初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.2 由平行线截得的比例线段课后作业题

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1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，若ABBC=25，EF=10，则DE的长为( )
A．2B．4C．5D．10
【答案】B
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∵ABBC=25，EF=10，
∴DE=4，
故选：B．
2．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=4，则AC的长度为（ ）
A．2B．6C．3D．4
【答案】B
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC,
又∵AD=2，DB=1，AE=4，
∴21=4EC，
∴EC=2，
∴AC=AE+EC=4+2=6，
故选：B．
3．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若AB=4，BC=3，DF=9，则EF的长为（ ）
A．367B．277C．274D．12
【答案】B
【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF
∴43=9−EFEF,
解得EF=277，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD=3：1，BC=10，则CE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．103
【答案】B
【详解】解：过点D作DH∥AE，交BC于H，
则CHHE=CDDA=1，BEEH=BFFD=3，
∴BEEC=32，
∵BC=10，
∴CE=4，
故选：B．
5．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE=3DE， 则BD的长是（ ）
A．7.2B．8C．62D．36
【答案】D
【详解】解：过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥BM于点N，连接DM．
∴∠BMC=∠BND=90°，
∴CM∥DN．
∵BE=3DE，
∴BM=3MN．
∵AB=BC=6，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=6．
∵BM⊥AC，
∴CM=12AC=3．
∴BM=BC2−CM2=62−32=27=33．
∴MN=3．
∴BN=43．
∵∠ADC=90°，
∴DM=12AC=3．
∴DN=DM2−MN2=6．
∴BD=BN2+DN2=48+6=54=36．
故选：D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC、BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF=∠MFE，则AD的值为（ ）
A．4B．33C．32D．6
【答案】B
【详解】解：如图，
∵M为AO的中点，ME∥AB，MF∥OD，
∴OEBE=OMAM=1，AFFD=AMMO=1，
∴ME是△ABO的中位线，MF是△AOD的中位线，
∴AB=2ME，OD=2MF，
∵∠MEF=∠MFE，
∴ME=MF，
∴AB=OD=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=OB=OD=3，
∴BD=6，
∴AD=BD2−AB2=36−9=33，
故选：B．
7．如图，正方形ABCD中，AD=4，点P为AB上一个动点，将△PBC沿CP折叠得到△PCE，点B的对称点为点E，作射线AE交CD于点F，若点E恰好为AF的中点，则BP的长为（ ）
A．23B．433C．3D．72
【答案】B
【详解】解：作EH⊥CB于点H，连接BE
∵四边形ABCD是正方形，AD=4，
∴CB=AD=4，DC∥AB，∠EHC=∠ABC=90°，
∴EH∥AB，
∴DC∥EH∥AB，而点E为AF的中点，
∴ CHBH=FEAE=1，
∴CH=BH，
∴EH垂直平分BC，
∴CE=BE，
由折叠得CE=CB，
∴CE=BE=CG，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵翻折，
∴∠PCB=∠PCE=12∠BCE=30°，∠CEP=∠ABC=90°，
∴CP=2BP，
∴CB=CP2−BP2=(2BP)2−BP2=3BP=4，
∴BP=433，
故选：B．
8．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC交于点F，则FCAC的值为（ ）

A．12B．13C．34D．43
【答案】C
【详解】过点D作DG∥AC, 交EB于点G, 连接AD, 如图所示:

∵D为BC中点,DG∥AC,
∴G为AB的中点,∠EAC=∠DGE,
∴DG是△ABC的中位线,
∴AC=2DG,
∵AB=AC,ED=EC,
∴∠B=∠ACB,∠EDC=∠ECD,
∵∠EDC=∠B+∠DEG,∠ECD=∠ACB+∠ACE,
∴∠ACE=∠DEG,
在△ACE和△GED中,
∠EAC=∠DGE∠ACE=∠DEGEC=ED，
∴△ACE≌△GED(AAS),
∴AE=DG,
∵AB=AC, D为BC中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴DG=12AB=AG=BG，
∴ AE=AG,
∵DG∥AC,
∴AF:DG=AE:GE=1:2,即DG=2AF,
∴AC=4AF,
∴EF=AC−AF=3AF,
∴EFAC=34，
故选:C.
9．在△ABC中，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC，交直线AC于点E，若AB=3，BD=2，则AECE的值是 ．
【答案】12/0.5
【详解】解：∵AB=3，BD=2，
∴AD=AB−BD=3−2=1，
∵DE∥BC，
∴AECE=ADBD=12．
故答案为：12．
10．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE:EB=2:3，CD=6，那么DF的长等于 ．
【答案】185
【详解】解：∵AC∥EF∥BD，
∴AEEB=CFDF=23，
∴CF=23DF，
∵CD=CF+DF=6，
∴23DF+DF=6，
∴DF=185，
故答案为：185．
11．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF= ．

【答案】30°
【详解】解：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=12∠ACB=30°．
故答案为：30°．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD的中点，F是射线BE上一点（不与点B重合），且∠ADF=45°，则BF的长为 ．
【答案】853
【详解】解：如图，延长DF，BA，交点为Q，过点A作AP∥BF，交直线DF于点P，连接BD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=90°．
∴∠DAQ=90°，
∵∠ADF=45°，
∴∠Q=45°=∠ADQ，
∴AD=AQ=AB=4，
∴DQ=AD2+AQ2=42．
∵AP∥FB，AB=AQ，
∴QAAB=QPPF=1，
∴PQ=PF．
同理可证：F为DP的中点，
∴DF=FP=PQ=13DQ=423．
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC=∠BDA=45°，
∴∠BDF=90°．
又∵BD=CD2+BC2=42，
∴BF=FD2+BD2=853．
13．如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE∥CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF= ．
【答案】3
【详解】解：∵CD=CA，过点D作DE∥CB，CD=CA，DE=DC，
∴FAFE=CACD=1，CD=CA=DE，
∴AF=EF，
∴DE=CD=AC=2CF=2，
∴AD=AC+CD=4，
∵DE∥CB，
∴∠CFA=∠E，∠ACB=∠D，
∵∠CAB=∠CFA，
∴∠CAB=∠E，
∵CD=CA，DE=CD，
∴CA=DE，
∴△CAB≌△DEA，
∴BC=AD=4，
∴BF=BC−CF=3，
故答案为：3，
14．如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若BFGC=23，则ADAB= ．
【答案】22
【详解】解：过点G作GT⊥AD于点T，如图所示，

设AB=x，AD=y，
∵BFCG=23，
∴可以假设BF=2k，CG=3k，
∵点E为AD中点，
∴AE=DE=12y，
由翻折的性质可知：EA=EA′=12y，BF=FB′=2k，∠AEF=∠GEF，
∵AD∥CB，
∴∠AEF=∠EFG，
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG=y−5k，
∴GA′=12y−y−5k=5k−12y，
∵C、A′、B′共线，GA′∥FB′，
∴CGCF=GA′FB′，
∴3ky−2k=5k−12y2k，
∴y2−12ky+32k2=0，
∴y=8k或y=4k（舍去），
∴AE=DE=4k，
∵四边形CDTG是矩形，
∴CG=DT=3k，
∴ET=k，
∵EG=8k−5k=3k，
∴AB=CD=GT=3k2−k2=22k，
∴ADAB=8k22k=22，
故答案为：22．
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E为边AB上一点，AE=DE．

(1)求证：AC∥DE．
(2)若DE=2，BE=4，CD=32，求BC的长．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAE，
又∵AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AC∥DE；
（2）解：∵DE=AE=2，AC∥DE，
∴BDCD=BEAE=42，
∴BD=2CD=3，
∴BC=CD+BD=32+3=92．

16．如图，在△ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求EP:DP的值 ．
【详解】解： 如图，连接EF、DF，
则EPDP=S△CPES△CPD=S△FPES△FPD，
∵AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD，
∴ CEAC=34，CDBC=45，AFAB=23，BFAB=13，
∴ EPDP=S△CPE+S△FPES△CPD+S△FPD=S△CEFS△CDF=34S△ACF45S△BCF=34×23S△ABC45×13S△ABC=158．
17．如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AMMD=34，CM交AB于点P，DN∥CP．若AB=6cm，求PN的长．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵DN∥CP，
∴BNPN=BDDC=1，
∴BN=NP，
∵AMMD=34，DN∥PM，
∴APPN=AMMD=34，
∴PN=47AN，
∴PN=411AB，
∵AB=6cm，
∴PN=411AB=411×6=2411cm．
18．如图，一次函数y1=ax+b的图象与x轴交于点A4,0，与y轴交于点B0,8，与反比例函数y2=kx(x>0)的图象交于点C，D，且BC=3AC．

(1)求反比例函数y2=kx的表达式；
(2)求△OCD的面积；
(3)请直接写出在第一象限当y1>y2时，x的取值范围．
【详解】（1）解：将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
4a+b=0b=8，
解得a=−2b=8，
∴一次函数解析式为y1=−2x+8．
过点C作x轴的垂线，垂足为M，
则有CM∥OB，
∴OMAM=BCAC，
∵BC=3AC，
∴OM=3MA．
又∵OM+MA=4，
∴OM=3，
将x=3代入y1=−2x+8得，
y1=−2×3+8=2，
∴点C的坐标为3,2．
将点C坐标代入反比例函数解析式得，
k=3×2=6，
∴反比例函数的解析式为y2=6x；
（2）解：联立−2x+8=6x得，
x1=1，x2=3，
将x=1代入y1=−2x+8得，
y1=−2×1+8=6，
∴点D的坐标为1,6．
∴S△OCD=S△AOD−S△AOC=12×4×6−12×4×2=8；
（3）解：由函数图象可知，
当1y2时，x的取值范围是：1