2023-2024学年四川省泸州市泸县高三（上）月考数学试卷（文科）（10月份）

这是一份2023-2024学年四川省泸州市泸县高三（上）月考数学试卷（文科）（10月份），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）全集U＝R，集合A＝{2，3，5，7，9}，B＝{4，5，6，8}，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．{2，3，5，7，9}B．{2，3，4，5，6，7，8，9}
C．{4，6，8}D．{5}
2．（5分）复数Z＝a+（3﹣a） i（a∈R，i为虚数单位），在复平面内所对应的点在y＝2x上，则|Z|＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣4D．4
4．（5分）函数f（x）＝e|x|﹣x2﹣|x|的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）“（x﹣1）（x+2）＞0”是“＞0”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．非充分非必要条件
6．（5分）天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度．星体的视星等m，绝对星等M，距地球的距离d有关系式（d0为常数）．若甲星体视星等为1.25，绝对星等为﹣6.93，距地球距离d1；乙星体视星等为1.15，绝对星等为1.72，距地球距离d2，则＝（ ）
A．101.75B．101.72C．101.65D．101.62
7．（5分）已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点D，E满足＝，＝+，AD与BE交于点P，则•＝（ ）
A．B．C．1D．2
8．（5分）把函数y＝sinx﹣csx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的值可以是（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）已知偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且a＝lg52，b＝ln2，c＝﹣20.1，则f（a），f（b），f（c）满足（ ）
A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）
C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（b）＜f（c）
10．（5分）已知函数f（x）＝+sinx，其中f′（x）为函数f（x）的导数，则f（2020）+f（﹣2020）+f′（2021）﹣f′（﹣2021）＝（ ）
A．0B．2C．2020D．2021
11．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，且△ABD和△BCD都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．4πB．C．8πD．
12．（5分）sin3，cs（sin2），tan（cs3）的大小关系是（ ）
A．cs（sin2）＞sin3＞tan（cs3）
B．cs（sin2）＞tan（cs3）＞sin3
C．sin3＞cs（sin2）＞tan（cs3）
D．tan（cs3）＞sin3＞cs（sin2）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝ ．
14．（5分）已知sin（﹣α）＝﹣，则cs（2α+）＝ ．
15．（5分）已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且﹣csinB＝a，则B＝ ．
16．（5分）已知函数（e＝2.71828⋯）．若对定义域内不相等的x1、x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则实数m的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知函数f（x）＝2sin（x+）cs（x+）+2sinxcsx．
（1）求f（x）单调递增区间；
（2）若，且，求sinα的值．
18．（12分）已知曲线f（x）＝kxsinx+b在点处的切线方程为2x﹣y﹣3＝0．
（Ⅰ）求k，b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间上零点的个数，并证明．
19．（12分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足a＝6，b＝5且sinA＝sin2B．
（1）求c；
（2）若点M，N分别在边AB和AC上，且MN将△ABC分成面积相等的两部分，求MN的最小值．
20．（12分）如图，AB＝AC，AB⊥AC，D为BC中点，B1B⊥平面ABC，B1B∥C1C∥A1A，A1A＝C1C＝1，BC＝BB1＝2．
（1）证明：BC1⊥平面ADB1；
（2）求点C到平面ADB1的距离．
21．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）若函数f（x）有极大值点x＝t，证明：tlnt＞mt﹣1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）如图，在极坐标系中，已知点M（2，0），曲线C1是以极点O为圆心，以OM为半径的半圆，曲线C2是过极点且与曲线C1相切于点（2，）的圆．
（1）分别写出曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）直线θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R）与曲线C1，C2分别相交于点A，B（异于极点），求△ABM面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数．
（1）当m＝2时，求函数f（x）的定义域；
（2）设函数f（x）的定义域为M，当时，，求实数m的取值范围．
2023-2024学年四川省泸州市泸县高三（上）月考数学试卷（文科）（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】由图可知阴影部分所表示的集合为B∩∁UA，从而求解即可．
【解答】解：由图可知阴影部分所表示的集合为B∩∁UA，
因为全集U＝R，
集合A＝{2，3，5，7，9}，
B＝{4，5，6，8}，
所以B∩∁UA＝{4，6，8}，
所以图中阴影部分所表示的集合中元素的个数为3．
故选：C．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题．
2．【分析】根据已知条件，结合复数模公式和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵Z＝a+（3﹣a） i（a∈R，i为虚数单位），
∴2a＝3﹣a，解得a＝1，
∴Z＝1+2i，
∴|Z|＝．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数模公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，1），
由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．
故选：D．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
4．【分析】判断函数的奇偶性，结合对称性，函数单调性和导数之间的关系进行判断排除即可．
【解答】解：函数是偶函数，函数关于y轴对称，排除A，B，
当x＞0时，f（x）＝ex﹣x2﹣x，f′（x）＝ex﹣2x﹣1，f′（1）＝e﹣3＜0，f′（2）＝e2﹣5＞0，
则存在x0∈（1，2），使得f′（x）＝0，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象和性质等基本知识，考查逻辑推理能力及其应用，考查数形结合，化归与转化等思想．
5．【分析】根据：“（x﹣1）（x+2）＞0”⇔“＞0”，即可判断出结论．
【解答】解：“（x﹣1）（x+2）＞0”⇔“＞0”，
∴“（x﹣1）（x+2）＞0”是“＞0”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．【分析】利用对数的运算可求得的值．
【解答】解：由已知可得，
上述两个等式作差得5（lg﹣lg）＝5lg＝0.57+8.18＝8.75，
因此得＝101.75，
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
7．【分析】根据AD与BE交于点P，可知存在λ和μ使得，＝，然后求出λ和μ，再求出•．
【解答】解：由△ABC为等边三角形，AB＝2，点D，＝，
可知D为BC是中点，且AD⊥BC，，
∵＝+，
可得A，E，C三点共线，且E在靠近A的三等分点，
∵AD与BE交于点P，
∴存在λ和μ使得，＝，
∵，
∴＝
即，解得，
∵AD⊥BC，AD＝，BD＝1，则AP＝，BP＝，
那么cs∠；
则•＝＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了向量的线性运算和夹角公式，属于中档题．
8．【分析】利用辅助角公式化积，然后由x＝0时角m﹣的终边在y轴上求得m的值．
【解答】解：y＝sinx﹣csx＝2（sinx﹣csx）＝2sin（x﹣）．
向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象的函数解析式为y＝2sin（x+m﹣）．
∵所得到的图象关于y轴对称，
∴，m＝kπ，k∈Z．
取k＝0，得m＝．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象和性质，属中档题．
9．【分析】由已知可知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，结合已知即可比较大小
【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，
∵a＝lg52∈（0，），b＝ln2，c＝﹣20.1＜﹣1，
则f（a）＜f（b）＜f（c），
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调比较大小，属于基础试题．
10．【分析】先利用函数的解析式求解f（x）+f（﹣x）＝2，然后利用导数的求导公式求出f'（x）和f'（﹣x），从而得到f'（x）﹣f'（﹣x）＝0，即可得到答案．
【解答】解：因为f（x）＝+sinx，
则f（x）+f（﹣x）＝+sinx++sin（﹣x）＝2，
所以f（2020）+f（﹣2020）＝2，
又，
所以，
故f'（x）﹣f'（﹣x）＝0，
所以f'（2021）﹣f'（﹣2021）＝0，
则f（2020）+f（﹣2020）+f′（2021）﹣f′（﹣2021）＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的对称性和函数求导公式的应用，涉及了函数奇偶性的判断与应用，解题的关键是利用解析式求出f（x）+f（﹣x）＝2和f'（x）﹣f'（﹣x）＝0，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
11．【分析】取BD中点E，连接AE，由已知证得AE⊥底面BCD，分别取底面BCD与平面ABD的外心F与G，过F与G分别作平面BCD与平面ABD的垂线相交于O，可知O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，求解三角形得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
【解答】解：如图，
取BD中点E，连接AE，CE，可得AE⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴AE⊥平面BCD，分别取底面BCD与平面ABD的外心F与G，
过F与G分别作平面BCD与平面ABD的垂线相交于O，
则O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，连接OC，
可得OF＝GE＝＝，FC＝，
∴，
∴该三棱锥的外接球表面积为．
故选：D．
【点评】本小题多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
12．【分析】分别判断每个值的范围即可得到结论．
【解答】解：因为＜3＜π；
∴﹣1＜cs3＜0⇒tan（cs3）＜0；
∵＜2＜π⇒0＜sin2＜1⇒cs（sin2）＞cs1＞cs＝；
∵＜3＜π⇒0＜sin3；
即：cs（sin2）＞sin3＞tan（cs3）；
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数性质的应用以及特殊角的三角函数值，属于基础题目，也是易错题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
【解答】解：∵幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）xm在（0，+∞）上单调递减，
∴m2﹣3m﹣3＝1，且m＜0，
求得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
14．【分析】由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为sin（﹣α）＝cs（）＝﹣，
所以sin（）＝cs（）＝﹣，
所以cs（2α+）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
15．【分析】利用余弦和正弦定理，化简求得B的值．
【解答】解：△ABC中，由﹣csinB＝a，
由余弦定理得bcsC﹣csinB＝a，
由正弦定理得sinBcsC﹣sinCsinB＝sinA，
即sinBcsC﹣sinCsinB＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC，
所以﹣sinCsinB＝csBsinC；
又C∈（0，π），所以sinC≠0，
所以﹣sinB＝csB，
所以tanB＝﹣1；
又B∈（0，π），
所以B＝（或135°）．
故答案为：（或135°）．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
16．【分析】由题意可得函数f（x）是定义在R上的单调增函数，即可得到，解得即可．
【解答】解：对于任意不相等的x1，x2，有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），
即不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，
所以函数f（x）是定义在R上的单调增函数，
所以，即
其中lnm≥2﹣，即lnm﹣2+≥0，
令g（m）＝lnm﹣2+，0＜m＜2e，
易知函数g（m）为增函数，且g（e）＝0，
所以e≤m＜2e，
故m的取值范围为[e，2e）．
故答案为：[e，2e）．
【点评】本题考查了函数单调性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）＝，进而根据正弦函数的单调性即可求解．
（2）由已知利用（1）可得，结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的正弦函数公式即可求解．
【解答】解：（1）＝，
由，
得，
则函数单调递增区间为．
（2）由，得，即，
由，，
可得，
则，
所以．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．
18．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率和切点，结合已知切线方程，可得k，b的方程，解方程可得所求值；
（Ⅱ）f（x）＝2xsinx﹣3在上有且只有一个零点．由函数零点存在定理，计算可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝kxsinx+b的导数f′（x）＝ksinx+kxcsx，
所以，
又因为，
曲线f（x）在点处的切线方程为2x﹣y﹣3＝0，
可得k＝2，π+b＝π﹣3，
所以k＝2，b＝﹣3；
（Ⅱ）f（x）＝2xsinx﹣3在上有且只有一个零点．
证明：因为f′（x）＝2sinx+2xcsx，，所以f′（x）＞0，
即有f（x）在上为单调递增函数且图象连续不断，
因为f（0）＝﹣3＜0，，
所以f（x）在上有且只有一个零点．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，以及函数的零点个数问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
19．【分析】（1）根据二倍角公式、正弦定理和sinA＝sin2B得到，，再利用同角三角函数基本公式得到，利用和差公式得到，即可得到c＝b＝5；
（2）利用三角形面积公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式即可得到MN的最小值．
【解答】解：（1）因为sinA＝sin2B＝2sinBcsB，
所以，
因为，
所以，
又，且A为锐角，所以，
所以．
因为csC＝csB．所以C＝B．所以c＝b＝5；
（2）设AM＝m，AN＝n，根据题设有，
所以，可得，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以MN的最小值为．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
20．【分析】（1）利用B1B⊥平面ABC，证明平面B1BCC1⊥平面ABC，可得AD⊥平面B1BCC1，则AD⊥BC1，证明CC1⊥平面ABC，得到CC1⊥BC，BB1⊥BC，从而证明BC1⊥B1D，即可证明结论；
（2）设点C到平面ADB1的距离为h，即三棱锥C﹣ADB1的高，利用等体积法，结合锥体的体积公式求解即可．
【解答】（1）证明：因为B1B⊥平面ABC，B1B⊂平面B1BCC1，
所以平面B1BCC1⊥平面ABC，
又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，
因为△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，
则AD⊥BC，
所以AD⊥平面B1BCC1，
又BC1⊂平面B1BCC1，
所以AD⊥BC1，
因为BB1∥CC1，BB1⊥平面ABC，
所以CC1⊥平面ABC，
又BC⊂平面ABC，
所以CC1⊥BC，BB1⊥BC，
所以△BCC1与△B1BD都为直角三角形，
因为BC＝BB1，BD＝CC1，
所以△BCC1≌△B1BD，∠B1DB＝∠BC1C，∠CBC1+∠BC1C＝，
所以∠CBC1+∠B1DB＝，
故BC1⊥B1D，
因为AD⊂平面ADB1，B1D⊂平面ADB1，AD∩DB1＝D，
故BC1⊥平面ADB1；
（2）解：设点C到平面ADB1的距离为h，即三棱锥C﹣ADB1的高，
由等体积法，，
则，
因为AD⊥平面BCC1B1，DB1⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥DB1，
则△ADB1为直角三角形，
所以，
因为△ADC为直角三角形，
所以，
解得h＝，
所以点C到平面ADB1的距离为．
【点评】本题考查了线面垂直的判定以及点到面距离的求法，涉及了等体积法的应用，面面垂直的性质定理的应用，锥体体积公式的理解与应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
21．【分析】（1），由f′（x）的符号得f（x）的单调区间，即可求解；
（2）由（1）可知则，由 得 ，要证tlnt＞mt﹣1，只需证即证2tlnt﹣t2+1＞0，令h（x）＝2xlnx﹣x2+1，x∈（0，1），证明h（x）单调递减，即可．
【解答】解：（1），，
f′（x）＞0⇔x2﹣2mx+1＞0且x＞0⇔0＜x＜或x＞，
f（x）在上单调递增；
f（x）在上单调递减；
f（x）在上单调递增，
所以函数f（x）的极大值点为，极小值点为．
证明：（2）由（1）知函数f（x）的极大值点为，
则，
由，得，
要证tlnt＞mt﹣1，只需证tlnt﹣mt+1＞0，t∈（0，1），
只需证，即证2tlnt﹣t2+1＞0，t∈（0，1），
令h（x）＝2xlnx﹣x2+1，x∈（0，1），则h'（x）＝2lnx﹣2x+2，
令φ（x）＝2lnx﹣2x+2，x∈（0，1），则，
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增；
∴φ（x）＜φ（1）＝0，即h'（x）＜0，
当x∈（0，1）时，h（x）单调递减，
∴h（x）＞h（1）＝0，∴2xlnx﹣x2+1＞0
又t∈（0，1），则2tlnt﹣t2+1＞0，
故tlnt＞mt﹣1．
【点评】本题考查函数单调性的求法，函数不等式的证明，注意分类讨论思想、等价转化思想和导数知识的合理运用，属于较难题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用三角形的面积公式和分割法的应用及二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（1）已知点M（2，0），曲线C1是以极点O为圆心，以OM为半径的半圆，曲线C1是过极点且与曲线C1相切于点（2，）的圆．
所以：曲线C1的极坐标方程为ρ＝2（0≤θ≤π）；
曲线C2是过极点且与曲线C1相切于点（2，）的圆，整理得：x2+（y﹣1）2＝1，
根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（2）由于直线θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R）与曲线C1，C2分别相交于点A，B（异于极点），
所以S△ABM＝S△AOM﹣S△BOM＝＝2sinα﹣2sin2α＝；
当时，S△ABM的最大值为．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，分割法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得|2x﹣1|﹣|x+2|﹣2≥0，即|2x﹣1|﹣|x+2|≥2，解可得答案；
（2）根据题意，等价于当x∈[﹣m，]时，有|2x﹣1|﹣|x+m|﹣m≥0恒成立，变形可得∀x∈[﹣m，]，2m≤﹣3x+1成立，据此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，若m＝2，则f（x）＝，
必有|2x﹣1|﹣|x+2|﹣2≥0，即|2x﹣1|﹣|x+2|≥2，
则有或或，
解可得x≤﹣1或x≥5，
即函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）；
（2）根据题意，当时，，
则当x∈[﹣m，]时，有|2x﹣1|﹣|x+m|﹣m≥0恒成立，
此时1﹣2x﹣x﹣m﹣m≥0，变形可得2m≤﹣3x+1，
若∀x∈[﹣m，]，2m≤﹣3x+1成立，必有2m≤（﹣3+1）min，
设h（x）＝﹣3x+1，易得h（x）min＝﹣，必有2m≤﹣，解可得m≤﹣，
又由m＞﹣，则m的取值范围为（﹣，﹣]．
【点评】本题考查函数的定义域和子集的关系，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．