通辽市重点中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末考试试题【含解析】

这是一份通辽市重点中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末考试试题【含解析】，共22页。试卷主要包含了如图，下面推理中，正确的是，分式的值为0，则的值是，下列二次根式中，最简二次根式是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在平面直角坐标系中，将点P(1，4)向左平移3个单位长度得到点Q，则点Q所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知是正比例函数，则m的值是( )
A．8B．4C．±3D．3
3．如果把分式中的和都扩大了3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．缩小6倍
4．要使分式的值为0，你认为x可取得数是
A．9B．±3C．﹣3D．3
5．在﹣，3.14，0.3131131113…，，﹣，中无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．如图，下面推理中，正确的是（ ）
A．∵∠DAE＝∠D，∴AD∥BCB．∵∠DAE＝∠B，∴AB∥CD
C．∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥CDD．∵∠D+∠B＝180°，∴AD∥BC
7．分式的值为0，则的值是
A．B．C．D．
8．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，点是和角平分线的交点，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．关于函数y=﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过（﹣2，1）B．y随x的增大而增大
C．图象经过第一、二、三象限D．当x＞时，y＜0
11．下列各组数值是二元一次方程x﹣3y＝4的解的是（ ）
A．B．C．D．
12．如图1，已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中能和△ABC完全重合的是（）
A．丙和乙B．甲和丙C．只有甲D．只有丙
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．
14．如图，点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)

15．计算：=_______．
16．如图，中，，，，为边的垂直平分线DE上一个动点，则的周长最小值为________．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝1，则BC的长是_____．
18．若二元一次方程组的解是则一次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）新华中学暑假要进行全面维修，有甲、乙两个工程队共同完成，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成所需天数的，若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作，再做30天可以完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少秀？
(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，若由甲、乙两队合作，则工程预算的施工费用50万元是否够用?若不够用，需追加多少万元?
20．（8分）如图，已知四边形各顶点的坐标分别为．
（1）请你在坐标系中画出四边形，并画出其关于轴对称的四边形；
（2）尺规作图：求作一点，使得，且为等腰三角形．
（要求：仅找一个点即可，保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点旋转后的对应点为、，记旋转角为．如图，若，求的长．
22．（10分）（1）计算：
①
②
（2）解方程
①（用代入法）
②（用加减法）
23．（10分）如图，已知，直线l垂直平分线段AB
尺规作图：作射线CM平分，与直线l交于点D，连接AD，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，和的数量关系为______．
证明你所发现的中的结论．
24．（10分）建立模型：如图1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线l上．
实践操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证：△CAD≌△BCE．
模型应用：（1）如图1，在直角坐标系中，直线l1：y=x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l1．求l1的函数表达式．
（1）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，1a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
25．（12分）如图，把△ABC放置在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，建立适当的平面直角坐标系xOy，使点A（1，4），△ABC与△A'B'C'关于y轴对称．
（1）画出该平面直角坐标系与△A'B'C'；
（2）在y轴上找点P，使PC+PB'的值最小，求点P的坐标与PC+PB'的最小值．
26．已知，在中，，，，垂足为点，且，连接.
（1）如图①，求证：是等边三角形；
（2）如图①，若点、分别为，上的点，且，求证：；
（3）利用（1）（2）中的结论，思考并解答：如图②，为上一点，连结，当时，线段，，之间有何数量关系，给出证明.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】向左平移，纵坐标不变，横坐标减3即可．
【详解】解：平移后点Q的坐标为（1﹣3，4），即Q（﹣2，4），
∴点Q所在的象限是第二象限，
故选择：B．
【点睛】
本题考查点在象限问题，关键上掌握平移特征，左右平移纵坐标不变，横坐标减去或加上平移距离．
2、D
【解析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可．
【详解】∵y＝(m+2)xm2﹣8是正比例函数，
∴m2﹣8＝2且m+2≠0，
解得m＝2．
故选：D．
【点睛】
考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为2．
3、C
【分析】将分子与分母中未知数分别乘以3，进而化简即可．
【详解】，
故分式的值缩小3倍．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的性质，将未知数扩大3倍后再化简分式是解题关键．
4、D
【解析】试题分析：根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式的值为0，则必须．故选D．
5、B
【分析】根据无理数的概念即可判断．
【详解】解：﹣，3.14，为有理数；
，，是无理数，共有3个.
故选：B．
【点睛】
本题考查了对无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义：无理数是指无限不循环小数．注意：无理数包括三方面的数：①含的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可．
6、C
【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可.
【详解】解：∵∠B+∠C=180°，
∴AB//CD，
故选C.
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
7、B
【分析】分式的值为1的条件是：（1）分子为1；（2）分母不为1．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】由式的值为1，得
，且．
解得．
故选：．
【点睛】
此题考查分式值为1，掌握分式值为1的两个条件是解题的关键.
8、C
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】A、∵，故不是最简二次根式，此选项错误；
B、∵，故不是最简二次根式，此选项错误；
C、是最简二次根式，此选项正确；
D、，故不是最简二次根式，此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，解题的关键是理解什么是最简二次根式．
9、C
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，得到，然后得到答案.
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵BD平分∠ABC，DC平分∠ACB，
∴，
∴，
∴；
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握所学的定理和定义进行解题，正确得到.
10、D
【解析】根据一次函数的性质，依次分析选项可得答案．
解：根据一次函数的性质，依次分析可得，
A、x=-2时，y=-2×-2+1=5，故图象必经过（-2，5），故错误，
B、k＜0，则y随x的增大而减小，故错误，
C、k=-2＜0，b=1＞0，则图象经过第一、二、四象限，故错误，
D、当x＞时，y＜0，正确；
故选D．
点评：本题考查一次函数的性质，注意一次函数解析式的系数与图象的联系
11、A
【解析】试题分析：A、将x=1，y=-1代入方程左边得：x-3y=1+3=4，右边为4，本选项正确；
B、将x=2，y=1代入方程左边得：x-3y=2-3=-1，右边为4，本选项错误；
C、将x=-1，y=-2代入方程左边得：x-3y=-1+6=5，右边为4，本选项错误；
D、将x=4，y=-1代入方程左边得：x-3y=4+3=7，右边为4，本选项错误.
故选A
考点：二元一次方程的解.
12、B
【解析】根据全等三角形的判定ASA，SAS，AAS，SSS，看图形中含有的条件是否与定理相符合即可．
解：甲、边a、c夹角是50°，符合SAS∴甲正确；
乙、边a、c夹角不是50°，∴乙错误；
丙、两角是50°、72°，72°角对的边是a，符合AAS，∴丙正确．
故选B．
点评：本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行判断是解此题的关键
二、填空题（每题4分，共24分）
13、5.
【解析】设这个多边形是n边形，由题意得，
(n-2) ×180°=540°,解之得，n=5.
14、①②③⑤
【解析】易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE＝∠BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌△DBG，则有AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG是等边三角形，证得∠BFG＝∠DBA＝60°，则有FG∥AC，由∠CDB≠30°，可判断AD与CD的位置关系．
【详解】∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ABD＝∠CBE＝60°．
∵点A、B、C在同一直线上，∴∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°．
在△ABE和△DBC中，∵，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∴①正确；
在△ABF和△DBG中，，∴△ABF≌△DBG，∴AF＝DG，BF＝BG．
∵∠FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴②正确；
∵AE＝CD，AF＝DG，∴EF=CG；∴③正确；
∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．
∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG∥AB，∴⑤正确．
故答案为①②③⑤．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．
15、
【分析】根据单项式乘以多项式的运算法则，把单项式分别和多项式的每一项相乘计算即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16、1
【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点P和点E重合时，△ACP的周长最小，再结合题目中的已知条件求出AB的长即可．
【详解】解：∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当点P和点E重合时，△ACP的周长最小，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4cm，
∴AB＝2AC＝8cm，
∵AP＋CP＝AP＋BP＝AB＝8cm，
∴△ACP的周长最小值＝AC＋AB＝1cm，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了轴对称−最短路线问题、垂直平分线的性质以及直角三角形的性质，正确确定P点的位置是解题的关键．
17、1
【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角的性质求出∠DAB＝∠B，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出∠B＝10°，再根据直角三角形10°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠DAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，
∴∠B＝10°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝BD+CD＝1+2＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形10°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键．
18、（2,7）.
【解析】根据一次函数图象交点坐标为两个一次函数解析式联立组成的方程组的解，确定一次函数与的图象的交点坐标．
【详解】解:若二元一次方程组的解是，则一次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为（2,7）.
故答案为:（2,7）.
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程组. 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系是解决此类问题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）甲乙两队单独完成这项工程雷要60天和90天；（2）工程預算费用不够，需追要0.4万元．
【分析】（1）由题意设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完戒这项工程需要天，根据题意列出方程求解即可；
（2）由题意设甲乙两队合作完成这项工程需要天，并根据题意解出y的值，进而进行分析即可.
【详解】解：(1)设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完戒这项工程需要天，依题意则有
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意
(天)
故甲乙两队单独完成这项工程雷要60天和90天．
（2)设甲乙两队合作完成这项工程需要天，
则
解得y=36
所需费用(万元)
，
∴工程預算费用不够，需追要0.4万元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，根据题意找到合适的等量关系列出方程是解决问题的关键．
20、见解析
【分析】（1）根据题意，描出O、A、B、C各点，连线即得四边形，然后作出各个点的关于轴对称的点，连线即得；
（2）分别作BC、AC的垂直平分线，相交于点P,连接构成、、即得答案．
【详解】（1）由题意，描出O、A、B、C各点，连线即得四边形，作出其关于轴对称的四边形，作图如下：
（2）分别作BC、AC的垂直平分线，相交于点P，连接构成三角形，则点P即为所求作的点．
【点睛】
考查了数轴描点，会作点的关于直线的对称点，全等三角形的判定以及等腰三角形的判定，熟记几何图形的判定和性质是解题关键．
21、．
【分析】先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得，，则可判定为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求的长；
【详解】解： 点，点，
，，
，
绕点逆时针旋转，得△，
，，
为等腰直角三角形，
；
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是会利用两点坐标求两点之间的距离．
22、（1）①；②；（2）①；②
【分析】（1）①先算乘方和开方，再算加减即可；
②先算开方，再算乘除，最后算加减即可；
（2）①利用代入法解，由②得③，把③代入①，即可求出方程的解；
②利用加减法解，由①＋②得，即可求出方程的解．
【详解】(1)① 原式=
=
②原式＝
=
（2）①
由②得③，
把③代入①得，
解得．
将代入③得．
所以原方程组的解为
②将原方程组变形为
由①＋②得，解得．
把代入②，得．
所以原方程组的解为
【点睛】
本题考查了含乘方的无理数混合运算以及解二元一次方程组，掌握含乘方的无理数混合运算法则以及代入法、加减法是解题的关键．
23、 (1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】利用基本作图作的平分线即可；
作于E，于F，如图，利用线段的垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质得到，则利用“HL”可证明≌，所以，然后根据四边形内角和和角的代换得到．
【详解】解：如图，AD、BD为所作；
答案为；
理由如下：作于E，于F，如图，
点D在AB的垂直平分线上，
，
平分，，，
，
在和中
，
≌
，
，
，
即．
【点睛】
考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．
24、实践操作：详见解析；模型应用：（1）y=x+2；（1）A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或2．
【分析】操作：根据余角的性质，可得∠ACD＝∠CBE，根据全等三角形的判定，可得答案；
应用（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，根据待定系数法，可得AC的解析式；
（1）分两种情况讨论：①当Q在直线AP的下方时，②当Q在直线AP的上方时．根据全等三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】操作：如图1：
∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．
在△ACD和△CBE中，∵，∴△CAD≌△BCE（AAS）；
（1）∵直线yx+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，∴A（0，2）、B（﹣3，0）．如图1：
过点B做BC⊥AB交直线l1于点C，过点C作CD⊥x轴．
在△BDC和△AOB中，∵，∴△BDC≌△AOB（AAS），∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝2．OD＝OB+BD＝3+2＝7，∴C点坐标为（﹣7，3）．
设l1的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入，得：，解得：，l1的函数表达式为yx+2；
（1）由题意可知，点Q是直线y＝1x﹣6上一点．分两种情况讨论：
①当Q在直线AP的下方时，如图3，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．
在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即6﹣（1a﹣6）＝8﹣a，解得：a＝2．
②当Q在直线AP的上方时，如图2，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，AE＝1a﹣11，FQ＝8﹣a．
在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即1a﹣11＝8﹣a，解得：a．
综上所述：A．P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或2．
【点睛】
本题考查了一次函数综合题，利用余角的性质得出∠ACD＝∠CBE是解题的关键，又利用了全等三角形的判定；利用了全等三角形的性质得出CD，BD的长是解题的关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的性质得出关于a的方程是解题的关键，要分类讨论，以防遗漏．
25、（1）详见解析；（2）图详见解析，点P的坐标为（0，1），PC+PB'的最小值为2．
【分析】（1）根据点A的坐标找到坐标原点并建立坐标系，然后分别找到A、B、C关于y轴的对称点A'、B'、C' ，连接A'B'、B'C' 、A'C'即可；
（2）直接利用轴对称求最短路线的方法、利用待定系数法求一次函数的解析式以及勾股定理得出答案．
【详解】解：（1）根据点A的坐标找到坐标原点并建立坐标系，然后分别找到A、B、C关于y轴的对称点A'、B'、C' ，连接A'B'、B'C' 、A'C'，如图所示：△A'B'C'即为所求；
（2）如图所示：BC与y轴交于点P，根据对称的性质可得PB= PB'
∴PC+PB'=PC＋PB=BC，根据两点之间线段最短，此时PC+PB'最小，且最小值即为BC的长
设直线BC的解析式为y=kx＋b
将B、C坐标代入，得
解得：
∴直线BC的解析式为
当x=0时，y=1
∴点P的坐标为：（0，1），
PC+PB'的最小值为：=2．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换、利用待定系数法求一次函数的解析式以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键．
26、（1）详见解析；（2）详见解析；（3），理由详见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一定理，得到，即可得到结论成立；
（2）由（1）得，，然后证明，即可得到结论成立；
（3）在上取一点，连接，使.，由（2）得，则，，然后得到，即可得到.
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（3）；
理由如下：如图②，在上取一点，连接，使.
由（1）（2）可得，
∴，
在和中
∴
∴
∴；
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形进行证明.