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重庆市育才成功学校2023-2024学年数学八上期末质量检测试题【含解析】
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这是一份重庆市育才成功学校2023-2024学年数学八上期末质量检测试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，下列命题中，是假命题的是，下列各式能用平方差公式计算的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x=B．x>C．x2．已知数据，，的平均数为，数据，，的平均数为，则数据，，的平均数为（ ）．
A．B．C．D．
3．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数可能是( )
A．10，11，12B．11，10
C．8，9，10D．9，10
4．如图, 直线y=kx(k为常数, k≠0)经过点A, 若B是该直线上一点, 则点B的坐标可能是（）
A．(-2,-1)B．(-4,-2)C．(-2,-4)D．(6,3)
5．如图，下面推理中，正确的是（ ）
A．∵∠DAE＝∠D，∴AD∥BCB．∵∠DAE＝∠B，∴AB∥CD
C．∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥CDD．∵∠D+∠B＝180°，∴AD∥BC
6．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．如果一个等腰三角形有两边长分别是1，3，那么三角形的周长为7
B．等腰三角形的高、角平分线和中线一定重合
C．两个全等三角形的面积一定相等
D．有两条边对应相等的两个直角三角形一定全等
7．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若一个多边形的内角和为720°，则该多边形为( )边形．
A．四B．五C．六D．七
9．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤和周长相等．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，△ABC≌△AED，点D在BC上，若∠EAB＝42°，则∠DAC的度数是（ ）
A．48°B．44°C．42°D．38°
11．在平面直角坐标系中，点P（4，3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（3，﹣4）D．（﹣3，4）
12． “2的平方根”可用数学式子表示为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，是的高，是的平分线，，则的度数是_________．
14．等腰三角形中有一个角的度数为40°，则底角为_____________.
15．计算：_______________．
16．已知点分别为四边形的边的中点，，且与不垂直，则四边形的形状是__________．
17．把“全等三角形对应角相等”改为“如果……那么……”的形式________________________．
18．如图，与是两个全等的等边三角形，.有下列四个结论：①；②；③直线垂直平分线段；④四边形是轴对称图形.其中正确的结论有_____.（把正确结论的序号填在横线上）
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1）化简:
（2）化简:
（3）因式分解:
（4）因式分解:
20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．
21．（8分）如图1．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，1)，C(5，1)．
（1）直接写出点B关于x轴对称的对称点B1的坐标为 ，直接写出点B关于y轴对称的对称点B2的坐标为 ，直接写出△AB1B2的面积为 ；
（2）在y轴上找一点P使PA+PB1最小，则点P坐标为 ；
（3）图2是10×10的正方形网格，顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，
①在图2中，画一个格点三角形△DEF，使DE＝10，EF＝5，DF＝3；
②请直接写出在图2中满足①中条件的格点三角形的个数 ．
22．（10分）为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了6分钟忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前行走，小亮取到借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆.已知单车的速度是步行速度的3倍，如图是小亮和姐姐距家的路程y（米）与出发的时间x（分钟）的函数图象，根据图象解答下列问题：
⑴小亮在家停留了 分钟；
⑵求小亮骑单车从家出发去图书馆时距家的路程y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系式；
⑶若小亮和姐姐到图书馆的实际时间为m分钟，原计划步行到达图书馆的时间为n分钟，则n-m= 分钟．
23．（10分）如图，网格中小正方形的边长为1，（0，4）．
(1) 在图中标出点，使点到点，，，的距离都相等；
(2) 连接，，，此时是___________三角形；
(3) 四边形的面积是___________．
24．（10分）化简
（1）
（2）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．
（1）求正比例函数与一次函数的关系式．
（2）若点D在第二象限，是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（3）在轴上是否存在一点P使为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．
26．已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D,
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，即3x−7≠0，解得x．
【详解】∵3x−7≠0，
∴x≠．
故选D．
【点睛】
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
2、A
【分析】通过条件列出计算平均数的式子，然后将式子进行变形代入即可．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平均数的计算，熟练掌握平均数的计算方法并将式子进行正确的变形是解题的关键．
3、A
【解析】先根据多边形的内角和公式（n-2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【详解】设多边形截去一个角的边数为n，
则(n−2)⋅180°=1620°，
解得n=11，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原来多边形的边数是10或11或12.
故选A.
【点睛】
此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握计算公式.
4、C
【分析】先根据点A的坐标求出k的值，从而可得直线的解析式，再逐项判断即可．
【详解】由平面直角坐标系得：点A的坐标为
将代入直线得：，解得
因此，直线的解析式为
A、令，代入直线的解析式得，则点不符题意
B、令，代入直线的解析式得，则点不符题意
C、令，代入直线的解析式得，则点符合题意
D、令，代入直线的解析式得，则点不符题意
故选：C．
【点睛】
本题考查了正比例函数的图象与性质，依据图象求出直线的解析式是解题关键．
5、C
【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可.
【详解】解：∵∠B+∠C=180°，
∴AB//CD，
故选C.
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
6、B
【分析】根据等腰三角形及等边三角形的性质即可一一判断.
【详解】A、正确．一个等腰三角形有两边长分别是1，3，那么三角形的边长为1，3，3周长为7；
B、等腰三角形底边上的高，中线和顶角的平分线重合，故本项错误；
C、正确．两个全等三角形的面积一定相等；
D、正确．有两条边对应相等的两个直角三角形一定全等；
故选B．
7、C
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．相同字母的系数不同，不能用平方差公式计算；
B．含y的项系数符号相反，但绝对值不同，不能用平方差公式计算；
C．含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；
D．含x、y的项符号都相反，不能用平方差公式计算．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方差公式，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解答本题的关键．
8、C
【分析】设多边形为n边形，由多边形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形为n边形．
由题意得：(n-2) ·180°=720°，
解得：n=6.
故选C．
【点睛】
本题考查多边形的内角和定理，n边形的内角和为：(n-2) ·180°．
9、C
【分析】由三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，判断出②正确，根据②得到，进而证明，判断出③正确，由为任意三角形，判断④⑤错误，问题得解．
【详解】解：是的中线，
，
∵和底边BD，CD上高相同，
和面积相等，故①正确；
在和中，
，
，故②正确；
，
，故③正确；
由为任意三角形，故④⑤错误．
故选：．
【点睛】
本题考查了等底等高的三角形的面积相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
10、C
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，于是可得∠DAC=∠EAB，代入即可．
【详解】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠EAB+∠BAD =∠DA C+∠BAD，
∴∠DAC=∠EAB=42°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11、A
【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据性质解答即可.
【详解】解：点P（4，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，﹣3），
故选：A．
【点睛】
此题考查关于原点对称的两个点的坐标特点，掌握特点是解题的关键.
12、A
【分析】根据a（a≥0）的平方根是±求出即可．
【详解】解：2的平方根是
故选：A．
【点睛】
本题考查平方根的性质，正确理解平方根表示方法是解本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据直角三角形两锐角互余计算出∠CAD的度数，然后再根据角平分线定义可得∠1的度数．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，∠C=40°，
∴∠DAC=90°-∠C=50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠1=∠CAD=1°．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线定义，关键是掌握直角三角形两锐角互余，理清角之间的关系．
14、40°或70°
【解析】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°-40°）÷2=70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．
故答案为：40°或70°．
点睛：此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
15、3
【分析】根据负整数指数幂的定义 及任何非0数的0次幂为1求解即可．
【详解】
故答案为：3
【点睛】
本题考查的是负整数指数幂的定义及0指数幂，掌握 及任何非0数的0次幂为1是关键．
16、菱形
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．
【详解】如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
又∵AC=BD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：菱形．
【点睛】
此题考查三角形中位线定理和菱形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
17、如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【解析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．
解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，
结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
18、②③④
【分析】①通过全等和等边三角形的性质解出答案即可判断;②根据题意推出即可判断;③延长BM交CD于N,利用外角定理推出即可判断;④只需证明四边形ABCD是等腰梯形即可判断.
【详解】①∵△ABM≌△CDM,△ABM、△CDM都是等边三角形,
∴∠ABM=∠AMB=∠BAM=∠CMD=∠CDM=∠DCM=60°,AB=BM=AM=CD=CM=DM,
又∵MA⊥MD,
∴∠AMD=90°,
∴∠BMC=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°,
又∵BM=CM,
∴∠MBC=∠MCB=15°；
②∵AM⊥DM,
∴∠AMD=90°,
又∵AM=DM,
∴∠MDA=∠MAD=45°,
∴∠ADC=45°+60°=105°,
∠ABC=60°+15°=75°,
∴∠ADC+∠ABC=180°；
③延长BM交CD于N,
∵∠NMC是△MBC的外角,
∴∠NMC=15°+15°=30°,
∴BM所在的直线是△CDM的角平分线,
又∵CM=DM,
∴BM所在的直线垂直平分CD；
④根据②同理可求∠DAB=105°,∠BCD=75°,
∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴AD∥BC,
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是等腰梯形,
∴四边形ABCD是轴对称图形．
故答案为:②③④.
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质、平行线的判定,关键在于熟练掌握相关基础知识.
三、解答题（共78分）
19、（1）（2）（3）（4）
【分析】（1）根据乘方公式即可求解；
（2）根据整式的除法运算即可求解；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（4）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解.
【详解】（1）
=
=
（2）
=
（3）
=
=
（4）
=
=
=
【点睛】
此题主要考查整式的运算及因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法.
20、∠BAD=40°，∠AOC=115°．
【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余，求得再根据角平分线的定义，求得最后根据三角形内角和定理，求得中的度数．
【详解】∵AD是高,
中,
∴△ABC中,
∵AE，CF是角平分线，
∴△AOC中,
21、（1）(2，﹣1），(﹣2，1)，7；（2）(0，)；（3）①见解析；②8
【分析】（1）根据关于x轴、y轴对称的点的坐标特征即可得到结论；
（2）根据轴对称的性质得到B3（﹣2，﹣1），求得直线AB3的解析式，求出直线AB3与 y轴的交点即可得到结论；
（3）①借助勾股定理确定三边长，发现最长的边为10×10的正方形网格的对角线，然后以对角线的两个顶点为圆心，分别以为半径画圆，交点即为所求的F点，以此画出图形即可；
②在10×10的正方形网格中找出所以满足条件的三角形即可确定答案．
【详解】解：（1）∵B（2，1），
∴点B关于x轴对称的对称点B1的坐标为 （2，﹣1），点B关于y轴对称的对称点B2的坐标为 （﹣2，1），
△AB1B2的面积＝4×4﹣×2×3﹣×1×4﹣×2×4＝7，
（2）作点B1关于y轴的对称点B3，连接AB3交y轴于P，则此时PA+PB1最小，
∵B1的坐标为 （2，﹣1），
∴B3（﹣2，﹣1），
设直线的函数关系式为，
将点代入解析式得
解得
∴；
当时，
∴点P坐标为（0，）；
（3）①如图2所示，△DEF即为所求；
②如图2所示，满足①中条件的格点三角形的个数为8个．
【点睛】
本题主要考查轴对称变换，待定系数法和画三角形，掌握关于x,y轴对称的点的特点，待定系数法是解题的关键．
22、（1）2；（2）y=150x﹣1500（10≤x≤1）；（3）1分钟．
【分析】（1）根据路程与速度、时间的关系，首先求出C、B两点的坐标，即可解决问题；
（2）根据C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（3）求出原计划步行到达图书馆的时间为n，即可解决问题．
【详解】解：（1）步行速度：10÷6=50m/min，单车速度：3×50=150m/min，单车时间：100÷150=20min，1﹣20=10，
∴C（10，0），
∴A到B是时间==2min，
∴B（8，0），
∴BC=2，
∴小亮在家停留了2分钟．
故答案为：2；
（2）设y=kx+b，过C、D（1，100），
∴，解得，
∴y=150x﹣1500（10≤x≤1）
（3）原计划步行到达图书馆的时间为n分钟，n==60
n﹣m=60﹣1=1分钟，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．
23、（1）见解析；（2）作图见解析；等腰直角；（3）4.
【分析】（1）线段AB、线段BC、线段CD的垂直平分线的交点即为所求；
（2）根据勾股定理求出PO、PD、OD的长，然后利用勾股定理逆定理进行判断；
（3）用四边形ABCD所在的等腰直角三角形的面积减去一个小等腰直角三角形的面积即可.
【详解】解：（1）如图所示，点P即为所求；
（2）如图所示，，，，
∴PO=PD，PO2+PD2=OD2，
∴是等腰直角三角形；
（3）四边形的面积＝.
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理的应用等知识，根据线段垂直平分线的性质找出点P的位置是解题的关键.
24、 (1)；(2)
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分后利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25、（1），；（2）点D的坐标为或；（3）或或或．
【分析】（1）根据待定系数法即可解决；
（2）分两种情形讨论，添加辅助线构造全等三角形即可求出点D坐标；
（3）分OP＝OC、CP＝CO、PC＝PO三种情形即可得出结论．
【详解】解：（1）正比例函数的图象经过点，
，，
正比例函数解析式为，
一次函数的图象经过，，
，，
一次函数为．
（2）①当时，如图1，
作轴垂足为M，
，，
，在与中：
，，
，，
．
②当时，作轴垂足为N，
同理得，
，，
，D点坐标为或．
（3）设点，
，
，，，
当时，，
，
或，
当时，，
或（舍），
，
当时，，
，
，
即：或或或．
【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）AB=1．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．
【详解】解：（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，
∴ED=CD，
∵EG=5，
∴CD=1，
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD=1．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x=B．x>C．x
A．B．C．D．
3．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数可能是( )
A．10，11，12B．11，10
C．8，9，10D．9，10
4．如图, 直线y=kx(k为常数, k≠0)经过点A, 若B是该直线上一点, 则点B的坐标可能是（）
A．(-2,-1)B．(-4,-2)C．(-2,-4)D．(6,3)
5．如图，下面推理中，正确的是（ ）
A．∵∠DAE＝∠D，∴AD∥BCB．∵∠DAE＝∠B，∴AB∥CD
C．∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥CDD．∵∠D+∠B＝180°，∴AD∥BC
6．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．如果一个等腰三角形有两边长分别是1，3，那么三角形的周长为7
B．等腰三角形的高、角平分线和中线一定重合
C．两个全等三角形的面积一定相等
D．有两条边对应相等的两个直角三角形一定全等
7．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若一个多边形的内角和为720°，则该多边形为( )边形．
A．四B．五C．六D．七
9．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤和周长相等．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，△ABC≌△AED，点D在BC上，若∠EAB＝42°，则∠DAC的度数是（ ）
A．48°B．44°C．42°D．38°
11．在平面直角坐标系中，点P（4，3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（3，﹣4）D．（﹣3，4）
12． “2的平方根”可用数学式子表示为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，是的高，是的平分线，，则的度数是_________．
14．等腰三角形中有一个角的度数为40°，则底角为_____________.
15．计算：_______________．
16．已知点分别为四边形的边的中点，，且与不垂直，则四边形的形状是__________．
17．把“全等三角形对应角相等”改为“如果……那么……”的形式________________________．
18．如图，与是两个全等的等边三角形，.有下列四个结论：①；②；③直线垂直平分线段；④四边形是轴对称图形.其中正确的结论有_____.（把正确结论的序号填在横线上）
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1）化简:
（2）化简:
（3）因式分解:
（4）因式分解:
20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．
21．（8分）如图1．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，1)，C(5，1)．
（1）直接写出点B关于x轴对称的对称点B1的坐标为 ，直接写出点B关于y轴对称的对称点B2的坐标为 ，直接写出△AB1B2的面积为 ；
（2）在y轴上找一点P使PA+PB1最小，则点P坐标为 ；
（3）图2是10×10的正方形网格，顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，
①在图2中，画一个格点三角形△DEF，使DE＝10，EF＝5，DF＝3；
②请直接写出在图2中满足①中条件的格点三角形的个数 ．
22．（10分）为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了6分钟忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前行走，小亮取到借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆.已知单车的速度是步行速度的3倍，如图是小亮和姐姐距家的路程y（米）与出发的时间x（分钟）的函数图象，根据图象解答下列问题：
⑴小亮在家停留了 分钟；
⑵求小亮骑单车从家出发去图书馆时距家的路程y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系式；
⑶若小亮和姐姐到图书馆的实际时间为m分钟，原计划步行到达图书馆的时间为n分钟，则n-m= 分钟．
23．（10分）如图，网格中小正方形的边长为1，（0，4）．
(1) 在图中标出点，使点到点，，，的距离都相等；
(2) 连接，，，此时是___________三角形；
(3) 四边形的面积是___________．
24．（10分）化简
（1）
（2）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．
（1）求正比例函数与一次函数的关系式．
（2）若点D在第二象限，是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（3）在轴上是否存在一点P使为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．
26．已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D,
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，即3x−7≠0，解得x．
【详解】∵3x−7≠0，
∴x≠．
故选D．
【点睛】
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
2、A
【分析】通过条件列出计算平均数的式子，然后将式子进行变形代入即可．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平均数的计算，熟练掌握平均数的计算方法并将式子进行正确的变形是解题的关键．
3、A
【解析】先根据多边形的内角和公式（n-2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【详解】设多边形截去一个角的边数为n，
则(n−2)⋅180°=1620°，
解得n=11，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原来多边形的边数是10或11或12.
故选A.
【点睛】
此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握计算公式.
4、C
【分析】先根据点A的坐标求出k的值，从而可得直线的解析式，再逐项判断即可．
【详解】由平面直角坐标系得：点A的坐标为
将代入直线得：，解得
因此，直线的解析式为
A、令，代入直线的解析式得，则点不符题意
B、令，代入直线的解析式得，则点不符题意
C、令，代入直线的解析式得，则点符合题意
D、令，代入直线的解析式得，则点不符题意
故选：C．
【点睛】
本题考查了正比例函数的图象与性质，依据图象求出直线的解析式是解题关键．
5、C
【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可.
【详解】解：∵∠B+∠C=180°，
∴AB//CD，
故选C.
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
6、B
【分析】根据等腰三角形及等边三角形的性质即可一一判断.
【详解】A、正确．一个等腰三角形有两边长分别是1，3，那么三角形的边长为1，3，3周长为7；
B、等腰三角形底边上的高，中线和顶角的平分线重合，故本项错误；
C、正确．两个全等三角形的面积一定相等；
D、正确．有两条边对应相等的两个直角三角形一定全等；
故选B．
7、C
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．相同字母的系数不同，不能用平方差公式计算；
B．含y的项系数符号相反，但绝对值不同，不能用平方差公式计算；
C．含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；
D．含x、y的项符号都相反，不能用平方差公式计算．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方差公式，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解答本题的关键．
8、C
【分析】设多边形为n边形，由多边形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形为n边形．
由题意得：(n-2) ·180°=720°，
解得：n=6.
故选C．
【点睛】
本题考查多边形的内角和定理，n边形的内角和为：(n-2) ·180°．
9、C
【分析】由三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，判断出②正确，根据②得到，进而证明，判断出③正确，由为任意三角形，判断④⑤错误，问题得解．
【详解】解：是的中线，
，
∵和底边BD，CD上高相同，
和面积相等，故①正确；
在和中，
，
，故②正确；
，
，故③正确；
由为任意三角形，故④⑤错误．
故选：．
【点睛】
本题考查了等底等高的三角形的面积相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
10、C
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，于是可得∠DAC=∠EAB，代入即可．
【详解】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠EAB+∠BAD =∠DA C+∠BAD，
∴∠DAC=∠EAB=42°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11、A
【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据性质解答即可.
【详解】解：点P（4，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，﹣3），
故选：A．
【点睛】
此题考查关于原点对称的两个点的坐标特点，掌握特点是解题的关键.
12、A
【分析】根据a（a≥0）的平方根是±求出即可．
【详解】解：2的平方根是
故选：A．
【点睛】
本题考查平方根的性质，正确理解平方根表示方法是解本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据直角三角形两锐角互余计算出∠CAD的度数，然后再根据角平分线定义可得∠1的度数．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，∠C=40°，
∴∠DAC=90°-∠C=50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠1=∠CAD=1°．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线定义，关键是掌握直角三角形两锐角互余，理清角之间的关系．
14、40°或70°
【解析】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°-40°）÷2=70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．
故答案为：40°或70°．
点睛：此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
15、3
【分析】根据负整数指数幂的定义 及任何非0数的0次幂为1求解即可．
【详解】
故答案为：3
【点睛】
本题考查的是负整数指数幂的定义及0指数幂，掌握 及任何非0数的0次幂为1是关键．
16、菱形
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．
【详解】如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
又∵AC=BD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：菱形．
【点睛】
此题考查三角形中位线定理和菱形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
17、如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【解析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．
解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，
结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
18、②③④
【分析】①通过全等和等边三角形的性质解出答案即可判断;②根据题意推出即可判断;③延长BM交CD于N,利用外角定理推出即可判断;④只需证明四边形ABCD是等腰梯形即可判断.
【详解】①∵△ABM≌△CDM,△ABM、△CDM都是等边三角形,
∴∠ABM=∠AMB=∠BAM=∠CMD=∠CDM=∠DCM=60°,AB=BM=AM=CD=CM=DM,
又∵MA⊥MD,
∴∠AMD=90°,
∴∠BMC=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°,
又∵BM=CM,
∴∠MBC=∠MCB=15°；
②∵AM⊥DM,
∴∠AMD=90°,
又∵AM=DM,
∴∠MDA=∠MAD=45°,
∴∠ADC=45°+60°=105°,
∠ABC=60°+15°=75°,
∴∠ADC+∠ABC=180°；
③延长BM交CD于N,
∵∠NMC是△MBC的外角,
∴∠NMC=15°+15°=30°,
∴BM所在的直线是△CDM的角平分线,
又∵CM=DM,
∴BM所在的直线垂直平分CD；
④根据②同理可求∠DAB=105°,∠BCD=75°,
∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴AD∥BC,
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是等腰梯形,
∴四边形ABCD是轴对称图形．
故答案为:②③④.
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质、平行线的判定,关键在于熟练掌握相关基础知识.
三、解答题（共78分）
19、（1）（2）（3）（4）
【分析】（1）根据乘方公式即可求解；
（2）根据整式的除法运算即可求解；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（4）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解.
【详解】（1）
=
=
（2）
=
（3）
=
=
（4）
=
=
=
【点睛】
此题主要考查整式的运算及因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法.
20、∠BAD=40°，∠AOC=115°．
【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余，求得再根据角平分线的定义，求得最后根据三角形内角和定理，求得中的度数．
【详解】∵AD是高,
中,
∴△ABC中,
∵AE，CF是角平分线，
∴△AOC中,
21、（1）(2，﹣1），(﹣2，1)，7；（2）(0，)；（3）①见解析；②8
【分析】（1）根据关于x轴、y轴对称的点的坐标特征即可得到结论；
（2）根据轴对称的性质得到B3（﹣2，﹣1），求得直线AB3的解析式，求出直线AB3与 y轴的交点即可得到结论；
（3）①借助勾股定理确定三边长，发现最长的边为10×10的正方形网格的对角线，然后以对角线的两个顶点为圆心，分别以为半径画圆，交点即为所求的F点，以此画出图形即可；
②在10×10的正方形网格中找出所以满足条件的三角形即可确定答案．
【详解】解：（1）∵B（2，1），
∴点B关于x轴对称的对称点B1的坐标为 （2，﹣1），点B关于y轴对称的对称点B2的坐标为 （﹣2，1），
△AB1B2的面积＝4×4﹣×2×3﹣×1×4﹣×2×4＝7，
（2）作点B1关于y轴的对称点B3，连接AB3交y轴于P，则此时PA+PB1最小，
∵B1的坐标为 （2，﹣1），
∴B3（﹣2，﹣1），
设直线的函数关系式为，
将点代入解析式得
解得
∴；
当时，
∴点P坐标为（0，）；
（3）①如图2所示，△DEF即为所求；
②如图2所示，满足①中条件的格点三角形的个数为8个．
【点睛】
本题主要考查轴对称变换，待定系数法和画三角形，掌握关于x,y轴对称的点的特点，待定系数法是解题的关键．
22、（1）2；（2）y=150x﹣1500（10≤x≤1）；（3）1分钟．
【分析】（1）根据路程与速度、时间的关系，首先求出C、B两点的坐标，即可解决问题；
（2）根据C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（3）求出原计划步行到达图书馆的时间为n，即可解决问题．
【详解】解：（1）步行速度：10÷6=50m/min，单车速度：3×50=150m/min，单车时间：100÷150=20min，1﹣20=10，
∴C（10，0），
∴A到B是时间==2min，
∴B（8，0），
∴BC=2，
∴小亮在家停留了2分钟．
故答案为：2；
（2）设y=kx+b，过C、D（1，100），
∴，解得，
∴y=150x﹣1500（10≤x≤1）
（3）原计划步行到达图书馆的时间为n分钟，n==60
n﹣m=60﹣1=1分钟，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．
23、（1）见解析；（2）作图见解析；等腰直角；（3）4.
【分析】（1）线段AB、线段BC、线段CD的垂直平分线的交点即为所求；
（2）根据勾股定理求出PO、PD、OD的长，然后利用勾股定理逆定理进行判断；
（3）用四边形ABCD所在的等腰直角三角形的面积减去一个小等腰直角三角形的面积即可.
【详解】解：（1）如图所示，点P即为所求；
（2）如图所示，，，，
∴PO=PD，PO2+PD2=OD2，
∴是等腰直角三角形；
（3）四边形的面积＝.
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理的应用等知识，根据线段垂直平分线的性质找出点P的位置是解题的关键.
24、 (1)；(2)
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分后利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25、（1），；（2）点D的坐标为或；（3）或或或．
【分析】（1）根据待定系数法即可解决；
（2）分两种情形讨论，添加辅助线构造全等三角形即可求出点D坐标；
（3）分OP＝OC、CP＝CO、PC＝PO三种情形即可得出结论．
【详解】解：（1）正比例函数的图象经过点，
，，
正比例函数解析式为，
一次函数的图象经过，，
，，
一次函数为．
（2）①当时，如图1，
作轴垂足为M，
，，
，在与中：
，，
，，
．
②当时，作轴垂足为N，
同理得，
，，
，D点坐标为或．
（3）设点，
，
，，，
当时，，
，
或，
当时，，
或（舍），
，
当时，，
，
，
即：或或或．
【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）AB=1．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．
【详解】解：（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，
∴ED=CD，
∵EG=5，
∴CD=1，
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD=1．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．
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