2023-2024学年广东省广州高三（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年广东省广州高三（上）月考数学试卷（10月份），共22页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设复数z满足2+z＝（2﹣z）i，则z＝（ ）
A．2iB．﹣2iC．2+2iD．2﹣2i
2．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，N＝{x|y＝lg（x+2）+lg（1﹣x）}，则N∪∁RM＝（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（﹣2，2]D．[﹣1，1）
3．（5分）已知长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是AD的中点，F是AB的中点，则＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（5分）若为奇函数，则a＝（ ）
A．1B．0C．D．
5．（5分）已知椭圆C：的左焦点为F1，若椭圆上存在点P，使得线段PF1，被直线垂直平分，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）设函数f（x）＝lg2（ax﹣x2）在区间（2，3）上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4]B．[3，4]C．[6，+∞）D．[3，6]
7．（5分）已知，且3cs2α﹣4sinα＝1，则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④…中图形的周长依次记为a1，a2，a3，a4，…，得到数列{an}．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn≥an+81时，则n的最小值为（ ）
（参考数据：lg4≈0.60，lg3＝0.48）
A．5B．8C．10D．12
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣x+1）ex，则（ ）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）在x＝1处的切线方程为y＝2ex﹣e
C．f（x）在[﹣1，1]上的值域为[3e﹣1，e]
D．当a＜1时，方程f（x）＝a有且仅有一解
（多选）10．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，面PAC⊥面ABC，∠APC＝120°，点D为AB中点，PD与面ABC所成的角为45°，则（ ）
A．BC⊥AB
B．点C到面PAB的距离为
C．三棱锥的侧面积为
D．AP与BC所成角为30°
（多选）11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．此抛物线上与焦点F的距离等于3的点的坐标是
B．若|AB|＝8，则点M到y轴的距离为3
C．P是准线上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|FP|＝6
D．9|AF|+|BF|≥16
（多选）12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，f（2x+1）﹣1是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（1）＝1
B．f（0）＝0
C．f（x）是以4为周期的函数
D．f（x）的图象关于x＝6对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a5＝24，S6＝48，则an＝ ．
14．（5分）已知二项式，则展开式中的x2系数为 ．
15．（5分）已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1，则圆台的体积为 ．
16．（5分）函数f（x）＝sinωx（ω＞0），将f（x）的图象上所有的点纵坐标保持不变横坐标变为原来的ω倍，然后将所得图象向左平移个单位长度得到函数g（x），则化简后g（x）＝ ，若函数h（x）＝f（g（x））﹣1在（0，2π）内恰有4个零点，则ω的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝，D是边BC上的点，
（1）若BD＝2DC且AD＝，求BC的长；
（2）若cs∠ADC＝﹣，B＝45°，求cs∠DAC的值．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，其中AB∥CD，∠BAD＝90°，PA＝AD＝CD＝2，AB＝4，点M是PB的中点．
（1）证明：PB＝2CM；
（2）求二面角P﹣AC﹣M的正弦值．
19．（12分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0时，f（x）＜（a﹣1）lna+a2．
20．（12分）已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝．
（1）记bn＝a2n+1，求证：{bn}为等比数列；
（2）设数列{cn}满足：c1＝，cn+1＝cn﹣，若不等式λ+恒成立，求实数λ的取值范围．
21．（12分）为了保障学生的饮食安全和健康，学校对饭堂硬件和菜品均进行了改造升级，改造升级后的饭堂菜品受到了很多学生的欢迎，因此在学校饭堂就餐成为了很多学生的就餐选择．现将一周内在饭堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢饭堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢饭堂就餐”．学校为了解学生饭堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：
（1）依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析学生喜欢饭堂就餐是否与性别有关．
（2）该校小林同学逢星期三和星期五都在学校饭堂就餐，且星期三会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期三选择了①号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为0.8；若星期三选择了②号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为，求小林同学星期五选择②号套餐的概率．
（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢饭堂就餐”的人数为ξ，事件“ξ＝k”的概率为P（ξ＝k），求使P（ξ＝k）取得最大值时k的值．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
22．（12分）在一张纸上有一个圆C：（x+2）2+y2＝4，圆心为点C，定点M（2，0），折叠纸片使圆C上某一点M1好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线M1C的交点为T．
（1）求出点T的轨迹E的方程；
（2）若过点M且斜率为k（或）的直线l交曲线E于A，B两点，Q为x轴上一点，满足|QA|＝|QB|，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】由已知结合复数的四则运算即可求解．
【解答】解：因为2+z＝（2﹣z）i，
所以z＝＝＝2i．
故选：A．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
2．【分析】分别确定集合M，N再代入集合的运算即可．
【解答】解：在M中，x2﹣x﹣2＞0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，
∁RM＝{x|﹣1≤x≤2}，
在N中，需满足，则有﹣2＜x＜1，
则N∪∁RM＝（﹣2，2]．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，一元二次不等式，函数的定义域，属于基础题．
3．【分析】由平面向量的线性运算将用基向量表示出来，再由平面向量的数量积运算计算即可．
【解答】解：由题可得：＝，
＝，
所以
＝＝＝7．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于基础题．
4．【分析】根据f（0）＝0，可得a的取值．
【解答】解：由于f（x）为奇函数，则f（0）＝0，
则有：＝0，则a＝，
将a＝代入f（x），验证f（x）为奇函数．
故选：D．
【点评】本题考查奇函数的性质，属于基础题．
5．【分析】根据直角三角形的判定方法、正弦定理，结合椭圆的定义、比例的性质、椭圆离心率公式进行求解即可．
【解答】解：设右焦点为F2，直线交PF1于A，连接OP，PF2，
因为线段PF1被直线垂直平分，所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|，OA⊥PF1，
所以△PF1F2是以F1F2为斜边的直角三角形，
由直线的方程可知该直线的斜率为，
所以该直线的倾斜角为，即，
在△PF1F2中，由正弦定理可知，
．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦定理和椭圆离心率的求法，考查了转化思想，属中档题．
6．【分析】根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性即可列出关于a的不等式组，解出a的范围即可．
【解答】解：令ax﹣x2＝t，y＝lg2t在定义域内是增函数，且f（x）在（2，3）上单调递减，
∴t＝ax﹣x2在（2，3）上单调递减，
∴，解得3≤a≤4，
∴a的取值范围是[3，4]．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数、对数函数和复合函数的单调性，是中档题．
7．【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得3sin2α+2sinα﹣1＝0，结合，可求sinα的值，利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用二倍角的正切公式可求tan2α的值．
【解答】解：因为3cs2α﹣4sinα＝1，
所以3（1﹣2sin2α）﹣4sinα＝1，整理可得3sin2α+2sinα﹣1＝0，
解得sinα＝或﹣1，
又，
所以sinα＝，csα＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣，
所以tan2α＝＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
8．【分析】根据题意，分析可得数列{an}是首项a1＝3，公比为的等比数列，若Sn≥an+81，即Sn﹣1≥81，结合等比数列的前n项和公式可得关于n的不等式，利用对数的运算性质解可得n的取值范围，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，观察图形得到，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了原周长的，
故an＝an﹣1（n≥2），
数列{an}是首项a1＝3，公比为的等比数列，
若Sn≥an+81，即Sn﹣1≥81，则有≥81，
变形可得：4n﹣1≥10×3n﹣1，
两边同时取对数可得：（n﹣1）lg4≥1+（n﹣1）lg3，
解可得：n≥，
又由n为正整数，则n的最小值为10．
故选：C．
【点评】本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．【分析】求出函数的导函数，从而得到函数的单调性，即可判断A、C，利用导数的几何意义求出切线方程，即可判断B，结合函数的单调性与极值，即可判断D．
【解答】解：因为f（x）＝（x2﹣x+1）ex定义域为R，且f′（x）＝（x2+x）ex＝x（x+1）ex，
令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（0，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
则f（x）在x＝﹣1处取得极大值，在x＝0处取得极小值，即f（x）有两个极值点，故A正确；
又f（1）＝e，f′（1）＝2e，所以f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣e＝2e（x﹣1），即y＝2ex﹣e，故B正确；
因为f（﹣1）＝3e﹣1＞1，f（0）＝1，f（1）＝e，所以f（x）在[﹣1，1]上的值域为[1，e]，故C错误；
方程f（x）＝a的解，即为y＝f（x）与y＝a的交点的横坐标，
因为，
所以f（x）＝（x2﹣x+1）ex＞0恒成立，
所以当a≤0时，y＝f（x）与y＝a没有交点，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，函数值域的求法和方程有解问题，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
10．【分析】对于A，取AC中点Q，AB中点D，根据线面垂直面面垂直的性质与判定，结合中位线性质证明BC∥DQ即可；对于B，根据等体积法VC﹣ABP＝VP﹣ABC，求解即可；对于C，根据侧面均为等腰三角形计算即可；对于D，取PB中点R，则AP与BC所成角为DR与DQ所成角∠RDQ，再证得△RDQ为正三角形即可．
【解答】解：对于A，取AC中点Q，连接如图，因为PA＝PC＝2，∠APC＝120°，
故∠APQ＝∠CPQ＝60°，且PQ⊥AC，故PQ＝1，，
又面PAC⊥面ABC，且面PAC∩面ABC＝AC，PQ⊂面PAC，故PQ⊥面ABC．
又BQ⊂面ABC，故PQ⊥BQ，又PQ＝1，PB＝2，故．
取AB中点D，因为，故AB⊥DQ．
又AB中点D，AC中点Q，故DQ∥BC，故BC⊥AB，故A正确；
对于B，因为PA＝PB，故AB⊥PD，因为PQ⊥面ABC，
故PD与面ABC所成的角为∠PDQ，故∠PDQ＝45°，
又PQ⊥DQ，故DQ＝PQ＝1，则，，
故S△PAB＝×AB×PD＝2，
设点C到面PAB的距离为h，BC＝2DQ＝2，则由VC﹣ABP＝VP﹣ABC，
可得，，即，解得，故B错误；
对C，△PBC为边长为2的等边三角形，
则三棱锥的侧面积为S△PAB+S△PBC+S△PAC＝2+×22+×2×1＝2+2，故C正确；
对于D，取PB中点R，则DR∥AP，又BC∥DQ，故AP与BC所成角为DR与DQ所成角∠RDQ，
又DQ＝1，，故△RDQ为正三角形，故∠RDQ＝60°，即AP与BC所成角为60°，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查线线垂直的证明、点到平面的距离的求法，考查异面直线所成的角的求法，考查运算求解能力，属中档题．
11．【分析】先由已知求出p的值，由此求出抛物线的方程，然后对应各个选项逐个求解即可．
【解答】解：由已知可得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x，
抛物线上与焦点F的距离等于3的点的横坐标为2，纵坐标为，所以A不正确．
过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，M的横坐标为3，即点M到y轴的距离为3，
所以B正确．
P是准线上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，
可得Q点的横坐标为：，Q的纵坐标为：±，所以P的纵坐标为：±4．
则|FP|＝＝6，所以C正确；
则点F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1，
抛物线y2＝4x，∵AB为抛物线的焦点弦，＝＝1，
9|AF|+|BF|＝（9|AF|+|BF|）（）＝10+≥10+2＝16．
当且仅当|BF|＝3|AF|＝时，取等号，D正确，
故选：BCD．
【点评】本题考查了抛物线的方程以及直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到向量的坐标运算以及弦长等问题，属于中档题．
12．【分析】根据题意，由特殊值法分析可得A正确，由偶函数的性质可得B错误，由奇函数和偶函数的对称性分析可得C正确，由偶函数的性质和周期性可得D正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（2x+1）﹣1是奇函数，则有f（2x+1）﹣1+f（﹣2x+1）﹣1＝0，
令x＝0，可得2f（1）＝2，即f（1）＝1，A正确；
对于B，函数f（x）是定义域为R的偶函数，不能确定f（0）的值，B错误；
对于C，f（2x+1）﹣1是奇函数，则有f（2x+1）﹣1+f（﹣2x+1）﹣1＝0，
令2x+1＝﹣t，变形可得x＝（﹣t﹣1），则﹣2x+1＝2+t，
故有f（﹣t）+f（2+t）＝2，
又由f（x）为偶函数，则f（t）＝f（﹣t），
联立可得：f（t+2）+f（t）＝2，
进而可得：f（t+2）+f（t+4）＝2，
则有f（t+4）＝f（t），故f（x）是以4为周期的函数，C正确；
对于D，f（x）为偶函数且周期为4，则有f（x）＝f（﹣x）且f（x）＝f（12+x），
综合可得：f（﹣x）＝f（12+x），故f（x）的图象关于x＝6对称，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、对称性和单调性，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【分析】结合条件，由等差数列的通项公式和前n项和公式求得a1和d即可．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
则由，得，
解得，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝﹣2+4（n﹣1）＝4n﹣6．
故答案为：4n﹣6．
【点评】本题考查等差数列的基本量的计算，属于基础题．
14．【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：的二项展开式通项公式为：＝，
令，解得r＝3，
故展开式中的x2系数为．
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15．【分析】根据题意，设圆锥的母线长为l，高为h，由圆锥的侧面积公式求出l的值，进而求出h的值，分析可得圆台的高，进而计算其体积可得答案．
【解答】解：根据题意，设圆锥的母线长为l，高为h，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则有π××l＝2π×2，解可得l＝6，
则圆锥的高h＝＝＝4，
把该圆锥截成圆台，且圆台的上底面半径为1，则圆台的高为＝2，
故圆台的体积V＝（4π+π+）×＝．
故答案为：．
故答案为：．
【点评】本题考查圆台的体积计算，涉及圆锥、圆台的结构特征，属于基础题．
16．【分析】根据三角函数图像变换，确定g（x）的解析式，再利用整体思想求解函数零点问题．
【解答】解：依题意有，函数f（x）＝sinωx（ω＞0），
将f（x）的图象上所有的点纵坐标保持不变横坐标变为原来的ω倍，得到函数y＝sinx，
再将所得图象向左平移个单位长度得到函数g（x），则g（x）＝sin（x+）＝csx；
所以h（x）＝sin（ωcsx）﹣1，
因为x∈（0，2π），所以csx∈[﹣1，1），
令t＝ωcsx，因为ω＞0，
所以t∈[﹣ω，ω），
h（x）＝0在（0，2π）上恰有4个零点，即sint＝1在[﹣ω，ω）上有4个零点，
所以，所以ω的取值范围是．
故答案为：．
【点评】此题考查了三角函数的图象性质，考查了函数的零点，考查了整体思想，属于难题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【分析】（1）根据已知条件结合余弦定理以及cs∠ADB+cs∠ADC＝0，即可求解结论；
（2）结合正弦定理求得sinC，再结合sin∠DAC＝sin（π﹣∠DAC）＝sin（∠ADC+∠C）即可求解结论．
【解答】解：（1）设CD＝x，则BD＝2x，
在△ABD和△ADC中，由余弦定理得，
而由cs∠ADB+cs∠ADC＝0，
可得：x＝1．
所以BC＝3x＝3；
（2）∵，，
∴．
在△ABD中，B＝45°，∠ADB+∠ADC＝π，
由正弦定理得，即，
解得：，
在△ADC中，由正弦定理得，即，
解得sinC＝，
∵∠ADC为钝角，
∴，
∴，
所以sin∠DAC＝sin（π﹣∠DAC）＝sin（∠ADC+∠C）＝sin∠ADC•csC+cs∠ADC•sinC＝×+（﹣）×＝．
由于∠DAC为锐角，故．
即cs∠DAC＝．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于中档题．
18．【分析】（1）取AB中点F，连接CF，推导出四边形AFCD是正方形，AB⊥CF，AC⊥BC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAC，BC⊥PC，由此能证明PB＝2CM．
（2）以A为原点，分别以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣AC﹣M正弦值．
【解答】解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，其中AB∥CD，
∠BAD＝90°，PA＝AD＝CD＝2，AB＝4，点M是PB的中点，
取AB中点F，连接CF，
∵∠BAD＝90°，AF∥CD，AF＝CD＝2，
∴四边形AFCD是正方形，∴AB⊥CF，
即得△ABC是等腰三角形，则，
∴AC2+BC2＝16＝AB2，即AC⊥BC，
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵PA，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC
∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，
∵点M是PB的中点，∴由直角三角形性质得PB＝2CM．
（2）由题可得：PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，
如图，以A为原点，分别以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），D（2，0，0），M（0，2，1），
∴，，
设平面ACM的一个法向量为，
则，令x＝1，则，
由（1）知BC⊥平面PAC，∴平面PAC的一个法向量为，
设二面角P﹣AC﹣M为θ，
∴，
∴，
∴二面角P﹣AC﹣M正弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、二面角及其正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．【分析】（1）求函数的导数，讨论a的取值判断函数的单调性；
（2）构造函数g（a）＝a2+a﹣lna﹣1，判断其单调性，从而证明不等式．
【解答】解：（1）函数f（x）＝aln（x+1）﹣x的定义域（﹣1，+∞），
则，由x+1＞0有，
①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令f'（x）＝0得，x＝a﹣1＞﹣1，
若x∈（﹣1，a﹣1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
若x∈（a﹣1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
综上所述：
当a≤0时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（﹣1，a﹣1）上单调递增，在（a﹣1，+∞）上单调递减．
（2）证明：由（1）可知，
当a＞0时，f（x）在（﹣1，a﹣1）上单调递增，在（a﹣1，+∞）上单调递减，
所以f（x）在x＝a﹣1处取得最大值，
即f（x）max＝f（a﹣1）＝aln（a﹣1+1）﹣（a﹣1）＝alna﹣a+1，
要证f（x）＜（a﹣1）lna+a2，
只需证f（x）max＜（a﹣1）lna+a2，
即证alna﹣a+1＜（a﹣1）lna+a2，
只需证a2+a﹣lna﹣1＞0，
设g（a）＝a2+a﹣lna﹣1，a＞0，
所以，
令g'（a）＝0得，a＝﹣1（舍）或，
当时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；
当时，g'（a）＞0，g（a）单调递增，
所以，
所以a2+a﹣lna﹣1＞0得证，
即f（x）＜（a﹣1）lna+a2得证．
【点评】此题考查了利用函数导数判断函数的单调性，考查了分类讨论思想，属于难题．
20．【分析】（1）利用等比数列的定义即可；
（2）求出bn与a2n﹣1，得，累加得，则，求出的最大值即可．
【解答】（1）证明：∵a1＝2，an+1＝，且bn＝a2n+1，
∴bn+1＝a2n+2+1＝（a2n+1+1）+1＝a2n+1+2＝2a2n+2＝2（a2n+1）＝2bn，
又b1＝a2+1＝（a1+1）+1＝4≠0，
∴{bn}为以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
两式相减，得，
∴，
由得，
累加得cn﹣c1＝﹣（Tn﹣T1），即，，
又λ+恒成立
∴恒成立，
令，
则，
∴当n＜6时，f（n+1）﹣f（n）＞0即f（n+1）＞f（n）；
当n＞6时，f（n+1）﹣f（n）＜0即f（n+1）＜f（n）．
∴，
∴．
故实数λ的取值范围为．
【点评】本题考查了数列的递推式，等比数列的定义，数列与不等式的综合，属于较难题．
21．【分析】（1）计算出的χ2值，再与临界值比较即可得出结论；
（2）利用全概率公式求解；
（3）抽取的10名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数ξ～B（10，0.6），再利用二项分布的概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以推断学生喜欢饭堂就餐与性别有关；
（2）记事件A：小林同学星期三选择了①号套餐，事件B：小林同学星期五选择了②号套餐，
则，，，
由全概率公式可得；
（3）由题意可知，抽取的10名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数ξ服从二项分布，
且喜欢饭堂就餐的频率为，则ξ～B（10，0.6），
且，k＝0，1，2⋅⋅⋅，10，
设＝，k＝1，2⋅⋅⋅，10，
若t＞1，即P（ξ＝k）＞P（ξ＝k﹣1），即，解得0＜k＜6.6，
若t＜1，即P（ξ＝k）＞P（ξ＝k﹣1），即，解得k＞6.6，
所以当ξ＝6时，，
当ξ＝7时，，
因为＝＞1，
所以P（ξ＝6）＞P（ξ＝7），
即使P（ξ＝k）取得最大值时k的值为6．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了全概率公式，以及二项分布的概率公式，属于中档题．
22．【分析】（1）由题意|TM1|＝|TM|且||TM1|﹣|TC||＝||TM|﹣|TC||＝2＜|CM|＝4，根据双曲线定义确定轨迹方程即可；
（2）令l：x＝ky+2且，联立双曲线方程，应用韦达定理求AB中点坐标，进而写出AB垂直平分线，即可求Q坐标并得到|QM|，再根据双曲线定义求|AC|+|BC|﹣4，即可判断目标式是否为定值．
【解答】解：（1）由题意，可画出如下示意图，|TM1|＝|TM|，
由圆C：（x+2）2+y2＝4，则圆心C（﹣2，0），半径为2，
所以||TM1|﹣|TC||＝||TM|﹣|TC||＝2＜|CM|＝4，
即T轨迹是以C，M为焦点的双曲线，且2a＝2，2c＝4，故b2＝c2﹣a2＝3，
所以轨迹E的方程为．
（2）令l：x＝ky+2且，联立，
所以（3k2﹣1）y2+12ky+9＝0，且Δ＝36（k2+1）＞0，
令A（x1，y1），B（x2，y2），则，
所以，
故AB中点坐标为，则AB垂直平分线为，
令y＝0，则，即，故，
又直线l交曲线E于A，B两点必在右支，则|AC|﹣|AM|＝|BC|﹣|BM|＝2，
所以|AC|+|BC|＝|AM|+|BM|+4＝|AB|+4，则|AC|+|BC|﹣4＝|AB|，
而，
综上，为定值．
【点评】本题考查了轨迹方程的求法和直线与双曲线的综合，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．性别
饭堂就餐
合计
喜欢饭堂就餐
不喜欢饭堂就餐
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828