第七章　§7.4　空间直线、平面的平行-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§7.4　空间直线、平面的平行
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.线面平行的判定定理和性质定理
______________
____________________
2.面面平行的判定定理和性质定理
___________________________
_______________________
1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.4.若α∥β，a⊂α，则a∥β.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面.(　　)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　　)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.(　　)
2.(多选)下列命题中，正确的是A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.平行于同一平面的两直线关系不确定D.两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
对于A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交， 故A错误；对于B，平行于同一平面的两个平面平行，故B正确；对于C，平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行、相交，也可以异面，故C正确；对于D，根据两个平面平行的性质定理，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面，故D正确.
3.(必修第二册P139T3改编)α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是A.若m∥n，n∥α，则m∥αB.若m∥α，n⊂α，则m∥nC.若α∥β，m⊂α，则m∥βD.若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故A不正确；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故B不正确；若α∥β，则α与β没有公共点，又因为m⊂α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故D不正确.
4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________.
∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.
命题点1　直线与平面平行的判定例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.
题型一　直线与平面平行的判定与性质
求证：BE∥平面PAD.
方法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA.由题意知EF为△PDC的中位线，
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD.
方法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
即B为HC的中点，又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.
方法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE，∵E为PC的中点，∴EH∥PD，又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.
命题点2　直线与平面平行的性质例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
跟踪训练1　如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：(1)DF∥平面PBE；
取PB的中点G，连接FG，EG，因为点F为PC的中点，
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE.
由(1)知DF∥平面PBE，又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.
例3　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
题型二　平面与平面平行的判定与性质
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.
由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1, 所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l.
由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
(1)证明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.
跟踪训练2　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).
(1)求证：BC∥GH；
∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.
例4　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝ ，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
题型三　平行关系的综合应用
如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.所以点F即为所求的点.
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.
由PB·BC＝PC·BE，
故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.
解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
跟踪训练3　(2023·马鞍山模拟)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是棱DD1，AB的中点.
如图所示，因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且平面ABB1A1∩平面PQC＝RQ，平面CDD1C1∩平面PQC＝PC，所以RQ∥PC，根据空间等角定理可知，
(2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值.
取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则BE∥RQ，又RQ⊂平面PCQ, BE⊄平面PCQ，则BE∥平面PCQ.又BM∥平面PCQ，BM，BE⊂平面BME，且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PCQ，设DD1∩平面BME＝F，连接EF，FM，
由平面BME∥平面PCQ，平面BME∩平面CDD1C1＝FM，平面PCQ∩平面CDD1C1＝PC，所以FM∥PC，又CM∥PF，则四边形CPFM为平行四边形，同理四边形PREF也是平行四边形，
一、单项选择题1.下列关于线、面的四个命题中不正确的是A.平行于同一平面的两个平面一定平行B.平行于同一直线的两条直线一定平行C.垂直于同一直线的两条直线一定平行D.垂直于同一平面的两条直线一定平行
垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面.本题可以以正方体为例证明.
2.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则A.EF∥PAB.EF∥PBC.EF∥PCD.以上均有可能
由线面平行的性质定理可知EF∥PB.
3.过四棱锥P－ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有A.4条　　　B.5条　　　C.6条　　　D.7条
如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为相应棱的中点，则NE∥PB，且NE⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，所以NE∥平面PBD，同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行，由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，所以与平面PBD平行的直线有6条.
4.(2023·衡水中学调研卷)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， 等于
连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，
又AD∥BC，E为AD的中点，
5.(2024·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则A.MF∥EBB.A1B1∥NEC.四边形MNEF为平行四边形D.四边形MNEF为梯形
由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，EB不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，NE不过点B1，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；
∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.
又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确.
6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是
如图，取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上.
所以当点P位于M，N点时，A1P最大，当点P位于MN的中点O时，A1P最小，
二、多项选择题7.(2023·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是
对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，∴AB∥OD，∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误.
8.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是A.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGH所在四边形的面积为定值C.棱A1D1始终与水面所在的平面平行D.当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
由题图，显然A正确，B错误；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，故C正确；因为水是定量的(定体积V)，
三、填空题9.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝_____.
10.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________.
因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形.又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四边形EFGH为矩形.
11.如图，空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是_______________________.
A，B，C1(答案不唯一)
由空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，可得平面ABC∥平面A1B1C1，当平面ABC1为平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时，又平面α∩平面ABC＝AB，所以由面面平行的性质定理可知m∥AB，所取的这3个点可以是A，B，C1.
12.如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确结论是________.①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF.
对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC，∵AF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AF∥平面BCD，故①正确；对于②，取DF的中点G，连接EG，CG，∵E是AD的中点，AF∥BC，AF＝BC，
∴四边形BCGE为梯形，∴直线BE与直线CG相交，∴BE与平面CDF相交，故②错误；对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，∵四边形ABCF是平行四边形，∴O是AC的中点，∴OE∥CD，∵OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF，∴CD∥平面BEF，故③正确.
四、解答题13.(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝ ，PB＝PC＝ ，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)求证：EF∥平面ADO；
又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点，于是EF∥PC，DO∥PC，所以EF∥DO，又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，所以EF∥平面ADO.
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积.
如图，连接DE，OF，过P作PM垂直于OF，交FO的延长线于点M，因为PB＝PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，
因为AB⊥BC，OF∥AB，所以OF⊥BC，又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF，
所以BC⊥平面POF，又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM，又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱锥P－ABC的高为PM，因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，
14.(2023·宁波模拟)如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点.(1)求证：GH∥BF；
连接BD，∵四边形ABCD为平行四边形，由题意可得，G是线段BD的中点，则G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH∥BF.
(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出点P的具体位置并证明；若不存在，说明理由.
存在，P是线段CD的中点，理由如下：由(1)可知，GH∥BF，GH⊂平面GHP，BF⊄平面GHP，∴BF∥平面GHP，连接PG，PH，∵P，H分别是线段CD，DF的中点，则HP∥CF，HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP，∴CF∥平面GHP，BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF，故平面GHP∥平面BCF.
15.(多选)如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点(不含端点)，将△ABE沿AE翻折，使得二面角B－AE－D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B－AECD，点F为线段BD上的动点(不含端点)，则在四棱锥B－AECD中，下列说法正确的有A.B，E，C，F四点不共面B.存在点F，使得CF∥平面BAEC.三棱锥B－ADC的体积为定值D.存在点E使得直线BE与直线CD垂直
对于A，因为点B在平面AECD外，点D在平面AECD内，直线EC在平面AECD内，直线EC不过点D，所以直线BD与EC是异面直线，即直线BF与EC是异面直线，所以B，E，C，F四点不共面，故A正确；对于B，如图，当点F为线段BD的中点，
取AB的中点G，连接GE，GF，则EC∥FG且EC＝FG，所以四边形ECFG为平行四边形，
所以FC∥EG，又因为EG⊂平面BAE，则直线CF与平面BAE平行，故B正确；对于C，在三棱锥B－ADC中，因为点E的移动会导致点B到平面ACD的距离发生变化，所以三棱锥B－ADC的体积不是定值，故C不正确；
对于D，过D作DH⊥AE于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE，若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH⊂平面AECD，
且DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，与△ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直，故D不正确.
16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，且点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，(1)若EP∥平面BDD1B1，则动点P的轨迹长度为_____；
如图，分别取BC，B1C1的中点F，G，连接EF，FG，EG，则四边形BFGB1为平行四边形，所以BB1∥FG，因为E为CD的中点，所以EF∥BD，
因为EF，FG⊄平面BDD1B1，BD，BB1⊂平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1，FG∥平面BDD1B1，
因为EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面BDD1B1，
因为平面EFG∩平面BCC1B1＝FG，且点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，EP∥平面BDD1B1，所以点P的轨迹是FG，因为FG＝BB1＝2，所以动点P的轨迹长度为2.
(2)若AP与AB的夹角为30°，则动点P的轨迹长度为______.