精品解析：2024年黑龙江省大庆市高新区学校中考一模数学试题（解析版）

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考生注意：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在草稿纸、试题卷上作答无效．
3.考试时间120分钟．
4.全卷共28小题，总分120分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1. 是的（ ）
A. 倒数B. 绝对值C. 相反数D. 负倒数
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 今冬，哈尔滨旅游火了！冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：尔滨，你让我感到陌生！因为“尔滨”的真情实意款待，在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史新高！那么，将数据“59.14亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）

A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
5. 已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（ ）
A. 9B. C. D.
6. 某种羽绒服的进价为元，出售时标价为元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但保证利润率为，则可打（ ）
A. 4折B. 5折C. 6折D. 7折
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 的算术平方根是4
C. 属于在进行因式分解过程
D. 对顶角一定相等，但相等角不一定是对顶角
8. 把一元二次方程和的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点的横坐标，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点的纵坐标，则点在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）

A. B.
C D.
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11. 已知反比例函数，则函数图象所在象限是第__________象限．
12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为___________．
13. 已知，则_____．
14. 若一组数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则，，，…，的方差为________．
15. 我们规定：在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为ρ（希腊字母读作“柔”），看作由x轴的正半轴逆时针旋转而成的夹角α，则用表示点P的雷达坐标，则点的雷达坐标为_____．（所写坐标形式必须符合重点标注部分的定义）
16. 关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是_____．
17. 斐波那契数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34…，这个数列从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和，若我们把斐波那契数列中第1项表示为，第2项表示为，第3项表示为，以此类推，则__________．（用含a的式子表示）
18. 如图，中，，，，对角线，相交于点，过点的线段交于点，交于点，以下说法中：①；②；③；④的面积与的面积比为．其中，正确的序号有___________．
三、解答题(本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中，
21. 从年到年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列．年某“G”次等级列车行驶的里程，它的平均速度是年普通“Z”等级列车的倍，所用的时间比年普通“Z”等级列车少2小时．求某次“G”等级列车2024年的平均速度．
22. 如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长. （结果精确到，参考数据：）
23. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对学生就校园安全知识的了解程度进行调查，随机从七、八年级各抽取了30名学生参与“校园安全”知识竞赛，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．七年级成绩的频数分布直方图如下(数据分成五组：，，，，)b．七年级成绩在的数据如下(单位：分)85 80 85 89 85 88 85 85 81 85 85 85，c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表，根据以上信息，回答下列问题

（1）表中______，______，请补全七年级成绩的频数分布直方图；
（2）综合以上信息，请问七、八年级哪个年级校园安全知识掌握的更好？请说明理由(一条理由即可)；
（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有1200名学生，请估计七年级成绩优秀的学生总人数．
24. 如图，矩形中，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
25. 龙凤湿地公园为大庆著名景点，该公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小东发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米，h与的数量变化有一定规律．
【提出问题】
喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米与距喷水的柱子的水平距离米，h与之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小东对某个方向喷水路径测量和计算得出如下数据：
（1）在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；并直接写出h与之间的函数关系式；
（2）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为2.4米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，问游船在能否顺利通过？说明理由．
（3）如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1m，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留）
26. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是6．
（1）求点A的坐标及m和k的值；
（2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；
②请结合图象，直接写出不等式的解集．
（3）若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围．
27. 如图：在中，弦于点，连接.
（1）如图1，求证：
（2）如图2，若半径为，连接，求证：
（3）如图3，连接，过点作交于点，交于点，连接并延长交于点.若平分，且，，求线段的长.
28. 已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80.4
m
n
141.04
八年级
80.4
83
84
86.10
（米）
…
0
1
2
3
4
…
h（米）
…
2
2
…