2023-2024学年四川省成都市高三（上）月考数学试卷（理科）（10月份）

这是一份2023-2024学年四川省成都市高三（上）月考数学试卷（理科）（10月份），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（5分）如果复数（m2﹣3m）+（m2﹣5m+6）i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．0或3D．2或3
3．（5分）已知直线l1：x﹣3y+2＝0，l2：3x﹣ay﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．﹣1
4．（5分）已知平面α，β，γ，直线a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β
B．若a⊥α，α⊥β，则a∥β
C．若a⊥α，b∥β，α∥β，则a⊥b
D．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α∥β
5．（5分）向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则＝（ ）
A．1.5B．2C．﹣4.5D．﹣3
6．（5分）已知等比数列{an}各项均为正数，3a2+2a3＝a4，{an}的前n项和为Sn，则＝（ ）
A．3B．C．D．13
7．（5分）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
8．（5分）设函数f（x）的定义域为R，且f（2x+2）是奇函数，f（x+1）是偶函数，则一定有（ ）
A．f（﹣1）＝0B．f（3）＝0C．f（4）＝0D．f（5）＝0
9．（5分）阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得ab为有理数；若为无理数，则取无理数a＝，b＝，此时ab＝（＝（＝（）2＝2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A．是有理数
B．是无理数
C．存在无理数a，b，使得ab为有理数
D．对任意无理数a，b，都有ab为无理数
（多选）10．（5分）一个盒子中装有a个黑球和b个白球（a，b均为不小于2的正整数），现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为A1，“第一次取得白球”为A2，“第二次取得黑球”为B1，“第二次取得白球”为B2，则（ ）
A．
B．
C．P（B1|A1）+P（B2|A1）＜1
D．P（B2|A1）+P（B1|A2）＞1
11．（5分）如图，双曲线E的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与其右支交于P，Q两点，已知|PF1|＝2|PF2|且∠PF1F2＝∠F1QP，则双曲线E的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
12．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣3）3+2x﹣6，且f（2a﹣b）+f（6﹣b）＞0（a，b∈R），则（ ）
A．sina＞sinbB．ea＞eb
C．D．a2024＞b2024
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
14．（5分）过点（2，2）的直线l被圆C：x2+（y+1）2＝16所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 条．
15．（5分）已知多项式f（x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4满足对任意θ∈R，f（csθ）＝2cs4θ+cs3θ，则a1﹣a2+a3﹣a4＝ （用数字作答）．
16．（5分）若曲线与曲线y＝2lnx存在公切线，则a的取值范围为 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每题满分60分，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，每题满分60分，考生根据要求作答.
17．（12分）已知等差数列{an}满足a2＝3，S5＝25．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设为数列{bn}的前n项和，求Tn．
18．（12分）如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBF＝60°，FA＝FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．
19．（12分）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（2）为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：
求y关于t的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．
20．（12分）已知抛物线C1：y2＝x，圆C2：（x﹣4）2+y2＝1．
（Ⅰ）求圆心C2到抛物线C1准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A、B两点，若直线PC2的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，k1•k2＝﹣，求点P的坐标．
21．（12分）已知函数f（x）＝（ex﹣k）x2，k＞0．
（1）若k＝2，求函数f（x）的极值点的个数；
（2）是否存在正实数k使函数f（x）的极值为2ek2，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l及圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，求cs∠AOB的值．
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤x+1；
（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为c，实数a，b满足a＞0，b＞0，a+b＝c，求证：．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3+5＝8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选：B．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
2．【分析】根据所给的复数是一个纯虚数，得到关于m的关系式，即复数的实部等于零且虚部不等于零，解出关于m的等式和不等式，得到要求的结果．
【解答】解：∵复数（m2﹣3m）+（m2﹣5m+6）i是纯虚数，
∴m2﹣3m＝0，
m2﹣5m+6≠0，
∴m＝0，m＝3，
m≠2，m≠3，
∴m＝0，
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数是一个纯虚数的条件，这种问题在解的时候容易出错，易错点是只做实部等于零，而忽略虚部不等于零．
3．【分析】由已知结合直线的一般式方程垂直条件的应用，属于基础题．
【解答】解：因为直线l1：x﹣3y+2＝0，l2：3x﹣ay﹣1＝0，
若l1⊥l2，则1×3+（﹣3）（﹣a）＝0，
则a＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线的一般式方程垂直条件的应用，属于基础题．
4．【分析】由线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定于性质，对选项一一判断可得结论．
【解答】解：由a∥α，b∥β，a∥b，可得α∥β，或α，β相交，故A错误；
由a⊥α，α⊥β，可得a∥β或a⊂β，故B错误；
由a⊥α，α∥β，可得a⊥β，b∥β，由线面平行和线面垂直的性质，可得a⊥b，故C正确；
由α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，可得α∥β，或α，β相交，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于中档题．
5．【分析】利用已知条件表示，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解：建立坐标系如图，＝（﹣1，1），＝（﹣2，﹣1），
＝（﹣1﹣2，1﹣1）•（1，0）＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题．
6．【分析】利用等比数列通项公式列方程，求出公比，由此能求出结果．
【解答】解：等比数列{an}各项均为正数，3a2+2a3＝a4，{an}的前n项和为Sn，
∴，
解得q＝3，
则＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．【分析】，根据三角函数图象的平移变换即可求解．
【解答】解：因为，
所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题．
8．【分析】根据题意，由条件分别可得函数f（x）的对称中心，对称轴以及周期，即可得到结果．
【解答】解：因为f（2x+2）为奇函数，所以f（2x+2）＝﹣f（﹣2x+2），即有f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），
所以函数f（x）的图像关于点（2，0）对称．
因为f（x+1）是偶函数，所以f（x+1）＝f（﹣x+1），所以函数f（x）的图像关于直线x＝1对称，
所以f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x），所以函数的周期为4，
所以f（4）＝f（0）＝f（2）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣f（5），
无法确定其值，ABD无法确定，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，属于中档题．
9．【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答．
【解答】解：这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，A，B错误；
这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ab为有理数”，
因此这段文字可以证明此结论，C正确；
这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查归纳推理，命题的判断，属于基础题．
10．【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式分析A和B，由条件概率的性质分析C和D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，A1B2即第一次取得黑球，第二次取得白球，则P（A1B2）＝×＝，A错误；
对于B，A2B1即第一次取得白球，第二次取得黑球，则P（A2B1）＝×＝×，B正确；
对于C，P（B1|A1）+P（B2|A1）＝+＝1，C错误；
对于D，P（B2|A1）+P（B1|A2）＝+＝1﹣+＝1+＞1，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查概率与不等式的综合应用，涉及相互独立事件、条件概率的计算，属于基础题．
11．【分析】由双曲线的定义，结合双曲线离心率的求法求解即可．
【解答】解：由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||＝2a，
又|PF1|＝2|PF2|，
则|PF1|＝2|PF2|＝4a，
已知∠PF1F2＝∠F1QP，
又∠F1PF2＝∠QPF1，
则△PF1F2∽△QPF1，
则＝，
即|PQ|＝8a，|QF2|＝6a，|QF1|＝8a，|F1F2|＝4a，
则．
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的定义，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
12．【分析】先求出函数f（x）的单调性和对称性，再逐项分析求解即可．
【解答】解：f（3﹣x）＝（3﹣x﹣3）3+2（3﹣x﹣3）＝﹣x3﹣2x，f（3+x）＝（3+x﹣3）3+2（3+x﹣3）＝x3+2x，
∴f（3+x）＝﹣f（3﹣x），即（3，0）是f（x）的中心对称点，
∴f（6﹣b）＝f（3+（3﹣b））＝﹣f（3﹣（3﹣b））＝﹣f（b），
又f′（x）＝3（x﹣3）2+2＞0，则f（x）是增函数，
故f（2a﹣b）+f（6﹣b）＝f（2a﹣b）﹣f（b）＞0，即f（2a﹣b）＞f（b），2a﹣b＞b，a＞b，并且，a，b∈R；
对于A，若a＝b+2π，则sina＝sinb，错误；
对于B，因为函数y＝ex是增函数，所以ea＞eb，正确；
对于C，若a＝﹣1，b＝﹣2，则，错误；
对于D，若a＝1，b＝﹣1，则有a2024＝b2024，错误．
故选：B．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分不必要条件，确定实数a的取值范围．
【解答】解：由，得（2x﹣1）（x﹣1）＜0，解得，所以p：．
由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得[x﹣（a+1）]（x﹣a）≤0，即a≤x≤a+1，即q：a≤x≤a+1，
要使p是q的充分不必要条件，则，解得
所以a的取值范围是[0，]，
故答案为：[0，]．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用分数不等式和一元二次不等式的解法求出对应的解是解决本题的关键．
14．【分析】由直线过定点（2，2），再计算直线被圆截得的最短弦长、最长的弦长，即可求得结论．
【解答】解：由圆C：x2+（y+1）2＝16，得圆心C（0，﹣1），
直线过定点（2，2）
当直线斜率存在时，设直线l：kx﹣y﹣2k+2＝0，
∵圆心到定点（2，2）的距离为，
∴直线l：kx﹣y﹣2k+2＝0被圆C：x2+（y+1）2＝16所截得的最短弦长为2＝2，
又过定点（2，2）的最长的弦长为直径8，
当直线斜率不存在时，过点（2，2）垂直x轴的直线x＝2与圆C所截得的弦长恰好为2＝24不是整数，
∴弦长为整数时直线l共有9条．
故答案为：9．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
15．【分析】根据二倍角公式进行三角恒等变换，化简即可求解．
【解答】解：由题意得：f（csθ）＝2cs4θ+cs3θ
＝2（2cs22θ﹣1）+csθcs2θ﹣sinθsin2θ
＝4（2cs2θ﹣1）2﹣2+csθ（2cs2θ﹣1）﹣2sin2θcsθ
＝4（4cs4θ﹣4cs2θ+1）﹣2+2cs3θ﹣csθ﹣2（1﹣cs2θ）csθ
＝16cs4θ﹣16cs2θ+2+2cs3θ﹣csθ﹣2csθ+2cs3θ
＝2﹣3csθ﹣16cs2θ+4cs3θ+16cs4θ，
由题意可知：，
∴a1﹣a2+a3﹣a4＝﹣3﹣（﹣16）+4﹣16＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
16．【分析】设公切线与曲线f（x）＝（x＞0）的切点为（x1，），与曲线g（x）＝2lnx的切点为（x2，2lnx2），利用导数的几何意义可求出y＝f（x）在x＝x1处的切线方程为y＝（﹣）（x﹣x1）+＝（﹣）x+，同理可得，y＝g（x）在x＝x1处的切线方程为y＝x+2lnx2﹣2，由题意可得，消去x1，整理得a＝﹣，设lnx2＝t＜1，则a（t）＝﹣，求导得到a（t）的单调性和最值，进而求出a的取值范围．
【解答】解：设公切线与曲线f（x）＝（x＞0）的切点为（x1，），与曲线g（x）＝2lnx的切点为（x2，2lnx2），
∵f'（x）＝﹣，g'（x）＝，
∴y＝f（x）在x＝x1处的切线方程为y＝（﹣）（x﹣x1）+＝（﹣）x+，
同理可得，y＝g（x）在x＝x1处的切线方程为y＝x+2lnx2﹣2，
由题意可知，，即①，
∵＜0，∴a＜0，
∴＝lnx2﹣1＜0，∴lnx2＜1，
方程组①消去x1，整理得a＝﹣，
设lnx2＝t＜1，则a（t）＝﹣，
∴a'（t）＝﹣，
令a'（t）＝0，解得t＝﹣1，
当t＜﹣1时，a'（t）＜0，a（t）单调递减；当﹣1＜t＜1时，a'（t）＞0，a（t）单调递增，
∴a（t）min＝a（﹣1）＝﹣，
又∵a（1）＝0，
∴﹣≤a＜0，
即a的取值范围为[﹣，0）．
故答案为：[﹣，0）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每题满分60分，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，每题满分60分，考生根据要求作答.
17．【分析】（1）由已知求得a1＝1，公差d＝2．即可得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（2）由，累加即可．
【解答】解：（1）数列{an}为等差数列．
由S5＝5a3＝25∴a3＝5，a2＝3
得a1＝1，{an}的公差d＝2．
所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（2）由（1）知，．
所以＝，
【点评】本题考查了等差数列的通项、裂项求和，考查了计算能力，属于中档题．
18．【分析】（1）由线面垂直的判断定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角即可．
【解答】证明：（1）设AC交BD于点O，连接FO，
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，O为AC中点，
又因为FA＝FC，所以AC⊥FO，
又因为FO∩BD＝O，FO⊂平面BDEF，BD⊂平面BDEF，
所以AC⊥平面BDEF；
解：（2）如图，连接DF，因为四边形BDEF为菱形，∠DBF＝60°，
所以△DBF为等边三角形，又因为O为BD中点，所以FO⊥BD，
又因为AC⊥FO，AC∩BD＝O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以FO⊥平面ABCD，所以OA，OB，OF两两互相垂直，
分别以OA，OB，OF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，
设AB＝2，则BD＝2，，
又因为△DBF为等边三角形，所以，
则O（0，0，0），，B（0，1，0），，，
所以，，
设平面BCF的一个法向量＝（x，y，z），
则，令x＝1，得，
因为OA，OB，OF两两互相垂直，所以平面AFC的一个法向量为＝（0，1，0），
所＝，
又因为二面角 A﹣FC﹣B 的平面角是锐角，
所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的证明和向量法求二面角，属于中档题．
19．【分析】（1）由题意，得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；
（2）令，得到线性回归方程为，结合所给信息再进行求解即可．
【解答】解：（1）易知X的所有可能取值为1，2，3，
此时，P（X＝2）＝[1﹣]•＝，
P（X＝3）＝[1﹣]•[1﹣]＝，
则X的分布列为：
故E（X）＝1×+2×+3×＝；
（2）令，
此时，
易知，
所以，
则，
所以，
故所求的回归方程为，
当t＝6时，y≈11；当t＝7时，y≈4；当t≥8时，y＜0，
则预测成功的总人数为450+11+4＝465．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及期望，考查逻辑推理和运算能力．
20．【分析】（Ⅰ）求出C2及抛物线C1的准线线，即可求得答案；
（Ⅱ）设出切线PA，与抛物线方程联立，可得y1＝m1﹣y0，同理可得y2＝m2﹣y0，根据圆心到切线的距离等于半径，可以化简得到，由此表示出k1，k2，并结合k1•k2＝﹣得解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知C2（4，0），C1的准线为，
∴圆心C2到C1的准线距离为；
（Ⅱ）设，切线PA：，
由得，，
由y0+y1＝m1得y1＝m1﹣y0，
切线PB：，同理可得y2＝m2﹣y0，
依题意，C2（4，0）到直线PA：的距离为，
整理得：，
同理，
∴，
∵，
∴，解得y＝±4，
∴所求P点的坐标为（16，4）或（16，﹣4）．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合运用，对学生的运算能力要求较高，属于中档题．
21．【分析】（1）f（x）＝（ex﹣2）x2，f′（x）＝x[（x+2）ex﹣4]，g（x）＝（x+2）ex﹣4，g（x）＝（x+2）ex﹣4在（0，1）上有唯一的零点x0，x∈（x0，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，函数f（x）有两个极值点，
（2）f′（x）＝exx2+（ex﹣k）•2x＝x[（x+2）ex﹣2k]，h（x）＝（x+2）ex﹣2k（k＞0），对k分类讨论可得结论．
【解答】解：（1）当k＝2时，f（x）＝（ex﹣2）x2，
f′（x）＝ex•2x+（ex﹣2）2x＝x（xex+2ex﹣4）＝x[（x+2）ex﹣4]，
令g（x）＝（x+2）ex﹣4，则g′（x）＝（x+3）ex，
所以g（x）＝（x+2）ex﹣4在（﹣∞，﹣3）单调递减，在（﹣3，+∞）单调递增，
又因为x＜﹣2时，g（x）＜0恒成立，g（0）＝﹣2＜0，g（1）＝3e﹣4＞0，
所以g（x）＝（x+2）ex﹣4在（0，1）上有唯一的零点x0，
所以当x∈（﹣∞，0），f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以函数f（x）有两个极值点，
（2）f′（x）＝exx2+（ex﹣k）•2x＝x[（x+2）ex﹣2k]，
令h（x）＝（x+2）ex﹣2k（k＞0），则x＜﹣2时，h（x）＜0，
h′（x）＝（x+3）ex，当x＞﹣3时，h（x）单调递增，h（0）＝2﹣2k，
①当k＝1时，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）无极值，不存在符合题意的k，
②当k＞1时，h（0）＜0，h（k）＝（k+2）ek﹣2k＞（k+2）•e﹣2k＞0，存在x0∈（0，k），使得h（x0）＝0，
当x∈（﹣∞，0），f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞），
f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）的极大值为f（0）＝0＜2ek2，f（x）的极小值为f（x0）＜f（0）＝0＜2ek2，故不存在符合题意的k，
③当0＜k＜1时，h（0）＞0，存在x0∈（﹣2，0），使得h（x0）＝0，
当x∈（﹣∞，x0），f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，0），f′（x）＜0，f（x0）单调递减，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）的极小值为f（0）＝0＜2ek2，f（x）的极大值为f（x0），
如果存在正实数k使函数f（x）的极值为2ek2，则f（x0）＝（﹣k）＝2ek2，
又因为h（x0）＝（x0+2）﹣2k＝0，所以（﹣k）＝2ek2，所以+2ek（x0+2）＝0，
所以+（x0+2）2＝0，即+（x0+2）2＝0，
令H（x）＝+ex（x+2）2，则H′（x）＝+ex（x2++6x+8），因为x∈（﹣2，0），所以H′（x）＞0，
所以H（x）在（﹣2，0）单调递增，又因为H（﹣1）＝0，所以x0＝﹣1，此时k＝＝，
综上所述，k＝时，存在极值为2ek2．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查学生的分析问题的能力和计算能力，是一道综合题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．【分析】（Ⅰ）由直线l的参数方程消去参数能求出其普通方程，由此能示出直线l的极坐标方程；由圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，将代入，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）将直线l：ρsinθ＝ρcsθ+2，与圆C：ρ＝4csθ+2sinθ联立，得sinθcsθ＝3cs2θ，由此能求出cs∠AOB的值．
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由直线l的参数方程，得其普通方程为y＝x+2，
∴直线l的极坐标方程为ρsinθ＝ρcsθ+2．
又∵圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，
将代入并化简得ρ＝4csθ+2sinθ，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝4csθ+2sinθ．……………………（5分）
（Ⅱ）将直线l：ρsinθ＝ρcsθ+2，
与圆C：ρ＝4csθ+2sinθ联立，得（4csθ+2sinθ）（sinθ﹣csθ）＝2，
整理得sinθcsθ＝3cs2θ，∴．
不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为θ，且tanθ＝3．
于是，．……………………（10分）
【点评】本题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查角的余弦值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
23．【分析】（Ⅰ）f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．通过①当x＜1时，②当1≤x≤3时，③当x＞3时，去掉绝对值符号，求解即可．
（Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|＝2，推出a+b＝2．令a+1＝m，b+1＝n，利用基本不等式转化求解证明即可．
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲
（Ⅰ）解：f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．
①当x＜1时，不等式可化为4﹣2x≤x+1，x≥1．
又∵x＜1，∴x∈∅；
②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，x≥1．
又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3．
③当x＞3时，不等式可化为2x﹣4≤x+1，x≤5．
又∵x＞3，∴3＜x≤5．
综上所得，1≤x≤3，或3＜x≤5，即1≤x≤5．
∴原不等式的解集为[1，5]．…………………（5分）
（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|＝2，
∴c＝2，即a+b＝2．
令a+1＝m，b+1＝n，则m＞1，n＞1，a＝m﹣1，b＝n﹣1，m+n＝4，，
原不等式得证．…………………（10分）
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力．t
1
2
3
4
5
y
232
98
60
40
20
X
1
2
3
P