新高考数学二轮复习热点2-1 函数的单调性 奇偶性 周期性与对称性（8题型+满分技巧+限时检测）（2份打包，原卷版+解析版）

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函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
【题型1 判断函数的单调性】
【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）下列函数中是偶函数且在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不是偶函数，不符题意；
对于B，因为幂函数满足 SKIPIF 1 < 0 ，
且其定义域为 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，符合题意；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不是偶函数，不符题意；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不是增函数，不符题意.故选：B.
【变式1-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
【答案】C
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故A错误，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故B错误；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故C正确；
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 不单调递减，故D错误.故选:C.
【变式1-2】（2023·海南海口·华侨中学校考二模）已知偶函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则函数 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为偶函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移2个单位长度得到，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间是 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是增函数 B． SKIPIF 1 < 0 是减函数
C． SKIPIF 1 < 0 是增函数 D． SKIPIF 1 < 0 是减函数
【答案】A
【解析】不妨令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是增函数．故选:A.
【变式1-4】（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域中满足 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】对于A，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A不是；
对于B，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，B不是；
对于C，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，C正确；
对于D，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D不是.故选：C
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【例2】（2023·四川南充·统考模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，只需要 SKIPIF 1 < 0 即可，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是二次函数，由二次函数的性质可得， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故不成立.
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件.故选：A.
【变式2-1】（2023·江苏淮安·高三校考阶段练习）使得“函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 1 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 0
【答案】D
【解析】由于函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减的充要条件为 SKIPIF 1 < 0 ，
那么其成立的一个充分不必要条件可以是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【变式2-2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 图像的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
而函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
【变式2-3】（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为对于 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 是增函数，
则函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为增函数，且有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
【变式2-4】（2023·甘肃白银·高三校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【题型3 函数的奇偶性及应用】
【例3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列函数是奇函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由于 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 不是奇函数，A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，不关于原点对称，
即 SKIPIF 1 < 0 不是奇函数，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，不关于原点对称，
即 SKIPIF 1 < 0 不是奇函数，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，D正确，故选：D
【变式3-1】（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 有意义，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
又 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式3-2】（2023·福建泉州·高三培元中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题意可得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （舍去），或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意知， SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【变式3-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若奇函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
【题型4 奇函数+常数求值】
【例4】（2023·四川达州·统考一模）函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【答案】0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，
定义域为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4-1】（2023·重庆九龙坡·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4-2】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4-3】（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值和最小值分别为M，N，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0 C．2 D．4
【答案】D
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 最大值和最小值分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
故 SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点对称，故 SKIPIF 1 < 0 ,故选：D
【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值之和为4，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为N，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的最大数值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值之和为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型5 函数的周期性及应用】
【例5】（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是函数 SKIPIF 1 < 0 是以4为周期的周期函数，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
【变式5-1】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】5
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 为偶函数得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
【变式5-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，函数周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【变式5-4】（2023·全国·模拟预测）已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数.
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
【题型6 函数的对称性及应用】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的图象的对称轴是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 轴 B． SKIPIF 1 < 0 轴 C．直线 SKIPIF 1 < 0 D．不能确定
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 轴．故选：B
【变式6-1】（2023·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上所有零点之和为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【答案】B
【解析】依题意函数 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的周期函数，
且函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称；
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由反比例函数性质知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，结合对称性和周期性作出函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象，
如图所示，
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象有8个交点，且交点关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上所有零点之和为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【变式6-2】（2023·陕西铜川·高三校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的所有实根之和为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【解析】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
在同一直角坐标系中画出 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个交点，
所以所有的实根之和为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称且为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称且为 SKIPIF 1 < 0 上增函数，
则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 取等号，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C．
【变式6-4】（2023·上海·高三闵行中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】不妨记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 是奇函数且关于坐标原点对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 两个函数均是以点 SKIPIF 1 < 0 为对称中心的函数，
所以三个交点其中一个必是点 SKIPIF 1 < 0 ，另外两个点关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
不妨记 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【题型7 利用函数的性质比较大小】
【例7】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，设 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
【变式7-1】（2023·广西·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0
则函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
且满足 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
又由函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是 SKIPIF 1 < 0 上单调递增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 为偶函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 均只有一条对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 只有一条对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
【变式7-3】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式7-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的单调函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的单调函数．
所以存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
如图所示作出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象，
因为它们互为反函数，则图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
由 SKIPIF 1 < 0 ，在图中作直线 SKIPIF 1 < 0 ，
则与 SKIPIF 1 < 0 的交点的横坐标依次为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是单调递增的，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
【题型8 利用函数的性质解不等式】
【例8】（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是偶函数， SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题意可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上，可得不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
【变式8-1】（2023·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
又当 SKIPIF 1 < 0 ，
由于函数 SKIPIF 1 < 0 均为单调递增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
【变式8-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，对任意正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取任意正数 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
结合函数单调性可以得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
【变式8-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则a的取值范围为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题易知， SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
又 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不恒成立，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上，a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题可得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 为偶函数可得，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数 B．奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数
C．偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数 D．奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，
且 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数；
且 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；故选：D
2．（2023·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 的单调减区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意，
则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ），
因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 在其定义域上单调递增，
所以复合后， SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
4．（2023·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，
可构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上： SKIPIF 1 < 0 .故选:A.
5．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，令 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为不等式 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
6．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-24 B．-12 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 为奇函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
7．（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【解析】因为定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
8．（2023·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且其图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
此图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
9．（2023·河北承德·高三双滦区实验中学校考阶段练习）（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是偶函数 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称且关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故C正确；
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，4是它的一个周期．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是偶函数，A正确；
对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故D错．故选：ABC．
10．（2023·山东·高三校联考阶段练习）（多选）已知函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的定义域均为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的周期为4 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】对A：由于 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称；
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ①，
而 SKIPIF 1 < 0 ②，将两式相加得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ③，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个周期，故A正确；
对B、C、D：由A项知令 SKIPIF 1 < 0 ，由③得 SKIPIF 1 < 0 ，由① SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，由②得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
由①令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ④，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由④令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；故选：ABD.
11．（2023·全国·高三专题练习）设定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】1010
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴函数 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ．
∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2023·上海浦东新·高三南汇中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，总有 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，总有 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
不等式 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
13．（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 且为奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，
依题意可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 为偶函数．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的解析式，并判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
综上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
15．（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的减函数；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）证明：函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，则
可证， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数.
（2）证明：在 SKIPIF 1 < 0 上任取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由题可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的减函数.
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
满分技巧
判断函数的单调性的四种方法
1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；
2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性；
3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性；
4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性。
满分技巧
利用单调性求参数的三种情况：
1、直接利用题意条件和单调性代入求参；
2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；
3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。
满分技巧
1、常见的奇函数与偶函数
（1） SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）为偶函数；
（2） SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）为奇函数；
（3） SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）为奇函数；
（4） SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）为奇函数；
（5） SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）为奇函数；
（6） SKIPIF 1 < 0 为偶函数；
（7） SKIPIF 1 < 0 为奇函数；
2、函数奇偶性的应用
（1）求函数值：将待求值利用就行转化为已知区间上的函数值求解；
（2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；
（3）求参数：利用待定系数法求解，根据 SKIPIF 1 < 0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值。
满分技巧
已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为常数），则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
满分技巧
（是不为0的常数）
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则；
（5）若，则； （6）若，则（）；
满分技巧
1、关于线对称：若函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，特别地，当a＝b＝0时，函数 SKIPIF 1 < 0 关于y轴对称，此时函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数．
2、关于点对称：若函数 SKIPIF 1 < 0 满足，则函数 SKIPIF 1 < 0 关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，此时函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
满分技巧
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。