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苏州市立达中学校2023-2024学年第二学期八年级期末数学试题（含解析）
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这是一份苏州市立达中学校2023-2024学年第二学期八年级期末数学试题（含解析），共39页。
1．答题前，考生务必将姓名、学校、考场号、座位号、考试号填涂在答题卷相应位置上．
2．答题必须用0.5mm黑色墨水字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题．
3．考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 文明城市人人创建，文明成果人人共享．在德阳市高质量建设全国文明城市的过程中，为了解某学校八年级1200名学生对文明知识的了解情况，学校组织了相关知识测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A. 该学校八年级每名学生的文明知识测试成绩是个体
B. 1200名学生是总体
C. 样本容量是1200
D. 被抽取的100名学生是样本
2. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 图象分布在一、三象限
B. y随x的增大而减小
C 图象与坐标轴无交点
D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上
3. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B. 把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有两个球是必然事件
C. 为了呈现某个月的气温变化情况，应选择的统计图为扇形统计图
D. 从一副扑克牌中任意抽取1张，摸到的牌是“A”的可能性比摸到的牌是“红桃”可能性小
4. 某服装店营业员在卖T恤衫时发现，当T恤以每件元销售时，每天销售是件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件，已知该体恤衫进价是每件元，设每件T恤降低元，如果服装店一天能赢利元，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似和，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知满足，则的值是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
7. 如图，菱形的对角线，交于点P，且过原点O，轴，点C的坐标为，反比例函数的图像经过A，P两点，则k的值是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
8. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②③C. ①②D. ①③
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 关于一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．
10. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围__________.
11. 有四张不透明卡片，分别写有实数，，，，除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是____________．
12. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．
13. 如图，，是的两条中线，连接． 若，则_____________．
14. 如图，在中，，，D为边上一点，且，E为上一点，若，则的长为______．
15. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为4，则的值是__________．
16. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为_____．
三、解答题（本大题共11小题，共68分）
17 解方程：
（1）．
（2）．
18. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
19. 如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知．
（1）求证：；
（2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积．
20. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（，其中每周运动时间不少于小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了______ 名学生；
（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若该校有学生人，试估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数．
21. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为3，求平行四边形的面积．
22. 聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？
23. 如图，在中，，平分，平分的外角，垂足为F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）当四边形是正方形时，求的度数．
24. 瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度．
25. 【项目学习】
把一个二次式通过添项或拆项方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，
∵，
∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1．
【问题解决】
（1）当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？
（2）如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；
（3）如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？
26. 平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点．
（1）设，点在函数、的图象上．
①分别求函数、的表达式；
②直接写出使成立的x的范围；
（2）设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上．
27. 矩形中，，（），点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F．
【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：；
类比探究】（2）如图（2），当时，
①求的值（用含k的代数式表示）．
②连接交于点H，连接，若，求k的值．
【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接、，若时，，求的长．
答案与解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 文明城市人人创建，文明成果人人共享．在德阳市高质量建设全国文明城市的过程中，为了解某学校八年级1200名学生对文明知识的了解情况，学校组织了相关知识测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A. 该学校八年级每名学生的文明知识测试成绩是个体
B. 1200名学生是总体
C. 样本容量是1200
D. 被抽取的100名学生是样本
【答案】A
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此判断即可得出答案．
【详解】解：A、该学校八年级每名学生的文明知识测试成绩是个体，故选项正确，符合题意；
B、1200名学生的文明知识测试成绩是总体，故选项错误，不符合题意；
C、100是样本容量，故选项错误，不符合题意；
D、被抽取的100名学生的文明知识测试成绩是总体的一个样本，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
2. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 图象分布在一、三象限
B. y随x的增大而减小
C. 图象与坐标轴无交点
D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴图象分布在一、三象限，在每一个象限内，随着增大而减小，
∵，
∴图象与坐标轴没有交点，
若点在它的图象上，则：，
∴点也在它的图象上；
综上，错误的选项B．
故选B．
3. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B. 把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有两个球必然事件
C. 为了呈现某个月的气温变化情况，应选择的统计图为扇形统计图
D. 从一副扑克牌中任意抽取1张，摸到的牌是“A”的可能性比摸到的牌是“红桃”可能性小
【答案】C
【解析】
【分析】根据必然事件和随机事件的定义、统计图的选择以及可能性大小的定义逐项排除即可．
【详解】解： A、抛掷一枚质量均匀硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，故A选项不合题意；B、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有两个球是必然事件，故B选项不合题意；C、为了呈现某个月的气温变化情况，应选择的统计图为折线统计图，故C选项符合题意；D、从一副扑克牌中任意抽取1张，摸到的牌是"A"的可能性比摸到的牌是“红桃"可能性小，故D选项不合题意．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了必然事件和随机事件的定义、统计图的选择以及可能性大小的定义等知识点，正确理解相关定义是解答本题的关键．
4. 某服装店营业员在卖T恤衫时发现，当T恤以每件元销售时，每天销售是件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件，已知该体恤衫进价是每件元，设每件T恤降低元，如果服装店一天能赢利元，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设每件应降价x元，每天可以多销售的数量为件，每件的利润为，由总利润每件的利润数量建立方程求出其解即可．
【详解】解：由题意，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出每件的利润和销售的数量．
5. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似和，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵、，，、，，
∴，
∴，而，
∴，
∴．
故选：D．
6. 已知满足，则的值是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将配方成，求出a，b，c的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
7. 如图，菱形的对角线，交于点P，且过原点O，轴，点C的坐标为，反比例函数的图像经过A，P两点，则k的值是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解决本题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质等，属于基础综合题型，难度适中．
先根据反比例函数的对称性和菱形的性质得到，进而求得点坐标即可求解．
【详解】解：∵菱形的对角线交于点，
，
∵反比例函数的图象经过两点，
∴，则，
过点、分别作轴，轴，垂足为，则，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴点坐标为，
∴，
故选：A．
8. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②③C. ①②D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到，于是得到，证得，于是得到，故①正确．②由于，推出，得到故②错误；③由于，推出，得到，等量代换得到，故③正确．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
在正方形中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出及的长．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴，
∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的两个解分别为，，则，，是解本题的关键．
10. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围__________.
【答案】m<1
【解析】
【分析】
【详解】本题考查反比例函数性质
根据反比例函数的单调性
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小
因此由题意可知<1即m＜1，故填m＜1
11. 有四张不透明卡片，分别写有实数，，，，除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是____________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】此题主要考查了概率的计算，关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
用无理数的个数除以总数即为所求的概率．
【详解】有四张不透明卡片，分别写有实数，，，，
其中无理数为，有两个，
则从中随机抽取一张卡片，抽到无理数的概率是．
故答案为：．
12. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质以及平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平行四边形的性质．
13. 如图，，是的两条中线，连接． 若，则_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键，根据三角形的中位线定理可知，，，故，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出答案．
【详解】，是的两条中线，
是的中位线，
，，
，
，
，
．
故答案为：3．
14. 如图，在中，，，D为边上一点，且，E为上一点，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，由等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：过点作，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即：，
∴．
故答案为：．
15. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为4，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
【详解】解：连接，轴，
，
∴，
而，
，
，
．
故答案为：
．
16. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过G作GN⊥AB于N，先证明△ABE∽△GNH，再根据相似三角形对应边成比例的性质得到，利用勾股定理解得AE＝，GH＝，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，继而证明当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，在Rt△GHM中，利用勾股定理解得HM的值即可解题．
【详解】解：如图所示，过G作GN⊥AB于N，则∠ANG＝90°，GN＝AD＝2，
∵GH⊥AE，
∴∠ANG＝∠AFG＝90°，
∴∠BAE＝∠NGH，
∴△ABE∽△GNH，
∴，
∵Rt△ABE中，AE＝，
∴，
∴GH＝，
如图所示，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，则AG＝ME，GM＝AE＝，∠HGM＝∠AFG＝90°，
∴AG+HE＝ME+HE，
当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，
此时，Rt△GHM中，HM＝，
∴EH+AG的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（本大题共11小题，共68分）
17. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程两边乘以得到，由于整式方程没有实数解，所以原方程没有实数解．
【小问1详解】
解：．
提公因式得：，
即或，
所以；
【小问2详解】
解：，
去分母，得，
整理得：，
配方得：，
即，
所以方程没有实数解．
故原方程无解
18. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
试题解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．
19. 如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知．
（1）求证：；
（2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）由，可得，由，，即，可证．
（2）由（1）知，则，即，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴，即，
解得，，
答：水果园的面积为．
20. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（，其中每周运动时间不少于小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了______ 名学生；
（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若该校有学生人，试估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数．
【答案】（1）120 （2）见解析，
（3）700人
【解析】
【分析】）（1）根据条形统计图与扇形统计图中数据关联， 有36人，占比为，从而得到这次抽样调查的总人数；
（2）计算出C组的人数，即可补全频数分布直方图；
（3）由样本估计总体，列式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：组人，占比，
在这次抽样调查中，共调查了名，
故答案为：；
【小问2详解】
解：组频数为：，
补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数为：；
【小问3详解】
解：该校学生一周在家运动时长不足小时的人数约为：人，
答：估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数约为人．
【点睛】本题考查统计综合，涉及补全频数分布直方图及用样本估计总体，熟记相关统计指标的定义是解决问题的关键．
21. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为3，求平行四边形的面积．
【答案】（1）
（2）24
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
（1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出；
（2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积．
22. 聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？
【答案】（1）该市改造小区投入资金的年平均增长率为
（2）该市2024年最多可以改造个小区
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据“2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，每年投入资金的增长率相同”列出方程，即可求解；
（2）设该市在2024年可以改造个老旧小区，根据题意，列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
∵2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，每年投入资金的增长率相同，
∴，
解得：，（舍去），
答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为．
【小问2详解】
解：设该市在2024年可以改造个老旧小区，
根据题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴的最大值为，
答：该市2024年最多可以改造个小区
23. 如图，在中，，平分，平分的外角，垂足为F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）当四边形是正方形时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义可证，由三线合一可证，由垂线的定义可得，从而可证四边形是矩形；
（2）当四边形是正方形时，，由正方形的性质得，由角平分线的定义可求．
【小问1详解】
平分，平分的外角，
．
，
，即．
，AD平分，
，即
，
，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
当四边形是正方形时，．
正方形的对角线平分，
．
平分，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，矩形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握矩形的判定方法和正方形的性质是解答本题的关键．
24. 瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．
由题意知，，，，则，，证明，则，即，可求，同理，则，即，可求，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，，
同理，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴真身宝塔的高度为米．
25. 【项目学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，
∵，
∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1．
【问题解决】
（1）当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？
（2）如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；
（3）如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为
（2）当时，；当时，，理由见解析
（3）当时，长方形场地的面积最大，最大值为243
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用；
（1）先配方，再根据求解即可；
（2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，；
（3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可．
小问1详解】
解：，
∵，
∴，
∴当，即时，代数式有最小值，最小值为；
【小问2详解】
由题意得：，，
∴，
∵，
∴当时，，即，
∴；
当时，，即，
∴；
综上所述，当时，；当时，；
【小问3详解】
设长为米，长方形的面积为S平方米，则，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴当，即时，S有最大值，最大值为243．
26. 平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点．
（1）设，点在函数、的图象上．
①分别求函数、的表达式；
②直接写出使成立的x的范围；
（2）设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上．
【答案】（1）①，；②
（2）见解析
【解析】
【分析】①将代入，可求，则；当时，，即，，将，代入，计算求解可得，进而可得；
②由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围，当时，，可求，即的图象经过点，数形结合可求使成立的x的范围为；
（2）由，可得，由题意知，，则，，将代入得，，即，则，，由，正方形，可得，即，将代入可得，，即，将代入得，，进而可判断P一定在函数的图象上．
【小问1详解】
①解：将代入得，，
解得，，
∴；
当时，，即，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴，
∴，；
②解：由题意知，使成立x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围，
当时，，
解得，，
∴的图象经过点，
由图象可知，使成立的x的范围为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
由题意知，，则，，
将代入得，，即，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
将代入可得，，
∴，
将代入得，，
∴函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质等知识．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质是解题的关键．
27. 矩形中，，（），点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F．
【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：；
【类比探究】（2）如图（2），当时，
①求的值（用含k的代数式表示）．
②连接交于点H，连接，若，求k的值．
【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接、，若时，，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）①；②；（3）；
【解析】
【分析】（1）由“”可证，即可求解；
（2）①在上截取，连接，证明，即可求解；
②根据①中的证明方法解答即可；
（3）由“”可证，可得，，由“AAS”可证，可证，由（2）①知，则得是中位线，由的长即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①在上截取，连接，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，E是边的中点，
∴，，
∴，
∴；
②如图，设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长、交于Q，
当时，设，则，
∴，则，
∵，，
∴是等腰直角三角形
∴，
作交的延长线于点M，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作交于N，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
1．答题前，考生务必将姓名、学校、考场号、座位号、考试号填涂在答题卷相应位置上．
2．答题必须用0.5mm黑色墨水字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题．
3．考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 文明城市人人创建，文明成果人人共享．在德阳市高质量建设全国文明城市的过程中，为了解某学校八年级1200名学生对文明知识的了解情况，学校组织了相关知识测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A. 该学校八年级每名学生的文明知识测试成绩是个体
B. 1200名学生是总体
C. 样本容量是1200
D. 被抽取的100名学生是样本
2. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 图象分布在一、三象限
B. y随x的增大而减小
C 图象与坐标轴无交点
D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上
3. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B. 把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有两个球是必然事件
C. 为了呈现某个月的气温变化情况，应选择的统计图为扇形统计图
D. 从一副扑克牌中任意抽取1张，摸到的牌是“A”的可能性比摸到的牌是“红桃”可能性小
4. 某服装店营业员在卖T恤衫时发现，当T恤以每件元销售时，每天销售是件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件，已知该体恤衫进价是每件元，设每件T恤降低元，如果服装店一天能赢利元，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似和，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知满足，则的值是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
7. 如图，菱形的对角线，交于点P，且过原点O，轴，点C的坐标为，反比例函数的图像经过A，P两点，则k的值是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
8. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②③C. ①②D. ①③
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 关于一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．
10. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围__________.
11. 有四张不透明卡片，分别写有实数，，，，除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是____________．
12. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．
13. 如图，，是的两条中线，连接． 若，则_____________．
14. 如图，在中，，，D为边上一点，且，E为上一点，若，则的长为______．
15. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为4，则的值是__________．
16. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为_____．
三、解答题（本大题共11小题，共68分）
17 解方程：
（1）．
（2）．
18. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
19. 如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知．
（1）求证：；
（2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积．
20. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（，其中每周运动时间不少于小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了______ 名学生；
（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若该校有学生人，试估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数．
21. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为3，求平行四边形的面积．
22. 聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？
23. 如图，在中，，平分，平分的外角，垂足为F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）当四边形是正方形时，求的度数．
24. 瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度．
25. 【项目学习】
把一个二次式通过添项或拆项方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，
∵，
∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1．
【问题解决】
（1）当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？
（2）如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；
（3）如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？
26. 平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点．
（1）设，点在函数、的图象上．
①分别求函数、的表达式；
②直接写出使成立的x的范围；
（2）设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上．
27. 矩形中，，（），点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F．
【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：；
类比探究】（2）如图（2），当时，
①求的值（用含k的代数式表示）．
②连接交于点H，连接，若，求k的值．
【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接、，若时，，求的长．
答案与解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 文明城市人人创建，文明成果人人共享．在德阳市高质量建设全国文明城市的过程中，为了解某学校八年级1200名学生对文明知识的了解情况，学校组织了相关知识测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A. 该学校八年级每名学生的文明知识测试成绩是个体
B. 1200名学生是总体
C. 样本容量是1200
D. 被抽取的100名学生是样本
【答案】A
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此判断即可得出答案．
【详解】解：A、该学校八年级每名学生的文明知识测试成绩是个体，故选项正确，符合题意；
B、1200名学生的文明知识测试成绩是总体，故选项错误，不符合题意；
C、100是样本容量，故选项错误，不符合题意；
D、被抽取的100名学生的文明知识测试成绩是总体的一个样本，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
2. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 图象分布在一、三象限
B. y随x的增大而减小
C. 图象与坐标轴无交点
D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴图象分布在一、三象限，在每一个象限内，随着增大而减小，
∵，
∴图象与坐标轴没有交点，
若点在它的图象上，则：，
∴点也在它的图象上；
综上，错误的选项B．
故选B．
3. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B. 把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有两个球必然事件
C. 为了呈现某个月的气温变化情况，应选择的统计图为扇形统计图
D. 从一副扑克牌中任意抽取1张，摸到的牌是“A”的可能性比摸到的牌是“红桃”可能性小
【答案】C
【解析】
【分析】根据必然事件和随机事件的定义、统计图的选择以及可能性大小的定义逐项排除即可．
【详解】解： A、抛掷一枚质量均匀硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，故A选项不合题意；B、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有两个球是必然事件，故B选项不合题意；C、为了呈现某个月的气温变化情况，应选择的统计图为折线统计图，故C选项符合题意；D、从一副扑克牌中任意抽取1张，摸到的牌是"A"的可能性比摸到的牌是“红桃"可能性小，故D选项不合题意．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了必然事件和随机事件的定义、统计图的选择以及可能性大小的定义等知识点，正确理解相关定义是解答本题的关键．
4. 某服装店营业员在卖T恤衫时发现，当T恤以每件元销售时，每天销售是件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件，已知该体恤衫进价是每件元，设每件T恤降低元，如果服装店一天能赢利元，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设每件应降价x元，每天可以多销售的数量为件，每件的利润为，由总利润每件的利润数量建立方程求出其解即可．
【详解】解：由题意，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出每件的利润和销售的数量．
5. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似和，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵、，，、，，
∴，
∴，而，
∴，
∴．
故选：D．
6. 已知满足，则的值是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将配方成，求出a，b，c的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
7. 如图，菱形的对角线，交于点P，且过原点O，轴，点C的坐标为，反比例函数的图像经过A，P两点，则k的值是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解决本题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质等，属于基础综合题型，难度适中．
先根据反比例函数的对称性和菱形的性质得到，进而求得点坐标即可求解．
【详解】解：∵菱形的对角线交于点，
，
∵反比例函数的图象经过两点，
∴，则，
过点、分别作轴，轴，垂足为，则，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴点坐标为，
∴，
故选：A．
8. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②③C. ①②D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到，于是得到，证得，于是得到，故①正确．②由于，推出，得到故②错误；③由于，推出，得到，等量代换得到，故③正确．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
在正方形中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出及的长．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴，
∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的两个解分别为，，则，，是解本题的关键．
10. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围__________.
【答案】m<1
【解析】
【分析】
【详解】本题考查反比例函数性质
根据反比例函数的单调性
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小
因此由题意可知<1即m＜1，故填m＜1
11. 有四张不透明卡片，分别写有实数，，，，除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是____________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】此题主要考查了概率的计算，关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
用无理数的个数除以总数即为所求的概率．
【详解】有四张不透明卡片，分别写有实数，，，，
其中无理数为，有两个，
则从中随机抽取一张卡片，抽到无理数的概率是．
故答案为：．
12. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质以及平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平行四边形的性质．
13. 如图，，是的两条中线，连接． 若，则_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键，根据三角形的中位线定理可知，，，故，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出答案．
【详解】，是的两条中线，
是的中位线，
，，
，
，
，
．
故答案为：3．
14. 如图，在中，，，D为边上一点，且，E为上一点，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，由等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：过点作，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即：，
∴．
故答案为：．
15. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为4，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
【详解】解：连接，轴，
，
∴，
而，
，
，
．
故答案为：
．
16. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过G作GN⊥AB于N，先证明△ABE∽△GNH，再根据相似三角形对应边成比例的性质得到，利用勾股定理解得AE＝，GH＝，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，继而证明当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，在Rt△GHM中，利用勾股定理解得HM的值即可解题．
【详解】解：如图所示，过G作GN⊥AB于N，则∠ANG＝90°，GN＝AD＝2，
∵GH⊥AE，
∴∠ANG＝∠AFG＝90°，
∴∠BAE＝∠NGH，
∴△ABE∽△GNH，
∴，
∵Rt△ABE中，AE＝，
∴，
∴GH＝，
如图所示，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，则AG＝ME，GM＝AE＝，∠HGM＝∠AFG＝90°，
∴AG+HE＝ME+HE，
当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，
此时，Rt△GHM中，HM＝，
∴EH+AG的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（本大题共11小题，共68分）
17. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程两边乘以得到，由于整式方程没有实数解，所以原方程没有实数解．
【小问1详解】
解：．
提公因式得：，
即或，
所以；
【小问2详解】
解：，
去分母，得，
整理得：，
配方得：，
即，
所以方程没有实数解．
故原方程无解
18. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
试题解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．
19. 如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知．
（1）求证：；
（2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）由，可得，由，，即，可证．
（2）由（1）知，则，即，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴，即，
解得，，
答：水果园的面积为．
20. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（，其中每周运动时间不少于小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了______ 名学生；
（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若该校有学生人，试估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数．
【答案】（1）120 （2）见解析，
（3）700人
【解析】
【分析】）（1）根据条形统计图与扇形统计图中数据关联， 有36人，占比为，从而得到这次抽样调查的总人数；
（2）计算出C组的人数，即可补全频数分布直方图；
（3）由样本估计总体，列式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：组人，占比，
在这次抽样调查中，共调查了名，
故答案为：；
【小问2详解】
解：组频数为：，
补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数为：；
【小问3详解】
解：该校学生一周在家运动时长不足小时的人数约为：人，
答：估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数约为人．
【点睛】本题考查统计综合，涉及补全频数分布直方图及用样本估计总体，熟记相关统计指标的定义是解决问题的关键．
21. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为3，求平行四边形的面积．
【答案】（1）
（2）24
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
（1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出；
（2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积．
22. 聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？
【答案】（1）该市改造小区投入资金的年平均增长率为
（2）该市2024年最多可以改造个小区
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据“2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，每年投入资金的增长率相同”列出方程，即可求解；
（2）设该市在2024年可以改造个老旧小区，根据题意，列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
∵2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，每年投入资金的增长率相同，
∴，
解得：，（舍去），
答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为．
【小问2详解】
解：设该市在2024年可以改造个老旧小区，
根据题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴的最大值为，
答：该市2024年最多可以改造个小区
23. 如图，在中，，平分，平分的外角，垂足为F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）当四边形是正方形时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义可证，由三线合一可证，由垂线的定义可得，从而可证四边形是矩形；
（2）当四边形是正方形时，，由正方形的性质得，由角平分线的定义可求．
【小问1详解】
平分，平分的外角，
．
，
，即．
，AD平分，
，即
，
，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
当四边形是正方形时，．
正方形的对角线平分，
．
平分，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，矩形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握矩形的判定方法和正方形的性质是解答本题的关键．
24. 瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．
由题意知，，，，则，，证明，则，即，可求，同理，则，即，可求，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，，
同理，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴真身宝塔的高度为米．
25. 【项目学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，
∵，
∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1．
【问题解决】
（1）当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？
（2）如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；
（3）如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为
（2）当时，；当时，，理由见解析
（3）当时，长方形场地的面积最大，最大值为243
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用；
（1）先配方，再根据求解即可；
（2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，；
（3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可．
小问1详解】
解：，
∵，
∴，
∴当，即时，代数式有最小值，最小值为；
【小问2详解】
由题意得：，，
∴，
∵，
∴当时，，即，
∴；
当时，，即，
∴；
综上所述，当时，；当时，；
【小问3详解】
设长为米，长方形的面积为S平方米，则，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴当，即时，S有最大值，最大值为243．
26. 平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点．
（1）设，点在函数、的图象上．
①分别求函数、的表达式；
②直接写出使成立的x的范围；
（2）设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上．
【答案】（1）①，；②
（2）见解析
【解析】
【分析】①将代入，可求，则；当时，，即，，将，代入，计算求解可得，进而可得；
②由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围，当时，，可求，即的图象经过点，数形结合可求使成立的x的范围为；
（2）由，可得，由题意知，，则，，将代入得，，即，则，，由，正方形，可得，即，将代入可得，，即，将代入得，，进而可判断P一定在函数的图象上．
【小问1详解】
①解：将代入得，，
解得，，
∴；
当时，，即，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴，
∴，；
②解：由题意知，使成立x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围，
当时，，
解得，，
∴的图象经过点，
由图象可知，使成立的x的范围为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
由题意知，，则，，
将代入得，，即，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
将代入可得，，
∴，
将代入得，，
∴函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质等知识．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质是解题的关键．
27. 矩形中，，（），点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F．
【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：；
【类比探究】（2）如图（2），当时，
①求的值（用含k的代数式表示）．
②连接交于点H，连接，若，求k的值．
【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接、，若时，，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）①；②；（3）；
【解析】
【分析】（1）由“”可证，即可求解；
（2）①在上截取，连接，证明，即可求解；
②根据①中的证明方法解答即可；
（3）由“”可证，可得，，由“AAS”可证，可证，由（2）①知，则得是中位线，由的长即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①在上截取，连接，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，E是边的中点，
∴，，
∴，
∴；
②如图，设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长、交于Q，
当时，设，则，
∴，则，
∵，，
∴是等腰直角三角形
∴，
作交的延长线于点M，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作交于N，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
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