高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算课后练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算课后练习题，共4页。试卷主要包含了 b＋c)－ b－c)等于，设a，b是两个不共线的非零向量，计算等内容，欢迎下载使用。

1．(3a＋ eq \f(1,2) b＋c)－(2a＋ eq \f(3,4) b－c)等于( )
A．a－ eq \f(1,4) b＋2c B．5a－ eq \f(1,4) b＋2c
C．a＋ eq \f(5,4) b＋2c D．5a＋ eq \f(5,4) b
2．已知向量a，b，且 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝－5a＋6b， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B，C，D B．A，B，C
C．A，B，D D．A，C，D
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，则 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝( )
A． eq \f(1,3) a＋b B． eq \f(1,2) a＋b
C．a＋ eq \f(1,3) b D．a＋ eq \f(1,2) b
4．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
5．计算：
(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；
(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
(3) eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（4a－3b）＋\f(1,3)b－\f(1,4)（6a－7b）)) .
6．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝e＋2f， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝－4e－f， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－5e－3f.
(1)用e，f表示 eq \(AD,\s\up6(→)) ；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
7．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定可以使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝b
8．设P是△ABC所在平面内一点，且 eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(BA,\s\up6(→)) ＝2 eq \(BP,\s\up6(→)) ，则( )
A． eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(PB,\s\up6(→)) ＝0 B． eq \(PC,\s\up6(→)) ＋ eq \(PA,\s\up6(→)) ＝0
C． eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝0 D． eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝0
9．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，则( )
A． eq \(AO,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OD,\s\up6(→)) B． eq \(AO,\s\up6(→)) ＝ eq \(OD,\s\up6(→))
C． eq \(AO,\s\up6(→)) ＝3 eq \(OD,\s\up6(→)) D．2 eq \(AO,\s\up6(→)) ＝ eq \(OD,\s\up6(→))
10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝ eq \f(1,2) AB，BE＝ eq \f(2,3) BC.若 eq \(DE,\s\up6(→)) ＝λ1 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ2 eq \(AC,\s\up6(→)) (λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
11．在等腰梯形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(DC,\s\up6(→)) ，点E是线段BC的中点，若 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AD,\s\up6(→)) ，则λ＝______，μ＝________．
12．若 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝3e1， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝3e2，且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量 eq \(OP,\s\up6(→)) 用e1，e2可表示为 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝________．
13．已知△ABC中，向量 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )(λ∈R)，则点P的轨迹通过△ABC的( )
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
14．在△OAB中， eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OP,\s\up6(→)) ＝p，若p＝t( eq \f(a,|a|) ＋ eq \f(b,|b|) )，t∈R，则点P在( )
A．∠AOB平分线所在直线上
B．线段AB垂直平分线上
C．AB边所在直线上
D．AB边的中线上
参考答案与解析
1．答案：A
解析：(3a＋ eq \f(1,2) b＋c)－(2a＋ eq \f(3,4) b－c)＝(3a－2a)＋( eq \f(1,2) b－ eq \f(3,4) b)＋(c＋c)＝a－ eq \f(1,4) b＋2c.
2．答案：C
解析： eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋2b， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝2a＋4b＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) ，又 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(BD,\s\up6(→)) 有公共点B，∴A，B，D三点共线．
3．答案：A
解析：由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝ eq \f(1,3) AB，所以 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) a＋b.
4．答案：－4
解析：∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k＜0).
5．解析：(1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.
(2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.
(3)原式＝ eq \f(2,3) (4a－3b＋ eq \f(1,3) b－ eq \f(3,2) a＋ eq \f(7,4) b)
＝ eq \f(2,3) ( eq \f(5,2) a－ eq \f(11,12) b)
＝ eq \f(5,3) a－ eq \f(11,18) b.
6．解析：(1) eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2 eq \(BC,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AD,\s\up6(→)) 与 eq \(BC,\s\up6(→)) 方向相同，且 eq \(AD,\s\up6(→)) 的长度为 eq \(BC,\s\up6(→)) 长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
7．答案：AB
解析：由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故B可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．
8．答案：B
解析：因为 eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(BA,\s\up6(→)) ＝2 eq \(BP,\s\up6(→)) ，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确．
9．答案：B
解析：因为D为BC的中点，所以 eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OD,\s\up6(→)) ，所以2 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(OD,\s\up6(→)) ＝0，
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝－ eq \(OD,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AO,\s\up6(→)) ＝ eq \(OD,\s\up6(→)) .
10．答案： eq \f(1,2)
解析：由 eq \(DE,\s\up6(→)) ＝ eq \(BE,\s\up6(→)) － eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,6) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，得λ1＝－ eq \f(1,6) ，λ2＝ eq \f(2,3) ，从而λ1＋λ2＝ eq \f(1,2) .
11．答案： eq \f(3,4) eq \f(1,2)
解析：取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.
∵ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) ( eq \(FC,\s\up6(→)) － eq \(FB,\s\up6(→)) )＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) ( eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) ，
∴λ＝ eq \f(3,4) ，μ＝ eq \f(1,2) .
12．答案：2e1＋e2
解析：如图，
eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))
＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) ( eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) )
＝ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) ×3e2＋ eq \f(2,3) ×3e1＝2e1＋e2.
13．答案：D
解析：设D为BC的中点，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AD,\s\up6(→)) ，∴ eq \(AP,\s\up6(→)) ＝2λ eq \(AD,\s\up6(→)) ，即P点在中线AD上，可知P点轨迹必过△ABC的重心．
14．答案：A
解析：如图， eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(a,|a|) ， eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(b,|b|) ， eq \(OF,\s\up6(→)) ＝ eq \(OE,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ，| eq \(OD,\s\up6(→)) |＝| eq \(OE,\s\up6(→)) |＝1，故四边形ODFE为菱形，OF是∠AOB的平分线．因为 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝t eq \(OF,\s\up6(→)) ，所以点P在线段∠AOB平分线所在直线上．