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2024年黑龙江省大庆市中考数学试题（含答案）
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这是一份2024年黑龙江省大庆市中考数学试题（含答案），共21页。试卷主要包含了本试卷共8页、28题、120分，在同一平面直角坐标系中，函数等内容，欢迎下载使用。
数 学
考生注意：
1.本试卷共8页、28题、120分。考试时间120分钟，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号在试卷、答题卡相应位置填写清楚，将条形码准确粘贴在答题卡条形码区域内。
3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
5.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
6.保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1.下列各组数中，互为相反数的是
A.|-2024|和-2024 B.2024 和 12024
C.|-2024|和2024 D.-2024和 12024
2.人体内一种细胞的直径约为1.56微米, 相当于0.00000156米, 数字0.00000156用科学记数法表示为
×10⁻³ ×10⁻5 ×10 -6 D.15.6×10 -7
3.垃圾分类功在当代，利在千秋.下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
数学试题第1页(共8页)4.下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是
5.“铁人王进喜纪念馆” “龙凤湿地公园” “滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点.若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
6.下列说法正确的是
A.若 ba＞2, 则b＞2a
B.一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变
C.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D.若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
7.如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行、小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠. 量得∠1=∠2=59°； 小铁把纸带②沿GH折叠, 发现GD与GC重合, HF与HE重合, 且点 C. G、D在同一直线上, 点E、H、F也在同一直线上，则下列判断正确的是
A.纸带①、②的边线都平行
B.纸带①、②的边线都不平行
C.纸带①的边线平行。纸带②的边线不平行
D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
数学试题第2页(共8页)8.在同一平面直角坐标系中，函数. y=kx-kk≠0与 y=k|x|的大致图象为
9.小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏.下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是
A.小庆选出四个数字的方差等于4.25 B.小铁选出四个数字的方差等于2.5
C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D.小萌选出四个数字的极差等于4
10.如图, 在矩形 ABCD中, AB=10,BC=6,点 M是AB边的中点，点 N是AD边上任意一点，将线段 MN绕点 M顺时针旋转 90°.,点 N旋转到点 N',则 △MBN²周长的最小值为
A.15
B.5+55
C.10+52
D.18
二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11.3-8=____________¯.
12.若 a+1a=5,则 a2+1a2=__________¯.
13.如图所示.一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体积为 V₁.圆柱形盒子的容积为 V,. 则 V1V2=___________¯.(球体体积公式： V=43πr3.其中r为球体半径)
14.写出一个过点(1，1)且y的值随着x值增大而减小的函数表达式 .
15.不等式组 x＞x-22 5x-3＜9+x的整数解有 个.
数学试题第3页(共8页)16.如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形 ABC; 分别以点 A, B,C为圆心, 以 AB的长为半径作.BC, AC,A.三段弧所图成的图形就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是
17.如图①.直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 .
18.定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”. 例如:“倍值函数”y=3x+1, 其“倍值点”为(-1, -2). 下列说法不正确的序号为 .
①函数y=2x+4是“倍值函数”;
②函数 y=8x的图象上的“倍值点”是(2, 4)和(-2. -4);
③若关于x的函数 y=m-1x2+mx+14m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是 m＜43;
④若关于x的函数 y=x2+m-k+2x+n4-k2的图象上存在唯一的“倍值点”，且当-1≤m≤3时, n的最小值为k,则k的值为 -3-52,
数学试题第4页(共8页)三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。
19.(本题4分)求值: |3-2|-2024+π0+tan60∘.
20.(本题4分)先化简,再求值; 1+3x-3+x2-9x2-6x+9. 其中x=-2.
21.(本题5分)为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段(简称峰时)：7：00—23：00，用电低谷时段(简称谷时 )：23：00一次日 7：00、峰时电价比谷时电价高0.2 元/度.市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电.某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等.求该市谷时电价.
22.(本题6分)如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在 A 处测得桥头 C在南偏东 30°方向上，继续行驶1500米后到达 B处，测得桥头 C在南偏东( 60°方向上，桥头D在南偏东 45°方向上，求大桥 CD的长度.(结果精确到1米，参考数据： 3≈1.73)
数学试题第5页 (共8页)23.(本题7分)根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》，某中学开展了形式多样的国防教育培训活动.为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩(x分)用5级记分法呈现:“x＜60”记为1分.“60≤x＜70”记为2分,“70≤x＜80”记为3分,“80≤x＜90”记为4分,“90≤x≤100”记为5分、现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 度；②请补全第1小组得分条形统计图；
(2)a= , b= . c= ;
(3)已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分?
24.(本题7分) 如图, 在平行四边形ABCD中, AE, CF分别是. ∠BAD,∠BCD的平分线, 且点 E, F分别在边 BC, AD上.
(1)求证: 四边形 AECF是平行四边形;
(2)若∠ADC=60°, DF=2AF=2, 求 △CDF的面积.
数学试题第6页 (共8页)
平均数
中位数
众数
第1小组
3.9
4
a
第2小组
b
3.5
5
第3小组
3.25
c
3
25.(本题7分)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展、农副产品也随之畅销全国.某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天( (1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/千克). 当1≤x≤20时, y=kx+b; 当 20＜x≤30时, y=15.销量z(千克)与x的函数关系式为z=x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M(元).
(1) k= , b= ;
(2)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
(3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元?
26.(本题8分)如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A在x轴的正半轴上，点 B，C在第一象限，四边形 OABC是平行四边形，点 C在反比例函数 y=kx的图象上.点 C的横坐标为2.点 B的纵坐标为3.
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为 P₁x₁y₁,P₂x₂y₂,, 则 P₁P₂中点坐标为 x1+x22y1+y22.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点 D是AB边的中点，且在反比例函数 y=kx图象上，求平行四边形OABC的面积;
(3)如图3,将直线 l1:y=-34x向上平移6个单位得到直线 l₂.直线l₂与函数 y=kxx0)图象交于 M₁⋅M₂两点,点 P为 M₁M₂的中点.过点. M₁作 M1N⊥ l1于点 N.请直接写出 P点坐标和 M1NOP的值.
数学试题第7页(共8页)27.(本题9分)如图, △ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将 △ABC沿直线AB翻折到 △ABD,点 D在⊙O上. 连接 CD, 交 AB于点 E, 延长 BD, CA, 两线相交于点 P, 过点 A作⊙O的切线交 BP于点 G.
(1)求证: AC‖CD;
(2)求证: PA²=PC⋅PB;
(3) 若 sin∠APD=13,PC=6.求 tan∠AGB的值.
28.(本题9分)如图，已知二次函数. y=ax²+2x+c的图象与x轴交于A.B两点.A点坐标为 -10,与y轴交于点 C(0, 3) , 点 M为抛物线顶点, 点 E为AB中点.
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 BC上方的抛物线上存在点 Q，使得 ∠QCB=2∠ABC,，求点 Q的坐标；
(3)已知 D，F为抛物线上不与 A，B重合的相异两点.
①若点 F与点 C取合, Dm-12.且 m＞1,,求证: D、E、F三点共线;
②若直线 AD, BF交于点 P, 则无论 D, F在抛物线上如何运动. 只要 D, E, F三点共线， △AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由.
大庆市 2024 年初中学业水平考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1-5ACBBD 6-10DDCAB
二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11. -2. 12.3. 13. 43. 14. y=-x+2(答案不唯一). 15. 4.
16.9π2-932. 17. 48. 18. ①③④
三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。
19.解:原式 =2-3-1+3
=1.
20. 解: 原式 =x-3+3x-3÷x+3x-3x-32
=xx-3×x-3x+3
=xx+3,
当x=-2时,
原式 =-2-2+3=-2.
21.解:设该市谷时电价为x元/度,则该市峰时电价为 (x+0.2)元/度,根据题意得： 50x+0.2=30x,
解得: x=0.3,
经检验，x=0.3是所列方程的解，且符合题意.
答：该市谷时电价为0.3 元/度.
22. 解: 分别过点C和点 D作AB的垂线, 垂足分别为 M, N,
在 Rt△CBM中。
tan∠CBM=CBBU=3,
所以 CM=3BΠ,
在 Rt△ACM中,
tanA=CAI=33,
所以 3BM1500+BR=33,
则BM=750,
所 以CM= 7503 (米),
所以 DN=CM=7503(米).
在 Rt△DBN中,
tan∠DBN=DRBh=1,
所以 BN=DN=7503,
所以 MN=BN-BM=7503-750米.
则 CD=MN=7503-750=548(米).
故大桥 CD的长为548米.
23.解: (1) ①360°× (1-30%-15%-10%-40%)
=360°×5%
=18°,
故答案为: 18;
②第一小组中，得分为4分的人数为20-1-2-3-8=6 (人)，补全条形统计图如下：
(2)第一小组学生得分出现次数最多的是5分，共出现8次，因此第一小组学生成绩的众数是5分，即 a=5,
第二小组20名学生成绩的平均数为 1×5%+2×30%+3×15%+4×10%+5×40958+30%+158+10×408=3.5(分),即 b=3.5,将第三小组20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 3+32=3(分)，所以中位数是3分, 即c=3,
故答案为: 5, 3.5, 3;
34200×8+8+220+20+20=1260(名),
答：该校4200名学生中大约有1260名学生竞赛成绩不低于90分.
24. (1) 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC, ∠BAD=∠BCD,
∴∠AEB=∠DAE,
∵AE, CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线,
∴∠AEB=∠DAE=12∠BAD,∠BCF=12∠BCD,
∴∠AEB=∠BCF,
∴AE∥CF,
又∵AF∥CE,
∴四边形 AECF是平行四边形；
24. (2) 解: 如图, 过点 C作 CH⊥AD于点 H,
则∠CHD=90°,
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,
∴∠ADC,∠BCD=180°.
∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-60°=120°.
∵CF是∠BCD的平分线,
∴∠DCF=12∠BCD=12×120∘=60∘.
∴∠ADC=∠DCF=60°,
∴△CDF是等边三角形。
∴CD:DF=2,DH=12DF=1,
在 Rt△CHD中, 由勾股定理得: CH=cD2-DH2=22-12=3
S⋅Cr=12DF⋅CH=12×2×3=3,
由 (1) 得: 四边形 AECF是平行四边形,
∴CE=AF=12DF=12×2=1,
∵AD∥BC,
∴△DGF-△EGC.
⋅FGCG=DEC2=21,
∴FG=23CF,
S △GDF=23S△CDF=233.
25.
解:(1)由题意得, 10k+b=2015k+b=15,
∴k=-1b=30
故答案为: -1; 30.
(2) 由题意, 当1≤x≤20时, 由 (1) 得y=-x+30,
∴M=x+10-x+30=-x²+20x+300.
当20≤x≤30时, M=15 (x+10) =15x+150.
∴M=-x2+20x+3001≤x≤2015x+150(20＜x≤30)
(3) 由题意, 当1≤x≤20时, M=-x²+20x+500=-x-10²+400.
∵-1＜0,
∴当 x=10 时, M取最大值为400.
∴此时销售额不超过500 元.
当20＜x≤30时, 令M=15x+150＞500,
∴x＞2313.
∴共有7天销售额超过500元.
26.
解：(1)∵四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数 y=kx的图象上，点 C的横坐标为2.点 B
的纵坐标为3.
∴C(2, 3).
∵点C(2, 3) 在反比例函数. y=kx图象上，
∴k=6,
∴反比例函数解析式为 y=6x;
(2) 设点A坐标为(m, 0),
∵C(2, 3).
∴OC=22+32=13,
∵OABC是平行四边形,
∴AB=OC=13,
∵点 D是AB边的中点，点A的纵坐标为3，
∴点D的纵坐标为 32,
∵点D在反比例函数 y=6x图象上，
∴D432,
由中点坐标公式可得点 B坐标为(8-m，3)
∴AB²=8-m-m²+3²=13,
解得m=3或m=5(舍去),
∴SOABC=3×3=9.
(3) ∵将直线 l1:y=-34x向上平移6个单位得到直线l₂，
∴l₂解析式为 y=-34x+6,
设直线l₂与y轴交于点E、则E(0, 6),
如图3, 作OF⊥l₁交l₂于点F,
∴M₁N=OF,
在函数 y=-34x+6中， 当 y=0时, x=8.
∴G(8. 0),
∴OE=6, OG=8,
在 Rt△EOG中, 由勾股定理得 EG=0E2+OG2=62+82=10,由三角形面积公式可得: OE·OG=OF·EG,
∴OF=OE⋅OGEG-6×810=245,
∴M1N=OF=245,
列函数联立方程组得 y=6xy=-34x+6,解得
∴M14-226+322,M24+226-322,
∵点P为M₁M₂的中点,
∴P(4, 3),
∴OP=42+32=5,
∴M1NOP=2455=2425.
(1) 证明:∵将 △ABC沿直线AB 翻折到 △ABD,
27.
∴AB⊥CD.
∵AB为⊙O的直径, AG 是切线,
∴AG⊥AB,
∴AG∥CD:
(2) 证明: ∵AG 是切线,
∴AG⊥AB.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠DAB=∠GAD,
∵由折叠可得∠ABD=∠ABC,
∴∠CBD=2∠ABD,
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PAD=180° -∠CAD=∠DBC=2∠ABD,
∴∠PAG=∠PAD-∠GAD=2∠ABD--∠ABD=∠ABD.
又∵∠APG=∠BPA,
∴△APG∽△BPA,
∵APBP=PGPA.即 PA²=PG⋅PB;
(3) 解: ∴sin∠APD=ADAP=13,
设AD=a, 则AP=3a,
∴PD=AP2-AD2=22a
∴tan∠APD=ADPD=α22a=24,
∵由折叠可得AC=AD=a,
∴PC=Pl+AC=3a+a=4a
∵在 Rt△PCB中, tan∠CPB=CBPC=24,
∴BD=CB=24PC=2a'.
∵AD⊥BD,GA⊥AB,
∴∠AGB=90°-∠GAD=∠DAB,
∴tan∠AGB=tan∠DAB=BDAD=2aa=2.
28.
(1) 解: 将A(-1, 0), C(0, 3) 代入 y=ax²+2x+c,
得: a-2+c=0,c=3
解得： a=-1c=3
∴抛物线解析式为 y=-x²÷2x+3;
(2)解:对于 y=-x²+2x+3, 令 y=0,
-x²+2x+3=0,
解得： x₁=-1.x₂=3,
∴B (3, 0),
∴OB=OC=3,
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°,
∵∠QCB=2∠ABC,
∴∠QCB=90°,
如图所示，过点 C作 CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作( QG⊥y轴于点 G,
∴∠GCQ=90°-∠ABC=45°,
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∵CQ=QG,
设 Qq-q²+2q+3,则 G0-q²+2q+3,
∴CG=-q²+2q,GQ=q,
∴-q²+2q=q,
解得： q=0(舍去) 或q=1,
∴ọ(1, 4);
(3) ①证明: 点 F与点 C重合, 则F(0, 3).
∵点E为AB中点, A ( -1, 0), B (3, 0),
∴E (1, 0),
设直线EF 的解析式为y=kx+b(k≠0), 代入E(1, 0), F(0, 3),
∴k+b=0,b=3
解得： k=-3,b=3,
∴y=-3x+3,
联立 y=-x2+2x+3,y=-3x+3
解得： x=0y=3 ③ x=5y=-12,
∴D (5, - 12), 在直线EF上, 即D, E, F三点共线;
②解: 设D (x₁, y₁), F(x₂, y₂),
∵D, E, F三点共线, E(1, 0)
∴设DF的解析式y=k(x-1).
联立
消去y得， -x²+2-kx+3+k=0,
∴x₁+x₂=2-k, x|x₃=-3-k,
∵A(-1, 0), B(3, 0),
设直线AD解析式为y=k₁(x+1), 直线BF的解析式为y=k₂(x-3),
联立
解得： x=k1+3k2k2-k1y=4k1k2k2-k1
∴Pk1+3k2k2-k14k1k2k2-k1,
∴k1=y1x1+1=kx1-1x1+1,k2=y2x2-3=kx2-1x2-3,
∴k1k2=k2x1-1x2-1x1+1x2-3,k2-k1=kx2-1x2-3-kx1-1x1+1,
∴P在直线y=8上运动,
∴P到x轴的距离为定值8，
∵直线AD, BF交于点 P, 则无论D, F在抛物线上如何运动, 只要D, E, F 三点共线, △AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的.
∴△ABP的面积为 12AB×yp=12×4×8=16是定值.
数 学
考生注意：
1.本试卷共8页、28题、120分。考试时间120分钟，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号在试卷、答题卡相应位置填写清楚，将条形码准确粘贴在答题卡条形码区域内。
3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
5.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
6.保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1.下列各组数中，互为相反数的是
A.|-2024|和-2024 B.2024 和 12024
C.|-2024|和2024 D.-2024和 12024
2.人体内一种细胞的直径约为1.56微米, 相当于0.00000156米, 数字0.00000156用科学记数法表示为
×10⁻³ ×10⁻5 ×10 -6 D.15.6×10 -7
3.垃圾分类功在当代，利在千秋.下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
数学试题第1页(共8页)4.下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是
5.“铁人王进喜纪念馆” “龙凤湿地公园” “滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点.若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
6.下列说法正确的是
A.若 ba＞2, 则b＞2a
B.一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变
C.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D.若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
7.如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行、小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠. 量得∠1=∠2=59°； 小铁把纸带②沿GH折叠, 发现GD与GC重合, HF与HE重合, 且点 C. G、D在同一直线上, 点E、H、F也在同一直线上，则下列判断正确的是
A.纸带①、②的边线都平行
B.纸带①、②的边线都不平行
C.纸带①的边线平行。纸带②的边线不平行
D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
数学试题第2页(共8页)8.在同一平面直角坐标系中，函数. y=kx-kk≠0与 y=k|x|的大致图象为
9.小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏.下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是
A.小庆选出四个数字的方差等于4.25 B.小铁选出四个数字的方差等于2.5
C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D.小萌选出四个数字的极差等于4
10.如图, 在矩形 ABCD中, AB=10,BC=6,点 M是AB边的中点，点 N是AD边上任意一点，将线段 MN绕点 M顺时针旋转 90°.,点 N旋转到点 N',则 △MBN²周长的最小值为
A.15
B.5+55
C.10+52
D.18
二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11.3-8=____________¯.
12.若 a+1a=5,则 a2+1a2=__________¯.
13.如图所示.一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体积为 V₁.圆柱形盒子的容积为 V,. 则 V1V2=___________¯.(球体体积公式： V=43πr3.其中r为球体半径)
14.写出一个过点(1，1)且y的值随着x值增大而减小的函数表达式 .
15.不等式组 x＞x-22 5x-3＜9+x的整数解有 个.
数学试题第3页(共8页)16.如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形 ABC; 分别以点 A, B,C为圆心, 以 AB的长为半径作.BC, AC,A.三段弧所图成的图形就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是
17.如图①.直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 .
18.定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”. 例如:“倍值函数”y=3x+1, 其“倍值点”为(-1, -2). 下列说法不正确的序号为 .
①函数y=2x+4是“倍值函数”;
②函数 y=8x的图象上的“倍值点”是(2, 4)和(-2. -4);
③若关于x的函数 y=m-1x2+mx+14m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是 m＜43;
④若关于x的函数 y=x2+m-k+2x+n4-k2的图象上存在唯一的“倍值点”，且当-1≤m≤3时, n的最小值为k,则k的值为 -3-52,
数学试题第4页(共8页)三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。
19.(本题4分)求值: |3-2|-2024+π0+tan60∘.
20.(本题4分)先化简,再求值; 1+3x-3+x2-9x2-6x+9. 其中x=-2.
21.(本题5分)为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段(简称峰时)：7：00—23：00，用电低谷时段(简称谷时 )：23：00一次日 7：00、峰时电价比谷时电价高0.2 元/度.市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电.某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等.求该市谷时电价.
22.(本题6分)如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在 A 处测得桥头 C在南偏东 30°方向上，继续行驶1500米后到达 B处，测得桥头 C在南偏东( 60°方向上，桥头D在南偏东 45°方向上，求大桥 CD的长度.(结果精确到1米，参考数据： 3≈1.73)
数学试题第5页 (共8页)23.(本题7分)根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》，某中学开展了形式多样的国防教育培训活动.为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩(x分)用5级记分法呈现:“x＜60”记为1分.“60≤x＜70”记为2分,“70≤x＜80”记为3分,“80≤x＜90”记为4分,“90≤x≤100”记为5分、现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 度；②请补全第1小组得分条形统计图；
(2)a= , b= . c= ;
(3)已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分?
24.(本题7分) 如图, 在平行四边形ABCD中, AE, CF分别是. ∠BAD,∠BCD的平分线, 且点 E, F分别在边 BC, AD上.
(1)求证: 四边形 AECF是平行四边形;
(2)若∠ADC=60°, DF=2AF=2, 求 △CDF的面积.
数学试题第6页 (共8页)
平均数
中位数
众数
第1小组
3.9
4
a
第2小组
b
3.5
5
第3小组
3.25
c
3
25.(本题7分)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展、农副产品也随之畅销全国.某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天( (1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/千克). 当1≤x≤20时, y=kx+b; 当 20＜x≤30时, y=15.销量z(千克)与x的函数关系式为z=x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M(元).
(1) k= , b= ;
(2)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
(3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元?
26.(本题8分)如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A在x轴的正半轴上，点 B，C在第一象限，四边形 OABC是平行四边形，点 C在反比例函数 y=kx的图象上.点 C的横坐标为2.点 B的纵坐标为3.
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为 P₁x₁y₁,P₂x₂y₂,, 则 P₁P₂中点坐标为 x1+x22y1+y22.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点 D是AB边的中点，且在反比例函数 y=kx图象上，求平行四边形OABC的面积;
(3)如图3,将直线 l1:y=-34x向上平移6个单位得到直线 l₂.直线l₂与函数 y=kxx0)图象交于 M₁⋅M₂两点,点 P为 M₁M₂的中点.过点. M₁作 M1N⊥ l1于点 N.请直接写出 P点坐标和 M1NOP的值.
数学试题第7页(共8页)27.(本题9分)如图, △ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将 △ABC沿直线AB翻折到 △ABD,点 D在⊙O上. 连接 CD, 交 AB于点 E, 延长 BD, CA, 两线相交于点 P, 过点 A作⊙O的切线交 BP于点 G.
(1)求证: AC‖CD;
(2)求证: PA²=PC⋅PB;
(3) 若 sin∠APD=13,PC=6.求 tan∠AGB的值.
28.(本题9分)如图，已知二次函数. y=ax²+2x+c的图象与x轴交于A.B两点.A点坐标为 -10,与y轴交于点 C(0, 3) , 点 M为抛物线顶点, 点 E为AB中点.
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 BC上方的抛物线上存在点 Q，使得 ∠QCB=2∠ABC,，求点 Q的坐标；
(3)已知 D，F为抛物线上不与 A，B重合的相异两点.
①若点 F与点 C取合, Dm-12.且 m＞1,,求证: D、E、F三点共线;
②若直线 AD, BF交于点 P, 则无论 D, F在抛物线上如何运动. 只要 D, E, F三点共线， △AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由.
大庆市 2024 年初中学业水平考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1-5ACBBD 6-10DDCAB
二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11. -2. 12.3. 13. 43. 14. y=-x+2(答案不唯一). 15. 4.
16.9π2-932. 17. 48. 18. ①③④
三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。
19.解:原式 =2-3-1+3
=1.
20. 解: 原式 =x-3+3x-3÷x+3x-3x-32
=xx-3×x-3x+3
=xx+3,
当x=-2时,
原式 =-2-2+3=-2.
21.解:设该市谷时电价为x元/度,则该市峰时电价为 (x+0.2)元/度,根据题意得： 50x+0.2=30x,
解得: x=0.3,
经检验，x=0.3是所列方程的解，且符合题意.
答：该市谷时电价为0.3 元/度.
22. 解: 分别过点C和点 D作AB的垂线, 垂足分别为 M, N,
在 Rt△CBM中。
tan∠CBM=CBBU=3,
所以 CM=3BΠ,
在 Rt△ACM中,
tanA=CAI=33,
所以 3BM1500+BR=33,
则BM=750,
所 以CM= 7503 (米),
所以 DN=CM=7503(米).
在 Rt△DBN中,
tan∠DBN=DRBh=1,
所以 BN=DN=7503,
所以 MN=BN-BM=7503-750米.
则 CD=MN=7503-750=548(米).
故大桥 CD的长为548米.
23.解: (1) ①360°× (1-30%-15%-10%-40%)
=360°×5%
=18°,
故答案为: 18;
②第一小组中，得分为4分的人数为20-1-2-3-8=6 (人)，补全条形统计图如下：
(2)第一小组学生得分出现次数最多的是5分，共出现8次，因此第一小组学生成绩的众数是5分，即 a=5,
第二小组20名学生成绩的平均数为 1×5%+2×30%+3×15%+4×10%+5×40958+30%+158+10×408=3.5(分),即 b=3.5,将第三小组20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 3+32=3(分)，所以中位数是3分, 即c=3,
故答案为: 5, 3.5, 3;
34200×8+8+220+20+20=1260(名),
答：该校4200名学生中大约有1260名学生竞赛成绩不低于90分.
24. (1) 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC, ∠BAD=∠BCD,
∴∠AEB=∠DAE,
∵AE, CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线,
∴∠AEB=∠DAE=12∠BAD,∠BCF=12∠BCD,
∴∠AEB=∠BCF,
∴AE∥CF,
又∵AF∥CE,
∴四边形 AECF是平行四边形；
24. (2) 解: 如图, 过点 C作 CH⊥AD于点 H,
则∠CHD=90°,
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,
∴∠ADC,∠BCD=180°.
∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-60°=120°.
∵CF是∠BCD的平分线,
∴∠DCF=12∠BCD=12×120∘=60∘.
∴∠ADC=∠DCF=60°,
∴△CDF是等边三角形。
∴CD:DF=2,DH=12DF=1,
在 Rt△CHD中, 由勾股定理得: CH=cD2-DH2=22-12=3
S⋅Cr=12DF⋅CH=12×2×3=3,
由 (1) 得: 四边形 AECF是平行四边形,
∴CE=AF=12DF=12×2=1,
∵AD∥BC,
∴△DGF-△EGC.
⋅FGCG=DEC2=21,
∴FG=23CF,
S △GDF=23S△CDF=233.
25.
解:(1)由题意得, 10k+b=2015k+b=15,
∴k=-1b=30
故答案为: -1; 30.
(2) 由题意, 当1≤x≤20时, 由 (1) 得y=-x+30,
∴M=x+10-x+30=-x²+20x+300.
当20≤x≤30时, M=15 (x+10) =15x+150.
∴M=-x2+20x+3001≤x≤2015x+150(20＜x≤30)
(3) 由题意, 当1≤x≤20时, M=-x²+20x+500=-x-10²+400.
∵-1＜0,
∴当 x=10 时, M取最大值为400.
∴此时销售额不超过500 元.
当20＜x≤30时, 令M=15x+150＞500,
∴x＞2313.
∴共有7天销售额超过500元.
26.
解：(1)∵四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数 y=kx的图象上，点 C的横坐标为2.点 B
的纵坐标为3.
∴C(2, 3).
∵点C(2, 3) 在反比例函数. y=kx图象上，
∴k=6,
∴反比例函数解析式为 y=6x;
(2) 设点A坐标为(m, 0),
∵C(2, 3).
∴OC=22+32=13,
∵OABC是平行四边形,
∴AB=OC=13,
∵点 D是AB边的中点，点A的纵坐标为3，
∴点D的纵坐标为 32,
∵点D在反比例函数 y=6x图象上，
∴D432,
由中点坐标公式可得点 B坐标为(8-m，3)
∴AB²=8-m-m²+3²=13,
解得m=3或m=5(舍去),
∴SOABC=3×3=9.
(3) ∵将直线 l1:y=-34x向上平移6个单位得到直线l₂，
∴l₂解析式为 y=-34x+6,
设直线l₂与y轴交于点E、则E(0, 6),
如图3, 作OF⊥l₁交l₂于点F,
∴M₁N=OF,
在函数 y=-34x+6中， 当 y=0时, x=8.
∴G(8. 0),
∴OE=6, OG=8,
在 Rt△EOG中, 由勾股定理得 EG=0E2+OG2=62+82=10,由三角形面积公式可得: OE·OG=OF·EG,
∴OF=OE⋅OGEG-6×810=245,
∴M1N=OF=245,
列函数联立方程组得 y=6xy=-34x+6,解得
∴M14-226+322,M24+226-322,
∵点P为M₁M₂的中点,
∴P(4, 3),
∴OP=42+32=5,
∴M1NOP=2455=2425.
(1) 证明:∵将 △ABC沿直线AB 翻折到 △ABD,
27.
∴AB⊥CD.
∵AB为⊙O的直径, AG 是切线,
∴AG⊥AB,
∴AG∥CD:
(2) 证明: ∵AG 是切线,
∴AG⊥AB.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠DAB=∠GAD,
∵由折叠可得∠ABD=∠ABC,
∴∠CBD=2∠ABD,
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PAD=180° -∠CAD=∠DBC=2∠ABD,
∴∠PAG=∠PAD-∠GAD=2∠ABD--∠ABD=∠ABD.
又∵∠APG=∠BPA,
∴△APG∽△BPA,
∵APBP=PGPA.即 PA²=PG⋅PB;
(3) 解: ∴sin∠APD=ADAP=13,
设AD=a, 则AP=3a,
∴PD=AP2-AD2=22a
∴tan∠APD=ADPD=α22a=24,
∵由折叠可得AC=AD=a,
∴PC=Pl+AC=3a+a=4a
∵在 Rt△PCB中, tan∠CPB=CBPC=24,
∴BD=CB=24PC=2a'.
∵AD⊥BD,GA⊥AB,
∴∠AGB=90°-∠GAD=∠DAB,
∴tan∠AGB=tan∠DAB=BDAD=2aa=2.
28.
(1) 解: 将A(-1, 0), C(0, 3) 代入 y=ax²+2x+c,
得: a-2+c=0,c=3
解得： a=-1c=3
∴抛物线解析式为 y=-x²÷2x+3;
(2)解:对于 y=-x²+2x+3, 令 y=0,
-x²+2x+3=0,
解得： x₁=-1.x₂=3,
∴B (3, 0),
∴OB=OC=3,
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°,
∵∠QCB=2∠ABC,
∴∠QCB=90°,
如图所示，过点 C作 CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作( QG⊥y轴于点 G,
∴∠GCQ=90°-∠ABC=45°,
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∵CQ=QG,
设 Qq-q²+2q+3,则 G0-q²+2q+3,
∴CG=-q²+2q,GQ=q,
∴-q²+2q=q,
解得： q=0(舍去) 或q=1,
∴ọ(1, 4);
(3) ①证明: 点 F与点 C重合, 则F(0, 3).
∵点E为AB中点, A ( -1, 0), B (3, 0),
∴E (1, 0),
设直线EF 的解析式为y=kx+b(k≠0), 代入E(1, 0), F(0, 3),
∴k+b=0,b=3
解得： k=-3,b=3,
∴y=-3x+3,
联立 y=-x2+2x+3,y=-3x+3
解得： x=0y=3 ③ x=5y=-12,
∴D (5, - 12), 在直线EF上, 即D, E, F三点共线;
②解: 设D (x₁, y₁), F(x₂, y₂),
∵D, E, F三点共线, E(1, 0)
∴设DF的解析式y=k(x-1).
联立
消去y得， -x²+2-kx+3+k=0,
∴x₁+x₂=2-k, x|x₃=-3-k,
∵A(-1, 0), B(3, 0),
设直线AD解析式为y=k₁(x+1), 直线BF的解析式为y=k₂(x-3),
联立
解得： x=k1+3k2k2-k1y=4k1k2k2-k1
∴Pk1+3k2k2-k14k1k2k2-k1,
∴k1=y1x1+1=kx1-1x1+1,k2=y2x2-3=kx2-1x2-3,
∴k1k2=k2x1-1x2-1x1+1x2-3,k2-k1=kx2-1x2-3-kx1-1x1+1,
∴P在直线y=8上运动,
∴P到x轴的距离为定值8，
∵直线AD, BF交于点 P, 则无论D, F在抛物线上如何运动, 只要D, E, F 三点共线, △AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的.
∴△ABP的面积为 12AB×yp=12×4×8=16是定值.
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