第四章　§4.4　简单的三角恒等变换-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§4.4　简单的三角恒等变换
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin 2α＝ .(2)公式C2α：cs 2α＝ ＝ ＝ .(3)公式T2α：tan 2α＝ .
2.半角公式(不要求记忆)
1.二倍角公式的变形公式
2.半角正切公式的有理化
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　)(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).(　　)(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.(　　)
2.(必修第一册P226T2改编)cs 15°等于
因为15°是第一象限角，所以cs 15°>0，
3.若角α满足sin α＋2cs α＝0，则tan 2α等于
由题意知，tan α＝－2，
题型一　三角函数式的化简
A.－sin 20° B.－cs 20°C.cs 20° D.sin 20°
＝cs 20°－sin 20°＋sin 20°＝cs 20°.
(2)化简：cs 20°cs 40°cs 80°＝ .
cs 20°cs 40°cs 80°
积化和差、和差化积公式在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算.
典例　化简下列各式.(1)sin 54°－sin 18°＝ ；
由和差化积公式可得，sin 54°－sin 18°＝2cs 36°·sin 18°
(2)cs 146°＋cs 94°＋2cs 47°cs 73°＝ .
由和差化积和积化和差公式可得，cs 146°＋cs 94°＋2cs 47°cs 73°
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
可得3cs2θ－4cs θ－4＝0，
所以原式＝－cs θ.
题型二　三角函数式的求值
所以sin(2α－β)＝sin 2αcs β－cs 2αsin β
因为α为锐角，所以0<2α<π.又cs 2α>0，
(1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.(2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
所以sin α＝sin 50°，又因为α为锐角，所以α＝50°.
题型三　三角恒等变换的综合应用
∴sin α≠0，∵(1－cs 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcs β，∴2sin2α(1＋sin β)＝2sin αcs αcs β，即sin α(1＋sin β)＝cs αcs β.∴sin α＝cs αcs β－sin αsin β＝cs(α＋β)，
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
A.c>a>b B.b>c>aC.c>b>a D.b>a>c
所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcs θ.
2.(2023·邢台模拟)1＋tan 22.5°等于
得2tan 22.5°＝1－tan222.5°，所以(tan 22.5°＋1)2＝2，又tan 22.5°>0，
4.(2023·连云港模拟)已知2cs(2α＋β)－3cs β＝0，则tan αtan(α＋β)等于
2cs(2α＋β)＝3cs β，则2cs(α＋β＋α)＝3cs(α＋β－α)，则2cs(α＋β)cs α－2sin(α＋β)sin α＝3cs(α＋β)cs α＋3sin(α＋β)sin α，即－5sin(α＋β)sin α＝cs(α＋β)cs α，所以－5tan(α＋β)tan α＝1，
＝cs 2α＋2cs2α－sin2α＝cs2α－sin2α＋2cs2α－sin2α＝3cs2α－2sin2α
二、多项选择题7.下列计算结果正确的是
对于A，cs(－15°)＝cs 15°＝cs(45°－30°)
得sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝2，化简得2sin αcs α＝1，即sin 2α＝1，由2sin αcs α＝1，
整理得tan2α－2tan α＋1＝0，解得tan α＝1.
由两角差的正弦公式，可得
四、解答题13.化简并求值.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
15.(2023·临沂模拟)已知f(x)＝sin2x＋sin2(x＋α)＋sin2(x＋β)，其中α，β为参数，若对∀x∈R，f(x)恒为定值，则下列结论中正确的是
16.(2023·商洛模拟)已知tan(α＋15°)＝7tan(α－15°)，则sin(α－15°)cs(α＋15°)等于
由tan(α＋15°)＝7tan(α－15°)
⇒sin(α＋15°)cs(α－15°)＝7sin(α－15°)cs(α＋15°)，设A＝sin(α＋15°)cs(α－15°)，B＝cs(α＋15°)sin(α－15°)，则A＝7B，①