，则点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数表达式为：；
（2）分别以点、为圆心，以大于长度为半径画弧，连接两段弧的交点，即为的中垂线；
（3）点在垂直平分线上，理由：
联立函数解析式得：，解得：，（不合题意，舍去），
即点，
∵点P、D的坐标为、，
∴线段的中点坐标为．
∴线段PD的垂直平分线为直线．
∴点在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查反比例函数的综合运用，涉及到反比例函数的性质，一次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
23．（2023秋·重庆万州·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的一次函数图象上有一点P，满足，请求出点P的坐标；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)点P的坐标为；
(3)x的取值范围是或．
【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点P的坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式；
（2）解：在中，当时，；当时，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则，
解得或（舍去），
将代入，得，
∴P的坐标为；
（3）解：观察图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
24．（2023秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线和曲线进行了探究：
探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？
探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当时，x的取值范围是；直线与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则与的比值是多少？
探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线，直线与两条曲线分别交于E，F两点，若，则n的值是多少？
请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．
【答案】探究一：；探究二：；探究三：
【分析】探究一：联立直线l与曲线c解析式得到对应的一元二次方程，根据只有一个交点得到一元二次方程有两个相等的实数根，据此求解即可；
探究二：利用图象法求出A，B的坐标，进而求出n的值，进一步求出E，G的坐标，利用勾股定理求出的长即可得到答案；
探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T，求出，进而证明，再证明，得到，即，则E、F关于直线l对称，进而得到，设，推出，，则，即可求出，，再根据，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：探究一：联立得：，
∵直线l与曲线c有且只有一个交点，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
当时，原方程为，解得，不符合题意；
当时，原方程为，解得，符合题意；
∴；
探究二：设，
由函数图象可知，当直线l的函数图象在曲线c的函数图象上方时，自变量的取值范围为，
∵当时，x的取值范围是，
∴，
联立得：，
∵直线l与曲线c交于A，B两点，
∴方程的两个实数根分别为，
∴，
∴直线l的解析式为，
∴，
∴；
联立，解得，
∴；
联立，解得或，
∴，
∴，
∴；
探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T，
在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵直线平分，
∴，
∴，即，
∴E、F关于直线l对称，
∴，
设，
联立得：，联立，解得，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（此时直线l与曲线c只有一个交点）（舍去）或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解一元二次方程，正确通过联立对应的解析式，从而表示出对应的交点坐标是解题的关键．
25．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．
(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积
数形结合求出x的范围即可.
【详解】（1）将代入双曲线，
∴,
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴,
∴,
将代入,
，
解得，
∴直线解析式为；
（2）∵直线向下平移至,
∴,
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
过点作交于,
设直线与轴的交点为，与轴的交点为,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
，
∵，
，
，
∴的面积
（3）由图可知时,
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.
26．（2021·广东江门·校考三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接、．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)在x轴上取点P，求出使取得最大值时点P的坐标．
【答案】(1)k的值为16，b的值为；
(2)的面积为6
(3)点P的坐标为
【分析】（1）将点代入反比例函数，利用待定系数法即可求出k的值；根据坐标两点的公式，求得，再根据菱形的性质，得到，，进而得到，将代入，利用待定系数法即可求出b的值；
（2）先求出直线与坐标轴的交点坐标和，再求出 ，，即可得到的面积；
（3）作关于x轴的的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接，根据坐标两点的公式，求得，再根据轴对称的性质，得到，进而得到，即当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，利用待定系数法求出直线的解析式为，令，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
解得：；
点A的坐标为，点D的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
轴，
，
将代入，得：，
解得：，
的值为16，b的值为；
（2）解：由（1）知，直线解析式为，
令，则，令，则，解得：，
，，
，
点A的坐标为，
，
，
，，
；
的面积为6；
（3）解：如图，作关于x轴的的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接，
，，
，
、关于轴对称，
，
，
当P、、C构成三角形时，，即，
当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
令，则，解得：，
，
取得最大值时，点P的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，代行系数法求函数解析式，坐标两点的公式，菱形的性质，三角形面积问题，轴对称的性质等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
-8
8
4
2
2
4
8
-8
-4
-2
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
第1天
第2天
第3天
第4天
售价(元/双)
150
200
250
300
销售量(双)
40
30
24
20
倍速学习五种方法
【1个概念】
1.反比例函数的概念
【2个方法】
1.画反比例函数图象的方法
2.求反比例函数表达式的方法
【2个应用】
1.反比例函数图象与性质的应用
2. .反比例函数的实际应用
【3种思想】
1.数形结合思想
2.方程思想
3.分类讨论思想
【检测卷】
【倍速学习四种方法】
【1个概念】
1.反比例函数的概念
【例1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．xy＝1B．y＝C．y＝D．y＝
【答案】A
【解答】解：A、由原式得到y＝，符合反比例函数的定义．故本选项正确；
B、该函数式表示y与x2成反比例关系，故本选项错误；
C、该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项错误；
D、该函数不属于反比例函数，故本选项错误；
故选：A．
【变式】（2023秋·九年级课时练习）已知关于x的反比例函数，则m的值为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义得到，，即可求得m的值．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，，
∴且，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数，形如的函数是反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
【2个方法】
1.画反比例函数图象的方法
【例2】（2022春·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数与的图象.
【分析】用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．
【详解】解：列表如下：
描点、连线，如图所示.
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
2.求反比例函数表达式的方法
【例3】（2021秋·福建三明·九年级统考阶段练习）水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为．
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)求当时，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y与x之间的函数关系式；
（2）把代入（1）中函数关系式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）当时，．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键．
【变式】（2023秋·九年级课时练习）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表：
根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】由表中数据可得，，从而可得y关于x的函数表达式．
【详解】由表中数据可得，，
∴y关于x的函数表达式为．
故答案为：
【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键．
【2个应用】
1.反比例函数图象与性质的应用
【例4】（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．
（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当y≤4，且y≠0时自变量x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝﹣，图象见详解；（2）x≤﹣或x＞0．
【解答】解：（1）把点（3，﹣2）代入y＝（k≠0），
﹣2＝，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
补充其函数图象如下：
（2）当y＝4时，﹣＝4，
解得：x＝﹣，
∴当y≤4，且y≠0时，x≤﹣或x＞0．
【变式】（2022秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式和n的值；
（2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A（1，6），B（3，n）在y＝的图象上，
∴k2＝6，
∴反比例函数的解析式是y＝．
∴n＝＝2；
（2）当0＜x＜1或x＞3时，k1x+b＜；
（3）∵A（1，6），B（3，2）在函数y＝k1x+b的图象上，
∴，
解得：，
则一次函数的解析式是y＝﹣2x+8，
设直线y＝﹣2x+8与x轴相交于点C，C的坐标是（4，0）．
S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC（|yA|﹣|yB）＝8．
2. .反比例函数的实际应用
【例5】（2023春·湖南常德·九年级统考开学考试）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
(1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式；
(2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？
【答案】(1)，
(2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元
【分析】（1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式；
（2）根据“售价进价销售量利润”列出式子，整理即可求解．
【详解】（1）（1）由表中数据得：，
，
是的反比例函数，
故所求函数关系式为；
（2）由题意得：，
把代入得：，
解得：；
经检验，是原方程的根，符合题意.
答：若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验．
【变式】（2022春·九年级课时练习）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym．
(1)直接写出y与x的函数关系式为______；
(2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
【答案】(1)
(2)22m
【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴y与x的函数关系式为：，
故答案为：；
（2）解：当x= 5时，，
∵，
∴不符合题意，舍去；
当x=6时，，
∵，
∴符合题意，此栅栏总长为：
；
答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值．
【3种思想】
1.数形结合思想
【例6】已知反比例函数的图像与的图像交于点A、B，A点的坐标是（，-2）
（1）求反比例函数解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在y轴上是否存在点C，使得△ABC的面积是6，若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）；（2）（-1，2）；（3）（0,6）或（0，-6）
【分析】（1）将点A坐标代入中，求a的值，然后用待定系数法求反比例函数解析式；（2）根据正比例函数和反比例函数关于原点对称的性质求点B的坐标；（3）设点C的坐标为（0，y），数形结合，根据三角形面积公式列方程求解.
【详解】解：（1）把A点的坐标（，-2）代入中
解得：a=1
∴A点的坐标是（1，-2）
设反比例函数解析式为：
将A点的坐标（1，-2）代入中
∴反比例函数的解析式为：
（2）∵正比例函数和反比例函数关于原点对称且它们的图像交于点A、B
∴点A、B关于原点对称
∴B点坐标为：（-1，2）
（3）存在，设点C的坐标为（0，y），连接AC，BC
∴
∴点C的坐标为（0,6）或（0，-6）
【点睛】本题考查反比例函数和正比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，数形结合思想解题是本题的解题关键.
【变式】．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点C（m，n）, .过点A作轴垂线，垂足为B，过点C作轴垂线，垂足为D，联结OC．
（1）求的值；
（2）设的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系；
（3）联结AC，当第（2）问中S的值为1时，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题．
（2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题．
（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题．
【详解】（1）设A点的坐标为（4，）；
由题意得：，解得：k=8，
即k的值为8．
（2）如图，设C点的坐标为C（m，n）．
则n=m，即DE=m；而OD=m，
∴S=OD•DE=m×m=m2，
即S关于m的函数解析式是S=m2．
（3）当S=1时，m2=1，解得m=2或-2（舍去），
∵点C在函数y=的图象上，
∴CD==4；
由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4-2=2；
∴S梯形ABDC＝ (4+2)×2=6，
S△AOB＝×4×2＝4，
S△COD＝×2×4=4；
∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD-S△AOB=6+4-4=6．
【点睛】该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明．
2.方程思想
【例7】（2023•六安模拟）如图，已知A的坐标是（4，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD，△OBD的面积为2．
（1）求k的值和点C的坐标．
（2）若点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求b的取值范围．
【解答】解：（1）∵S△OBD＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数为①，
设直线OA解析式为y＝mx，
将A（4，4）代入得，4m＝4，
∴m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x②，
由①②得x2＝4，
∴x＝﹣2（不合题意，舍去），x＝2，
∴C为（2，2）．
（2）将x＝4代入，
得y＝1，
∴点D的坐标为（4，1），
∵点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包含边界），且C的坐标为（2，2），
∴由图象得1≤b≤2．
【变式】（2023•合肥二模）反比例函数与一次函数y＝﹣x+m的图象交于A、B两点，A坐标为（1，2）．
（1）求出B点坐标；
（2）若M（x1，y1）是反比例函数图象上的点，N（x2，y2）是一次函数y＝﹣x+m图象上的点，当点M在点N下方时，判断自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数与一次函数y＝﹣x+m的图象交于A、B两点，A坐标为（1，2），
∴，
解得k＝2，m＝3，
∴，
∴，
解得，，
故B（2，1）；
（2）结合函数图象，得当点M在点N下方时，x＜0，1＜x＜2．
3.分类讨论思想
【例8】（2022秋•徐汇区期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝x的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB＝3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）将y＝3代入y＝x，得x＝，可得A（），再将点A代入反比例函数的解析式为y＝，即可得出答案；
（2）根据点A的坐标，可知∠OAB＝30°，过点C作CG⊥OA于G，由题意得CB＝CG，分点C在AB上或AB的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（3）由OA＝，分AO＝AP，OA＝OP，PA＝PO三种情形，分别得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝3，
∴点A的纵坐标为3，
∵正比例函数y＝x的图象经过点A，
当y＝3时，x＝，
∴A（），
设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
将点A（，3）代入得k＝3，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）∵AB⊥x轴于点B，设点C的坐标为（，y），
在Rt△ABO中，OB＝，AB＝3，由勾股定理得：OA＝＝2，
∵OB＝，
∴∠OAB＝30°，
过点C作CG⊥OA于G，
由题意得CB＝CG，
当点C在AB上时，
则OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝30°，
∴BC＝＝1，
∴C（，1），
当点C在AB延长线上时，
同理可得C'（，﹣3），
综上所述：C（，1）或（，﹣3）；
（3）当AO＝AP＝2时，则P（，3﹣2）或（，3+2），
当OA＝OP时，由OB⊥AP得，AB＝BP，
∴P（，﹣3），
当PA＝PO时，
∴∠OAP＝∠POA＝30°，
则OP平分∠AOB，
∴P（，1），
综上所述：P（，3﹣2）或（，3+2）或（，﹣3）或（，1）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
【变式】．（2022秋•黄浦区校级期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．
（1）求直线y＝kx的函数解析式；
（2）求点C到直线OA的距离；
（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．
【分析】（1）根据中点坐标公式求出点A的横坐标，进而求出点A坐标，即可求出答案；
（2）利用三角形AOC的面积建立方程求解，即可求出答案；
（3）设出点D的坐标，分三种情况利用勾股定理建立方程求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）设点A的坐标为（m，），
∵点C（2，0）是AB的中点，
∴2（m+0）＝2，
∴m＝4，
∴A（4，2），
∵点A在直线y＝kx上，
∴4k＝2，
∴k＝，
∴直线y＝kx的解析式为y＝x；
（2）由（1）知，点A（4，2），
∴OA＝2，
∵点C（2，0），
设点C到直线OA的距离为h，
则S△AOC＝OC•|yA|＝OA•h，
∴h＝＝＝，
即点C到直线OA的距离为；
（3）由（1）知，直线OA的解析式为y＝x，
设点D（n，n），
∵A（4，2），B（0，﹣2），
∴AB2＝32，BD2＝n2+（n+2）2，AD2＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，
∵△ABD是直角三角形，
∴①当∠ABD＝90°时，BD2+AB2＝AD2，
∴n2+（n+2）2+32＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，
∴n＝﹣，
∴D（﹣，﹣），
②当∠BAD＝90°时，AD2+AB2＝BD2，
∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+32＝n2+（n+2）2，
∴n＝4（不符合题意，舍去），
③当∠ADB＝90°时，AD2+BD2＝AB2，
∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+n2+（n+2）2＝32，
∴n＝4（不符合题意，舍去）或n＝﹣，
∴D（﹣，﹣），
即D（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，勾股定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
【检测卷】
一、单选题
1．（2022秋·湖南益阳·九年级校联考期中）下列函数是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】形如的函数是反比例函数，根据定义逐项判断即得答案.
【详解】解：A、，是正比例函数，不是反比例函数；
B、是反比例函数；
C、不是反比例函数；
D、不是反比例函数；
故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知概念是关键.
2．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）若是反比例函数的图象上的两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数表达式判断出图象经过第二、四象限，再根据判断出两点所在象限，即可得解．
【详解】解：在中，，
∴函数图象经过第二、四象限，
∵是图象上的两点，，
∴在第二象限，在第四象限，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据比例系数判断出函数图象所在象限．
3．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：当时，
一次函数经过一、二、四象限，
反比例函数的的图象经过一、三象限，
故A选项的图象符合要求，
当时，
一次函数经过一、三、四象限，
反比例函数的的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：．
【点睛】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与轴的交点与一次函数的常数项相关．
4．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，
∵点，在第二象限内反比例函数的图象上，而，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考开学考试）如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当值由小变大时，先经过点A，把点A的坐标代入即可；最后和直线有交点时最大，即联立的方程中,解题即可．
【详解】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是，
∵过点的反比例函数解析式为
∴
随着 值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意。
经过点的直线解析式设为，代入得
，解得，
∴,
由 得,根据,得
综上可知
故答案为: ．
【点睛】本题考查反比例函数与三角形有交点，解题的关键必须找出临界点．
6．（2023·河南周口·校联考三模）已知点、关于x轴对称，若点M、N分别在反比例函数和的图象上，则k的值为（ ）
A．5B．10C．D．无法确定
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征，得到，再根据关于x轴对称的点的坐标特征，得到，然后代入反比例函数，即可求出k的值．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
点、关于x轴对称，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，关于x轴对称的点的坐标特征，求反比例函数系数，解题关键是掌握关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
7．（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】确定交点的坐标，再根据函数图象进行判断即可．
【详解】解：函数过点，
，
点，
又的图象过点，
由图象可知，关于的不等式的解集，即的解集为，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点坐标，求出交点坐标，采用数形结合的思想是解题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：
根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，
，
直线与轴交于点，
当时，，即，
与双曲线分别相交于点，
联立，即，则，由，解得，
，即，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
9．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点P在函数的图象上，过点P作轴，交y轴于点Q，将点P绕线段的中点M逆时针旋转得到点，点恰好落在函数的图象上，连接、，若的面积等于4，则k的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】D
【分析】设，则，根据题意可得出，则．根据三角形面积公式可求出a的值，进而得出，．再根据点P和点都在的图象上，即可求出k和b的值．
【详解】解：设，则，
∵轴，将点P绕线段的中点M逆时针旋转得到点，
∴，
∴．
∵的面积等于4，
∴，即，
解得：（舍去负值），
∴，．
∵点P和点都在的图象上，
∴，解得：．
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，旋转的性质，坐标与图形．利用数形结合的思想是解题关键．
10．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把称为点P的“和差点”．若直线上有两点A、B，它们的和差点、均在反比例函数上，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，，由和均在反比例函数上，可得，，从而求出点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，即可求出结果．
【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，，
∵和均在反比例函数上，
∴，，
解得：、，、，
当时，；
当时，，
∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，
设一次函数与x的轴相交于点C，
当时，，即，
∴点C的坐标为：，
∴，
如图所示：，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键．
二、填空题
11．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图像上，点B、C的坐标分别是和．．且的面积为4，则k的值为 ．
【答案】
【分析】根据，求出即可求解比例系数．
【详解】解：如图：
∵点B、C的坐标分别是和，，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据图形面积求比例系数．作出正确的图形是解题关键．
12．（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A向y轴作垂线，垂足为点B，点C、D在x轴上，且，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】
【分析】如图，过点作轴于点，则四边形是矩形，根据反比例函数系数的几何意义可得，然后证明四边形是平行四边形，根据平行四边形面积的求法计算即可．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
，，
四边形是矩形，，
点是反比例函数的图象上一点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
13．（2022秋·湖南衡阳·九年级衡阳市华新实验中学校考开学考试）点，，在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系为 .
【答案】/
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴反比例函数（k为常数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点，，在反比例函数（k为常数）的图象上，
∴点位于第三象限，点，位于第一象限，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
14．（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）若反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的值可以是 .（写出一个满足条件的即可）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，然后在这个范围内写出一个则可．
【详解】解：∵反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，
，
解得： ，
∴k可以等于1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质和不等式的解法．
15．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，边在x轴上，边交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边交于点D．若，，，则 ．
【答案】
【分析】作于点M，于点N，设，则，，根据平行线分线段成比例求出，，，，再根据面积公式即可求出k的值．
【详解】解：如图，作于点M，于点N，
设，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴D的纵坐标为，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标特征，以及两条线段被一组平行线所截的线段成比例．
16．（2020秋·安徽蚌埠·九年级统考期中）如图，两个反比例函数其中和在第一象限内的图象依次是和，点P在上，矩形交于A、B两点，OA的延长线交于点E，轴于F点，且图中四边形的面积为6，则为 ．
【答案】
【分析】关键反比例函数的比例系数的几何意义可得、，即可求出．可证，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图：
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论是解题关键．
17．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，正方形的两个顶点、落在双曲线上，点A、分别落在轴与轴的正半轴上，则正方形的边长为 ．
【答案】2
【分析】设，，由正方形可以通过作辅助线，构造全等三角形，进而表示求出、的坐标，利用，得到，即可得到，然后根据勾股定理求得．
【详解】解：作轴于，轴于，
设，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
同理，≌，
，，
，
点、落在双曲线上，
，
，
，
，
，
正方形的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，表示出点、的坐标是解决问题的关键．
18．（2023·安徽滁州·校考二模）如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点A，，在坐标轴上，，的面积为16，则 ．
【答案】
【分析】由平行四边形面积转化为矩形面积，在得到矩形面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
【详解】解：如图，过点做轴于点．
四边形为平行四边形，
，
又轴，
为矩形，
，
，
为对角线交点，轴，
四边形为矩形面积为8，
即，
设点坐标为，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
三、解答题
19．（2021秋·福建三明·九年级统考阶段练习）已知图中的曲线是函数（m为常数）图象的一支．
(1)求常数m的取值范围；
(2)诺该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求点A的坐标及m的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）可得，即可求解；
（2）将代入得，可求的坐标，将的坐标代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：图象的一支在第一象限，
解得：；
（2）解：由题意得
将代入得
，
解得：，
，
，
解得：；
故，．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，掌握性质及解法是解题的关键．
20．（2023·山东·九年级专题练习）已知点A为函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．
(1)如图1，若点A的坐标为，求点C的坐标；
(2)如图2，过点A作，垂足为D，求四边形的面积．
【答案】(1)点C的坐标为
(2)4
【分析】（1）先由反比例函数解析式求出A点坐标，再由中点坐标公式求得B点坐标，由于轴，得到点B和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数解析式求出点C的横坐标，即可解决；
（2）设出A点坐标，由，得到B点坐标，由于轴，，可以得到轴，由此写出点D坐标，由于轴，且点C在图象上，求出点C的坐标，故可以得到和的长度，进而求得和的面积，与的面积之差即为四边形的面积．
【详解】（1）解：将点A坐标代入到反比例函数中得，
，
∴，
∴点A的坐标为，
∵，，
∴点B的坐标为，
∵轴，
∴点C的纵坐标为2，
令，则，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）设，
∵，
∴点B的坐标为，
∵轴，
∴轴，
又，
∴轴，
∴点D的坐标为，
∵轴，且点C在函数图象上，
∴，
∴，
，
∴四边形的面积为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．
21．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）已知：一次函数与反比例函数．其中的图象过．
(1)求出两个函数图象的交点坐标；
(2)根据图象直接回答：取何值时，．
【答案】(1)，．
(2)或
【分析】（1）依据题意，把，代入反比例函数解析式求出再将与联列方程组，进而可以求出交点的坐标；
（2）依据题意，根据一次函数图象在反比例函数下方时对应的自变量作答即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入反比例函数解析式得，，
．
联立方程组
解得：或．
两个函数图象的交点坐标为，．
（2）由题意，作图如下，
，
一次函数图象在反比例函数下方时对应的自变量为：或，即满足题意的为：或．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质，数形结合是解题的关键．
22．（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）如图所示，直线与坐标轴交于、两点，在轴上取点使得，过点作交直线于点，反比例函数与直线交于点，已知．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)用无刻度直尺和圆规作线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)判断点是否在垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)点E在线段的垂直平分线上，理由见解析
【分析】（1）根据一次函数解析式求出点，由进而可得点，再根据一次函数解析式求出点，由可得，用待定系数法即可求解；
（2）分别以点、为圆心，以大于长度为半径画弧，连接两段弧的交点，即为的中垂线；
（3）求出点，由点、的坐标知，线段中点的纵坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：对于，当时，，即点，
令，则，即点，则，
则点，
当时，，即点，则，
则，则点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数表达式为：；
（2）分别以点、为圆心，以大于长度为半径画弧，连接两段弧的交点，即为的中垂线；
（3）点在垂直平分线上，理由：
联立函数解析式得：，解得：，（不合题意，舍去），
即点，
∵点P、D的坐标为、，
∴线段的中点坐标为．
∴线段PD的垂直平分线为直线．
∴点在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查反比例函数的综合运用，涉及到反比例函数的性质，一次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
23．（2023秋·重庆万州·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的一次函数图象上有一点P，满足，请求出点P的坐标；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)点P的坐标为；
(3)x的取值范围是或．
【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点P的坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式；
（2）解：在中，当时，；当时，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则，
解得或（舍去），
将代入，得，
∴P的坐标为；
（3）解：观察图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
24．（2023秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线和曲线进行了探究：
探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？
探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当时，x的取值范围是；直线与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则与的比值是多少？
探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线，直线与两条曲线分别交于E，F两点，若，则n的值是多少？
请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．
【答案】探究一：；探究二：；探究三：
【分析】探究一：联立直线l与曲线c解析式得到对应的一元二次方程，根据只有一个交点得到一元二次方程有两个相等的实数根，据此求解即可；
探究二：利用图象法求出A，B的坐标，进而求出n的值，进一步求出E，G的坐标，利用勾股定理求出的长即可得到答案；
探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T，求出，进而证明，再证明，得到，即，则E、F关于直线l对称，进而得到，设，推出，，则，即可求出，，再根据，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：探究一：联立得：，
∵直线l与曲线c有且只有一个交点，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
当时，原方程为，解得，不符合题意；
当时，原方程为，解得，符合题意；
∴；
探究二：设，
由函数图象可知，当直线l的函数图象在曲线c的函数图象上方时，自变量的取值范围为，
∵当时，x的取值范围是，
∴，
联立得：，
∵直线l与曲线c交于A，B两点，
∴方程的两个实数根分别为，
∴，
∴直线l的解析式为，
∴，
∴；
联立，解得，
∴；
联立，解得或，
∴，
∴，
∴；
探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T，
在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵直线平分，
∴，
∴，即，
∴E、F关于直线l对称，
∴，
设，
联立得：，联立，解得，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（此时直线l与曲线c只有一个交点）（舍去）或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解一元二次方程，正确通过联立对应的解析式，从而表示出对应的交点坐标是解题的关键．
25．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．
(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积
数形结合求出x的范围即可.
【详解】（1）将代入双曲线，
∴,
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴,
∴,
将代入,
，
解得，
∴直线解析式为；
（2）∵直线向下平移至,
∴,
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
过点作交于,
设直线与轴的交点为，与轴的交点为,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
，
∵，
，
，
∴的面积
（3）由图可知时,
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.
26．（2021·广东江门·校考三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接、．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)在x轴上取点P，求出使取得最大值时点P的坐标．
【答案】(1)k的值为16，b的值为；
(2)的面积为6
(3)点P的坐标为
【分析】（1）将点代入反比例函数，利用待定系数法即可求出k的值；根据坐标两点的公式，求得，再根据菱形的性质，得到，，进而得到，将代入，利用待定系数法即可求出b的值；
（2）先求出直线与坐标轴的交点坐标和，再求出 ，，即可得到的面积；
（3）作关于x轴的的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接，根据坐标两点的公式，求得，再根据轴对称的性质，得到，进而得到，即当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，利用待定系数法求出直线的解析式为，令，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
解得：；
点A的坐标为，点D的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
轴，
，
将代入，得：，
解得：，
的值为16，b的值为；
（2）解：由（1）知，直线解析式为，
令，则，令，则，解得：，
，，
，
点A的坐标为，
，
，
，，
；
的面积为6；
（3）解：如图，作关于x轴的的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接，
，，
，
、关于轴对称，
，
，
当P、、C构成三角形时，，即，
当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
令，则，解得：，
，
取得最大值时，点P的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，代行系数法求函数解析式，坐标两点的公式，菱形的性质，三角形面积问题，轴对称的性质等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
-8
8
4
2
2
4
8
-8
-4
-2
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
第1天
第2天
第3天
第4天
售价(元/双)
150
200
250
300
销售量(双)
40
30
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