2022~2023学年江苏省苏州市立达中学校八年级上学期期中数学试卷（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省苏州市立达中学校八年级上学期期中数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在实数3.14159，−227、0、 9、π、327、0.101中，无理数的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.下列计算正确的是( )
A. 16=±4B. ± 9=3C. − 32=−3D. −32=−3
4.已知▵ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断▵ABC是直角三角形的是( )
A. c2=a2−b2B. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C. a=7，b=24，c=25D. ∠A=∠B−∠C
5.已知等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长为( )
A. 11B. 7C. 15D. 15或7
6.苏州素有“园林之城”美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲．如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰▵ABC，其中AB=AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明AD是▵ABC角平分线的是
( )
A. 点D到AB，AC的距离相等B. ∠ADB=∠ADC
C. BD=CDD. AD=12BC
7.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是
( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
8.如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长DF为8m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为
( )
A. 2mB. 2 5mC. 4mD. 4 2m
9.将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块(厚度忽略不计)进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为17，则图乙中BC的长为
( )
A. 2 17+2B. 17+4C. 2 17+4D. 17+2
10.如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90∘，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG=EG；②BC=2AG；③AH=AG；④SΔABC=SΔADE，其中正确的结论为( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.14的平方根是 ．
12. 5在整数a和a+1之间，则a= ．
13.等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角度数是 ．
14.已知实数x，y满足3+x+ y−2=0，则代数式x+y2022的值为 ．
15.如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC=1.连接AC，在AC上截取CD=BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是 ．
16.如图，点E是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF的两条角平分线的交点，过点E作MN/​/BC，交AB于点M，交AC于点N，若BM−CN=6，则线段MN的长度为 ．
17.如图，在RtΔABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，D、E分别是AB和CB边上的点，把ΔBDE沿着直线DE折叠，若点B落在边AC上，则CE的取值的范围是 ．
18.如图，在等边△ABC中，AB=2，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF、CF，则FB+FD的最小值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算： 4+3−27− −22
20.求下列各式中x的值：
(1)4x2−81=0；
(2)x−13=−125．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
已知：x−2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
22.(本小题8分)
如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中(每个小正方形的边长为1)，▵ABC的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．
(1)画出▵ABC关于直线n对称的▵A′B′C′；
(2)在直线m上作出点P，使得▵APB的周长最小；(保留作图痕迹)
(3)在(2)的条件下，图中▵APB的面积为 .(请直接写出结果)
23.(本小题8分)
“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M(B,C,M在同一条直线上)，为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米．
(1)判断△ACM的形状，并说明理由；
(2)求公路AB的长．
24.(本小题8分)
如图，在▵ABC和▵ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90∘，且点D在线段BC上，连CE．
(1)求证：▵ABD≌▵ACE；
(2)若∠EAC=60∘，求∠CED的 度数．
25.(本小题8分)
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
(1)如图1，三角形内角分别为80∘、 25∘、 75∘，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各底角的度数；
(2)如图2，ΔABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D.求证：AD是ΔABC的一条双腰分割线；
(3)如图3，已知ΔABC中，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．
①若∠B=64∘，求∠C的 度数；
②若AB=3，AC=5，求BC的长．
26.(本小题8分)
如图，在ΔABC中，∠ACB=90∘，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒t>0．
(1)若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上(点A除外)，求t的值；
(3)若点Q为AB中点，在点P运动的过程中，当∠PCQ=∠PQC时，则t的值为 .(请直接写出结果)
27.(本小题8分)
如图，在ΔABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上，DF⊥DE，连接EF．
(1)如图1，当点E与点B重合时，求EF的长；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2+BE2=EF2；
(3)若EC=2，求线段CF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，故选项正确；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解： ∵ 9=3,327=3 ，
∴ 在以上实数中，无理数有： π ；
故无理数的个数为：1个；
故选：A．
无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，根据无理数与有理数的概念即可判断得解．
此题主要考查了无理数的概念，熟练掌握无理数与有理数的概念是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 16=4 ，故此选项错误，不符合题意；
B、 ± 9=±3 ，故此选项错误，不符合题意；
C、 − 32=−3 ，故此选项正确，符合题意；
D、 −32=3 ，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据平方根的性质：一个正数的平方根的平方等于这个数；一个正(负)数的平方的正平方根等于这个数(这个数的相反数).一一进行计算与判断即可．
此题考查了平方根的性质，熟练掌握并运用平方根的性质是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.∵ c2=a2−b2 ，
∴ b2+c2=a2 ，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵ ∠A:∠B:∠C=3:4:5
设 ∠A=3x ，则 ∠B=4x ， ∠C=5x ，
∵ ∠A+∠B+∠C=180∘ ，
∴ 3x+4x+5x=180∘ ，解得 x=15∘ ，
∴ ∠C=5×15∘=75∘ ，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C.∵ 72+242=252 ，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵ ∠A=∠B−∠C ，
∴ ∠B=∠A+∠C ，
∵ ∠A+∠B+∠C=180∘ ，
∴ ∠B=90∘ ，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形就是直角三角形．可判断A、C选项；根据三角形内角和定理可判断B、D选项．
本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：当腰长为7时，底边长为 29−2×7=15 ，
∵ 7+7=14<15 ，
∴7，7，15不能构成三角形，此情况不存在；
当底边长为7时，腰长为 29−7÷2=11 ，此时三角形的三边长为7，11，11，能构成三角形；
综上，该等腰三角形的底边长为7．
故选：B．
分腰长为7和底边长为7两种情况，分别求出其余边长后，根据三角形三边关系定理判断即可．
本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.∵点D到AB、AC的距离相等，
∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；
B.∵∠ADB=∠ADC，∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；
C.∵BD=CD，AB=AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；
D.AD= 12 BC不能推出AD是△ABC的角平分线，故本选项符合题意；
故选：D．
根据在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上即可判断选项A，根据等腰三角形的性质(三线合一)即可判断选项B、选项C，选项D．
本题考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质和角平分线的性质是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可知 OC=OD,MC=MD，
在 ▵OCM和▵ODM 中
OC=ODOM=OMMC=MD,
∴ ▵OCM≅▵ODM (SSS)，
∴ ∠COM=∠DOM，
∴ OM 就是 ∠AOB 的平分线．
故选：D
根据全等三角形的判定条件判断即可．
本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
8.【答案】A
【解析】解：由题意，得
∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m， DF = 8m ，
由勾股定理，得
FC= DF2+CD2= 82+42=4 5 ，
EC2= DE2+CD2 ，EC2= FE2−CF2 ，
∴ FE2−CF2 = DE2+CD2 ，
令DE=x，则EF=x+8，
∴ (x+8)2−(4 5)2=x2+16 ，
整理，得16x=32，
解得x=2．
故选：A．
根据勾股定理，求出FC= DF2+CD2=4 5 ，令DE=x，在Rt ▵CDE 中，EC2= DE2+CD2 ，在Rt ▵CFE 中，EC2= FE2−CF2 = DE2+CD2 ，代入求解即可．
本题考查利用勾股定理，根据勾股定理建立方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设小木块的长为x，则阴影部分正方形的边长为x−2，
由题意可得(x−2)2=17
解得：x=2+ 17 或x=2− 17 (不符合实际，舍去)
∴BC=2x= 2 17+4
故选C．
设小木块的长为x，则阴影部分正方形的边长为x−2，根据阴影部分的面积，即可求出x的值，从而求出BC的长．
此题考查的是算术平方根的应用和利用平方根解方程，解题关键是结合图形找出小木块的长、宽和阴影部分边长的关系．
10.【答案】B
【解析】【分析】①如图，过点 D,E 分别作 GH 的垂线交 HG 及 HG 的延长线于点 I,F ，证明 △EAF≌△ACH ， △DIA≌△AHB ， △DIG≌△EFG 即可得结论；②延长 BA 至 D′ ，使 AD′=BA ，连接 CD′ 证明 △DAE≌△D′AC ，取 D′C 的中点 G′ ，连接 AG′ 并延长至 M ，使得 AG′=G′M ，可得 △ADG=△AD′G′ ，证明 △AG′D′≌△MG′C ， △ABC≌△CMA ，则可得 BC=MA =2AG′ ，即 AG′=12BC ， AG=12BC ；③由①可知 AH = AI ，故 AG 不一定等于 AH ；④，由②可知， △DAE≌△D′AC ，则 S△DAE=S△D′AC ，由 AB=AD′ 可得 S△ABC=S△AD′C 即可得 S△ABC=S△ADE
【详解】解：①如图，过点 D,E 分别作 GH 的垂线交 HG 及 HG 的延长线于点 I,F ，
∵ AB=AD，AC=AE， ∠BAD=∠CAE=90∘ ，AH⊥BC
∴∠EFA=∠EAC=∠AHC=90∘
∴∠CAH+∠ACH=∠CAH+∠EAF
∴∠ACH=∠EAF
∴△EAF≌△ACH
同理可得 △DIA≌△AHB
∴DI=AH,EF=AH
∴DI=EF
∵DI⊥IG,EF⊥GF
∴∠DIG=∠EFG =90∘
又 ∠DGI=∠EGF
∴△DIG≌△EFG
∴DG=EG
故①正确
②如图，延长 BA 至 D′ ，使 AD′=BA ，连接 CD′
∵ ∠BAD=∠CAE=90∘
∴∠DAE+∠BAC=180∘
∵∠D′AC+∠BAC=180∘
∴∠D′AC=∠DAE
∵D′A=BA=AD ， AC=AE
∴△DAE≌△D′AC
如图，取 D′C 的中点 G′ ，连接 AG′ 并延长至 M ，使得 AG′=G′M ，
∵G 是 DE 的中点，
∵ △DAE≌△D′AC
∴∠ADG=∠AD′G′,AD=AD′,DG=12DE=12D′C=D′G′
∴ △ADG=△AD′G′
∴AG=AG′ ，
∵AG′=G′M,D′G=CG′,∠AG′D′=∠MG′C
∴△AG′D′≌△MG′C
∴AD′=MC ， ∠AD′G′=∠MCG′
∴BD′//MC
∴∠BAC=∠MCA
∵AD′=AB
∴AD=MC
又 AC=CA
∴△ABC≌△CMA
∴BC=MA =2AG′
∴AG′=12BC
∴AG=12BC
③如图，由①可知 AH = AI ，故 AG 不一定等于 AH
故③不正确
④如图，由②可知， △DAE≌△D′AC
∴S△DAE=S△D′AC
∵ AB=AD′
∴S△ABC=S△AD′C
∴S△ABC=S△ADE
故④正确
综上所述，故正确的有①②④
故选B
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
11.【答案】±12
【解析】∵( ±12 )2= 14 ，
∴ 14 的平方根是 ±12 ，即 ± 14=±12 ．
故答案为 ±12 ．
根据平方根的定义求解即可．
本题考查了平方根的定义，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么x叫做a的平方根，正数a的平方根记作 ± a .正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12.【答案】2
【解析】解：∵ 4<5<9 ，
∴ 2< 5<3 ，
∵ 5 在整数a和a+1之间，
∴ a=2 ．
故答案为：2
先估算出 2< 5<3 ，即可求解．
本题主要考查了无理数的估算，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
13.【答案】20°或80°．
【解析】解：如图所示，△ABC中，AB=AC，
有两种情况：
①当底角是80°时，此时底角∠B=∠C=80°，
则顶角 ∠A=180∘−∠B−∠C=20∘ ；
②顶角∠A=80°
∴这个等腰三角形的顶角为20°或80°．
故答案为：20°或80°．
有两种情况(顶角是80°和底角是80°时)，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，能正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
14.【答案】1
【解析】解： ∵ 3+x+ y−2=0 ， 3+x≥0, y−2≥0 ，
∴3+x=0,y−2=0 ，
∴x=−3,y=2 ，
∴x+y2022=(−3+2)2022=(−1)2022=1 ；
故答案为：1．
根据绝对值与算术平方根的非负性，求得 x,y 的值，然后代入代数式求值即可．
此题考查了绝对值与算术平方根的性质、代数式求值，熟练掌握绝对值与算术平方根的非负性是解答此题的关键．
15.【答案】 5−1
【解析】解：由题意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴ AC= AB2+BC2= 5 ，
∴ AD=AE=AC−CD= 5−1 ，
∴E表示的数为： 5−1 ，
故答案为： 5−1 ．
由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长．
本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
16.【答案】6
【解析】解： ∵ 点 E 是 ΔABC 的内角 ∠ABC 和外角 ∠ACF 的两条角平分线的交点，
∴∠ABE=∠CBE,∠ACE=∠FCE ，
∵MN//BC ，
∴∠CBE=∠MEB,∠FCE=∠MEC ，
∴∠ABE=∠MEB,∠ACE=∠MEC ，
∴MB=ME,NE=NC ，
∵ BM−CN=6 ，
∴ME−NE=6 即 MN=6 ；
故答案为：6．
根据角平分线的定义与平行线的性质，得出 ∠ABE=∠MEB,∠ACE=∠MEC ，再根据等腰三角形的性质得 MB=ME,NE=NC ，即可得解．
此题考查了角平分线的定义、平行线的性质与等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关性质与判定进行逻辑推理是解答此题的关键．
17.【答案】78≤CE≤2
【解析】解：①当点B 折叠后落在点C上时，此时 CE 最长为 CE=2 ，如图1所示；
②当点B 折叠后落在点A上时，此时 CE 最短，如图2所示；
∴EB=EA ，
设 CE=x ， BC=4 ，
∴ EB=EA=4−x ，
在 中， AC2+CE2=AE2 ，
∴32+x2=(4−x)2 ，
解得 x=78 ，
综上所述， 78≤x≤2 ；
故答案为： 78≤CE≤2 ．
分两种情况：①当点B 折叠后落在点C上时，此时 CE 最长为 CE=2 ，如图1所示；②当点B 折叠后落在点A上时，此时 CE 最短，如图2所示；分别计算求解即可得答案．
此题考查了图形的翻折、勾股定理，熟练掌握图形翻折的性质与勾股定理是解答此题的关键．
18.【答案】 3
【解析】【分析】先证 △BAE≌△BCF(SAS) ，推出 ∠BAE=∠BCF=30∘ ，作点D关于 CF 的对称点G，连接 CG、DG、BG 交 CF 于点 F′ ，连接 DF′ ，此时 BF′+DF′ 的值最小，最小值等于线段 BG 的长，根据勾股定理求解即可得出答案．
【详解】解： ∵△ABC 是等边三角形， AD⊥BC ，
∴∠BAD=12∠BAC=30∘ ，
∵△BEF 是等边三角形，
∴∠EBF=∠ABC=60∘ ， BE=BF ，
∴∠ABE=∠CBF ，
在 △BAE 和 △BCF 中，
∴BA=BC∠ABE=CBFBE=BF ，
∴△BAE≌△BCF(SAS) ，
∴∠BAE=∠BCF=30∘ ，
作点D关于 CF 的对称点G，连接 CG、DG、BG 交 CF 于点 F′ ，连接 DF′ ，
此时 BF′+DF′ 的值最小，最小值等于线段 BG 的长，
∵∠DCF=∠FCG=30∘ ，
∴∠DCG=60∘ ，
∵CD=CG=1 ，
∴△DCG 是等边三角形，
∴BD=CD=DG=1 ， ∠CDG=∠DGC=60∘ ，
∴∠DGB=∠DBG=12∠CDG=30∘ ，
∴∠BGC=∠BGD+∠DGC=90∘ ，
∴BG= BC2−CG2= 22−12= 3 ；
故 FB+FD 的最小值为： 3 ；
故答案为： 3 ．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质与判定、轴对称最短问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关的性质与判定、作适当的辅助线是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式 =2−3− 4
=2−3−2
=−3 ．

【解析】根据算术平方根，立方根的性质进行化简，再计算即可．
本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根和立方根的性质是解题的关键．
20.【答案】【小题1】
解： ∵ 4x2−81=0 ，
∴x2=814 ，
∴x=92 或 x=−92 ；
【小题2】
解： ∵ x−13=−125 ，
∴x−1=−5 ，
∴x=−4 ．

【解析】1. 先求得 x2 的值，然后利用平方根性质，进行开平方即可得解；
2. 先依据立方根的性质求得 x−1 的值，然后可得答案．
此题考查了平方根与立方根的性质，熟练掌握平方根与立方根的性质是解答此题的关键．
21.【答案】解：∵x−2的平方根是±2，
∴x−2=4，
∴x=6，
∵2x+y+7的立方根是3
∴2x+y+7=27
把x的值代入解得：
y=8，
∴x2+y2=36+64=100，
它的算术平方根为10．

【解析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x−2=4，2x+y+7=27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．
此题考查平方根，立方根的概念，解题关键在于掌握运算法则，难易程度适中．
22.【答案】【小题1】
解：如图1所示， ▵A′B′C′ 为所画；
【小题2】
解：如图2所示，先作点A关于直线 m 的对称点 A′′ ，连接 BA′′ 交直线 m 于点P，连接 AP ，
则点P即是所求点；
∵ 根据轴对称的性质， PA=PA′′ ，
∴ΔPAB 的周长 =AB+PB+PA=AB+PB+PA′′ ，
当 PB、PA′′ 共线时，即 PB+PA′′=BA′′ 时， ▵PAB 的周长最小；
故点P即为所求点；
【小题3】
2

【解析】1. 分别作出 A、B、C 三点关于直线 n 的对称点 A′、B′、C′ ，顺次连接而得 ▵A′B′C′ ；
2. 先作点A关于直线 m 的对称点 A′′ ，连接 BA′′ 与直线 m 的交点即是点P；
3.
解：根据题意可知点P恰好在格点上，
∴▵APB 的面积 =2×3−12×1×3−12×1×1−12×2×2
=6−32−12−2
=2 ；
故答案为： 2 ．
23.【答案】【小题1】
解：(1)△ACM是直角三角形，
理由是：在△ACM中，
∵AM2+CM2=122+52=169，
AC2=169，
∴AM2+CM2=AC2，
∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°；
【小题2】
设BC=AB=x千米，则BM=BC−CM=(x−5)千米，
在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x−5，AM=12，
由勾股定理得：AB2=BM2+AM2，
∴x2=(x−5)2+122，
解这个方程，得x=16.9，
答：原来的路线AB的长为16.9千米．

【解析】1. 根据勾股定理的逆定理进行解答即可；
2. 根据勾股定理进行解答即可．
24.【答案】【小题1】
证明：∵ ∠BAC=∠DAE=90∘ ，
∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC ，即 ∠BAD=∠CAE ．
在 ▵ABD 与 △ACE 中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，
∴ ▵ABD ≌ △ACE (SAS)；
【小题2】
解：由(1) ▵ABD≌▵ACE 得 ∠ACE=∠ABD ，
又∵ ▵ABC 和 ▵ADE 都是等腰直角三角形，
∴ ∠ACE=∠ABD=45∘ 且 ∠AED=45∘ ，
在 △ACE 中∵ ∠EAC=60∘ 且 ∠ACE=45∘
∴ ∠AEC=180∘− 60∘−45∘=75∘ ，
∴ ∠CED=∠AEC−∠AED=75∘−45∘=30∘ ．

【解析】1. 证出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE即可；
2. 先由全等三角形的性质得到 ∠ACE=∠ABD ，再由 ▵ABC 和 ▵ADE 都是等腰直角三角形，得到 ∠ACE=∠ABD=45∘ 且 ∠AED=45∘ ，利用三角形内角和定理求出∠AEC的度数，即可求出∠CED的度数．
25.【答案】【小题1】
解： AD 为 ΔABC 的双腰分割线，如图1所示．
【小题2】
证明： ∵ 线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 E ，交 BC 于点 D ，
∴DA=DC 即 ΔADC 为等腰三角形；
∴∠DAC=∠C ，
∵∠ADB=∠C+∠DAC ，
∴∠ADB=2∠C ，
∵ ∠B=2∠C ，
∴∠ADB=∠B ，
∴AB=AD 即 ΔADB 为等腰三角形；
故 AD 是 ΔABC 的一条双腰分割线；
【小题3】
解：① ∵ AB=AD ， ∠B=64∘ ，
∴∠ADB=∠B=64∘ ，
∴∠ADC=180∘−64∘=116∘ ，
又 ∵ AD 是三角形 ABC 的双腰分割线，
∴ΔADC 是等腰三角形，又 ∠ADC=116∘ ，
∴DA=DC ，
∴∠C=∠DAC=180∘−116∘2=32∘ ；
② ∵ AD 是三角形 ABC 的双腰分割线，且 AB=AD ， AB=3 ， AC=5 ，
∴ AB=AD=CD=3 ，
如图3所示，过点 A 作 AE⊥BC 于E，
∴BE=DE ，
设 BE=x ，则 EC=x+3 ，
在 中， AE2=AB2−BE2=32−x2 ，
在 中， AE2=AC2−EC2=52−(x+3)2 ，
∴32−x2=52−(x+3)2 ，
解得， x=76 ，
∴BC=2x+3=76×2+3=163 ．

【解析】1. 从三个顶点出发各作一条线段，根据等腰三角形性质以及“双腰三角形”判断是否符合要求即可得解；
2. )根据线段垂直平分线性质与等腰三角形的判定与性质即可证明；
3. 此题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、作图等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键．
①先根据已知求 ∠ADC=116∘ ，则可得 DA=DC ，即可得解；②过点 A 作 AE⊥BC 于E，设 BE=x ，则 EC=x+3 ，在 与 中，用勾股定理得 32−x2=52−(x+3)2 ，解方程即可得解．
26.【答案】【小题1】
解： ∵ 点 P 在 AC 上，运动时间为 t 秒， PA=PB ，如图1所示，
∴PA=PB=t ，
∵ ∠ACB=90∘ ， AB=10cm ， BC=6cm ，
∴AC= 102−62=8cm ，
∴ PC=8−t ，
在 中，由勾股定理，得 62+(8−t)2=t2 ，
∴t=254 (秒)；
故 t 的值为： 254 ；
【小题2】
解： ∵ 点 P 恰好在 ∠BAC 的角平分线上(点A除外)，
∴∠CAP=∠BAP ，
过点P作 PD⊥AB 于D，如图2所示，
∴PC=PD ， ∠C=∠PDA=90∘ ，
∴ΔPAC≌ΔPADAAS ，
∴AD=AC=8 ，
∴BD=AB−AD=2
∵PC+AC=t ，
∴PC=PD=t−8 ， PB=6−(t−8)=14−t ，
在 中， BP2=BD2+PD2 ，
∴(14−t)2=22+(t−8)2 ，
解得， t=323 (秒)
故 t 的值为： 323 ；
【小题3】
398 或 736 ．

【解析】1. 在 中，由勾股定理求解即可得解；
2. 过点P作 PD⊥AB 于D，利用三角形全等与角平分线的性质可求出 PB、PC ，然后利用勾股定理即可求出 t 的值；
3.
解：①当点P在线段 AC 上时，过点Q作 QE⊥AC 于E，如图 3−1 所示，
∵ 点 Q 为 AB 中点，
∴CQ=AQ=BQ=5 ，
∴AE=CE=4 ，又 AP=t ，
∴PE=|t−4|,QE=12BC=3 ，
当 ∠PCQ=∠PQC 时， PC=PQ=8−t ，
在 中， PQ2=QE2+PE2 ，
∴(8−t)2=32+(t−4)2 ，
∴t=398 (秒)；
②当点P在线段 BC 上时，过点Q作 QF⊥AC 于F，如图 3−2 所示，
同①知 BF=CF=12BC=3 ， QF=12AC=4 ，
∵PC=t−8 ，
∴PF=|t−11| ，
当 ∠PCQ=∠PQC 时， PC=PQ=t−8 ，
在 中， PQ2=QF2+PF2 ，
∴(t−8)2=42+(t−11)2 ，
∴t=736 (秒)；
综合①②知， t 的值为 398 或 736 ．
故答案为： 398 或 736 ．
分两种情况讨论：①当点P在线段 AC 上时，过点Q作 QE⊥AC 于E，如图 3−1 所示；②当点P在线段 BC 上时，过点Q作 QF⊥AC 于F，如图 3−2 所示；然后分别利用勾股定理求解 与 即可得解．
此题是关于直角三角形的综合题，主要考查了勾股定理、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关定理与性质、添加适当的辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
27.【答案】【小题1】
解：如图1， ∵ D 为 AB 中点， DF⊥DE ，
∴AF=EF ，
设 AF=EF=x ，则 CF=8−x ，
在 中，由勾股定理，得 (8−x)2+62=x2 ，
解得， x=254 ；
故 EF 的长为 254 ；
【小题2】
解：延长 ED 至 G 点，使 DE=DG ，连接 GA、GF ，如图2所示，
∵ DF⊥DE ， D 为 AB 中点，
∴EF=GF ， DB=DA ，
在 ΔDEB 和 ΔDGA 中，
DE=DG∠EDB=∠GDADB=DA ，
∴ΔDEB≌ΔDGA(SAS) ，
∴BE=AG,∠DBE=∠DAG ，
∵∠ACB=90∘ ，
∴∠CAB+∠ABC=90∘ ，
∴∠CAB+∠DAG=90∘ 即 ∠FAG=90∘ ，
在 中， AF2+AG2=GF2 ，
∴AF2+BE2=EF2 ；
【小题3】
解：①当E在线段 CB 上时，如图 3−1 所示，
由(2)中结论，当 EC=2 时， BE=AG=6−2=4 ，
设 CF=t ，则 AF=8−t ，
∵AF2+BE2=EF2 ，
∴(8−t)2+42=EF2=t2+22 ，
∴t=194 ；
②当点E在 BC 延长线上时，如图 3−2 所示，
同①理，可得 AG=BE=6+2=8 ，
∴(8−t)2+82=EF2=t2+22
∴t=314 ；
综上所述，线段 CF 的长为 194 或 314 ．

【解析】1. 由垂直平分线性质定理得 AF=EF ，然后在 中，由勾股定理即可求出 EF 的长；
2. 延长 ED 至 G 点，使 DE=DG ，连接 GA、GF ，先证 ΔDEB≌ΔDGA 得 BE=AG,∠DBE=∠DAG ，再证明 ∠FAG=90∘ ，然后由勾股定理得证；
3. 分两种情况讨论：①当E在线段 CB 上时，如图 3−1 所示；②当点E在 BC 延长线上时，如图 3−2 所示；然后由(2)中结论求解即可．
此题直角三角形的综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质并添加合适的辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．