株洲市第二中学2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份株洲市第二中学2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共17页。

注意事项：
1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号．
2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
3．本卷共三个大题26小题，六个版面，注意不漏题漏页．
4．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师．
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 华为Mate60Pr手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：，
故选：C．
3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
故选：A．
4. 下列算式中，结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：A、和不是同类项，不能合并，不符合题意，选项错误；
B、，符合题意，选项正确；
C、，不符合题意，选项错误；
D、，不符合题意，选项错误；
故选：B．
5. 某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）为：，则这组数据的中位数是（ ）
A. 26B. 27C. 33D. 34
答案：C
解析：
详解：解：将数据从小到大依次排列为：，，，，，
∴中位数为第三个位置上的数即，
故选C．
6. 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算的值应该在（ ）
A. 和0之间B. 0和1之间C. 1和2之间D. 2和3之间
答案：B
解析：
详解：解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：如图，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
8. 如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（ ）
A. －2B. －4C. 2D. 4
答案：D
解析：
详解：解：，
，
，
在该图像上，
．
故选：D．
9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶和1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶和5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：由题意可列方程组为；
故选A．
10. 若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：由“倍值点”的定义可得：，
整理得，
∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，
∴
∵对于任意实数总成立，
∴
整理得，
∴
∴，
∴，或
当时，解得，
当时，此不等式组无解，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 七边形的外角和等于________．
答案：
解析：
详解：七边形的外角和等于．
故答案为：．
12. 如图，点在数轴上对应的数分别是和3，则的长度为______．
答案：
解析：
详解：解：，
故答案为：．
13. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____．
答案：x≠﹣2
解析：
详解：解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2，
故答案为x≠﹣2．
14. 因式分解：=______．
答案：2（x+3）（x﹣3）
解析：
详解：=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
15. 从，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线的开口向上的概率是______．
答案：
解析：
详解：从5个数中任取一个的可能结果数为5，使抛物线的开口向上的a值有2个，分别为1和2，则所求的概率为；
故答案为：．
16. 如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是______．
答案：##40度
解析：
详解：解：∵，
∴，
∵是切线，
∴，即，
∴．
故答案为：．
17. 如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为________．
答案：2
解析：
详解：解：根据作图的方法得：平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
18. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，……依此规律，第2024个图案中应该有______个白色圆片．
答案：
解析：
详解：解：第1个图案中有4个白色圆片，
第2个图案中有6个白色圆片，
第3个图案中有8个白色圆片，
第4个图案中有10个白色圆片，
，
∴第个图案中有个白色圆片．
∴第2024个图案中应该有个白色圆片．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分，其中第19、20题每题6分，第21、22、23、24题每题8分，第25题10分、第26题12分，需写出必要的证明过程或演算步骤）
19. 计算：
答案：1
解析：
详解：解：
．
20. 解不等式组，并直接写出它的整数解．
答案：；整数解，，．
解析：
详解：解：
由①得：，
由②得：，即，
∴，
∴不等式组的解集为，
它的整数解为，，．
21. 如图，小刚想测量斜坡旁边一颗树的高度，他在处测得树的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，若米，米，试求树的高．
答案：
解析：
详解：解：由题意在中，，，
，
设，
在中
，
，
，
在中，
，
，
，
解得：，经检验符合题意；
．
22. 年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图；
（2）估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数；
（3）若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
答案：（1）100；见解析
（2）900名 （3）树状图见解析 ；
解析：
小问1详解：
解：抽取的总人数为（人），
所以喜欢小品的人数为（人），
补全条形图如图所示：
故答案为：100；
小问2详解：
解：估计喜欢小品节目类型的人数为人；
小问3详解：
解：画树状图为：

共有种等可能结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率．
23. 如图，中，于点E，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求AE的长．
答案：（1）见解析；（2）
解析：
详解：（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．
∴AE=．
24. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
（1）求点的坐标．
（2）若线段的垂直平分线交轴于点．求线段的长．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：解方程组，
得，
∵，
∴；
小问2详解：
由题意可得：垂直平分，
连接，如图，则，
设，
则，
解得，
∴．
25. 如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．

（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
答案：（1）见解析 （2）的半径为
解析：
小问1详解：
证明：连接，

∵直线是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
小问2详解：
解：连接，过点O作于F，则，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的半径为．
26. 如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线交轴于点，求证：．
（3）若点是线段上的一个动点，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）证明见解析；（3）存在；点的坐标为或．
解析：
详解：（1）∵与轴相交于点
将点代入可得：
又对称轴
∴
即抛物线的表达式为
（2）由（1）可知的对称轴为
代入得
即点
设直线的表达式为
把点代入解得，
∴
点在轴上，即纵坐标，此时
∴
由平面直角坐标系的可知：
∴
∴
（3）存在
∵点在线段上，可设
由勾股定理可知，
由（2）可知
∴
当时
，即
解得，即点的坐标为
当时
，即
解得，即点的坐标为
点的坐标为或．