辽宁省铁岭市名校2023-2024学年八年级数学第一学期期末综合测试试题【含解析】

这是一份辽宁省铁岭市名校2023-2024学年八年级数学第一学期期末综合测试试题【含解析】，共23页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，如图，数轴上点N表示的数可能是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．人体中红细胞的直径约为0.0000077米，将0.0000077用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×10﹣6B．7.7×10﹣5C．0.77×10﹣6D．0.77×10﹣5
2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A．B．
C．D．
3．已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是
A．B．C．D．
4．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝( )
A．45°B．54°C．56°D．66°
5．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（ ）
A．13B．14C．15D．16
6．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．85°
8．如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边中点，DE⊥AB，并与AC边交于点E，如果∠A=15°，BC=1，那么AC等于（ ）
A．2B．C．D．
10．设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：①a*b＝0，则a＝0且b＝0;②a*b＝b*a;③a*（b+c）＝a*b+a*c;④a*b＝（﹣a）*（﹣b）.正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8，点D是直线BC上动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为____．
12．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为_____．
13．如图，直线，，，则的度数是 ．
14．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为________
15．小亮是位足球爱好者，某次在练习罚点球时，他在10分钟之间罚球20次，共罚进15次，则小亮点罚进的频数是____________. 频率是____________.
16．如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与相交于点，与相交于点，若，，则的度数为____．
17．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_________．
18．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝44°，则∠2的度数是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分） “垃圾分类”意识已经深入人心．我校王老师准备用元(全部用完)购买两类垃圾桶，已知类桶单价元，类桶单价元，设购入类桶个，类桶个．
（1）求关于的函数表达式．
（2）若购进的类桶不少于类桶的倍．
①求至少购进类桶多少个？
②根据临场实际购买情况，王老师在总费用不变的情况下把一部分类桶调换成另一种类桶，且调换后类桶的数量不少于类桶的数量，已知类桶单价元，则按这样的购买方式，类桶最多可买 个．(直接写出答案)
20．（6分）在平面直角坐标系中，有点，．
（1）若线段轴，求点、的坐标；
（2）当点到轴的距离与点到轴的距离相等时，求点所在的象限．
21．（6分）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积.
22．（8分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
23．（8分）如图，已知△ABC是等边三角形， D、 E分别在边AB、AC上，且AD=CE，CD与BE相交于点O．
（1）如图①，求∠BOD的度数；
（2）如图②，如果点D、 E分别在边AB、CA的延长线上时，且AD=CE，求∠BOD的度数．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB的两个顶点的坐标分别是A（3，0），B（2，3）．
（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，其中点A，B的对应点分别为A1，B1，并直接写出点A1，B1的坐标；
（2）点C为y轴上一动点，连接A1C，B1C，求A1C+B1C的最小值并求出此时点C的坐标．
25．（10分）在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
（1）如图1，若∠BAC=100°，则∠ABD的度数为_____，∠BDF的度数为______；
（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN，若BN=DN，∠ACB=．
(I)用表示∠BAD；
(II)①求证：∠ABN=30°；
②直接写出的度数以及△BMN的形状．
26．（10分）如图△ABC中，点E在AB上，连接CE，满足AC＝CE，线段CD交AB于F，连接AD．
（1）若∠DAF＝∠BCF，∠ACD＝∠BCE，求证：AD＝BE；
（2）若∠ACD＝24°，EF＝CF，求∠BAC的度数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000077＝7.7×10﹣1．
故选A．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2、D
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解，逐一判断即可．
【详解】A选项化成的不是乘积的形式，故本选项不符合题意；
B选项是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C． ，故本选项不符合题意；
D． ，是因式分解，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】
此题考查的是因式分解的判断，掌握因式分解的定义是解决此题的关键．
3、C
【分析】设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数．
【详解】分别作点关于、的对称点、，连接、、，交、于点、，连接、，此时周长的最小值等于．
由轴对称性质可得，，，，
，
，
又，，
．
故选：．
【点睛】
此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.
4、D
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ABF，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝42°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝48°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠ABD＝24°，
∴∠BFD＝∠BAD+∠ABF＝42°+24°＝66°，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟记概念与定理并准确识图．
5、C
【详解】解:如图所示，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I．
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
所以都是等边三角形．
所以

所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15；
故选C．
6、B
【详解】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
故选B．
考点：作图—复杂作图
7、C
【分析】根据三角板可得：∠2＝60°，∠5＝45°，然后根据三角形内角和定理可得∠2的度数，进而得到∠4的度数，再根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．
【详解】解：由题意可得：∠2＝60°，∠5＝45°，
∵∠2＝60°，
∴∠3＝180°−90°−60°＝30°，
∴∠4＝30°，
∴∠1＝∠4＋∠5＝30°＋45°＝75°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
8、C
【分析】根据题意可得2＜N＜3，即＜N＜，在选项中选出符合条件的即可.
【详解】解：∵N在2和3之间，
∴2＜N＜3，
∴＜N＜，
∵，，，
∴排除A，B，D选项，
∵，
故选C.
【点睛】
本题主要考查无理数的估算，在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方.
9、C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠A=15°，利用三角形外角的性质求得∠BEC =30°，再根据30°角直角三角形的性质即可求得结论．
【详解】∵点D为AB边中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=15°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=30°，
∵∠C=90°，
∴BE=AE=2BC=2，CE=BC=，
∴AC=AE+CE=2+，
故选C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、30°角直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10、B
【分析】根据新定义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．
【详解】解：∵a*b=0，a*b=（a+b）2，
∴（a+b）2=0，即：a+b=0，
∴a、b互为相反数，因此①不符合题意，
a*b=（a+b）2，b*a=（b+a）2，
因此②符合题意，
a*（b+c）=（a+b+c）2，a*b+a*c=（a+b）2+（a+c）2，故③不符合题意，
∵a*b=（a+b）2，（-a）*（-b）=（-a-b）2，
∵（a+b）2=（-a-b）2，
∴a*b=（-a）*（-b），
故④符合题意，
因此正确的个数有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了新定义运算，完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【分析】以AC为边作等边△ACF，连接DF，可证△ACE≌△AFD，可得CE=DF，则DF⊥CB时，DF的长最小，即DE的长最小，即可求解．
【详解】如图，以AC为边作等边△ACF，连接DF．
∵∠ACB=90°，∠B=10°，
∴∠BAC=30°，
∵AB=8，
∴BC=4，
∴AC==4，
∵△ACF是等边三角形，
∴CF=AC=AF=4，∠BCF=30°．
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠FAC=∠DAE=10°，
∴∠FAD=∠CAE，
在△ACE和△AFD中，
，
∴△ACE≌△AFD(SAS)，
∴CE=DF，
∴DF⊥BC时，DF的长最小，即CE的长最小．
∵∠FCD'=90°﹣10°=30°，D'F⊥CB，
∴，
∴CD'==1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
12、1或．
【分析】“与”字型全等，需要分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP两种情况讨论，当△ACP≌△BPQ时，P，Q运动时间相同，得值；当△ACP≌△BQP时，由PA=PB，得出运动时间t，由AC=BQ得出值
【详解】当△ACP≌△BPQ，
∴AP＝BQ，
∵运动时间相同，
∴P，Q的运动速度也相同，
∴x＝1．
当△ACP≌△BQP时，
AC＝BQ＝4，PA＝PB，
∴t＝1.5，
∴x＝＝
故答案为1或．
【点睛】
本题要注意以下两个方面：①“与”字全等需要分类讨论；②熟练掌握全等时边与边，点与点的对应关系是分类的关键；③利用题干条件，清晰表达各边长度并且列好等量关系进行计算
13、18°
【分析】由平行可得∠4=∠1,再根据外角定理可得∠2+∠1=∠4,即可求出∠1．
【详解】∵a∥b,
∴∠4=∠1=70°,
∵∠2=12°,
∴∠1=∠4－∠2=18°．
故答案为:18°．
【点睛】
本题考查平行的性质和外角定理,关键在于熟练掌握相关基础知识．
14、120°或75°或30°
【解析】∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点E在射线OA上，
∴∠COE=30°.
如下图，当△OCE是等腰三角形时，存在以下三种情况：
（1）当OE=CE时，∠OCE=∠COE=30°，此时∠OEC=180°-30°-30°=120°；
（2）当OC=OE时，∠OEC=∠OCE==75°；
（3）当CO=CE时，∠OEC=∠COE=30°.
综上所述，当△OCE是等腰三角形时，∠OEC的度数为：120°或75°或30°.
点睛：在本题中，由于题中没有指明等腰△OCE的腰和底边，因此要分：（1）OE=CE；（2）OC=OE；（3）CO=CE；三种情况分别讨论，解题时不能忽略了其中任何一种情况.
15、15 0.75
【解析】根据频数的定义，知小亮点球罚进的频数为15，罚球的总数为20，根据频率=频数÷总数可得频率为=0.75.
故答案为15；0.75.
16、100°
【解析】由题意根据全等三角形的性质进行角的等量替换求出和，进而利用三角形内角和为180°求出，即可得出的度数.
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴,
∵和关于直线对称，
∴,
∵，，
∴,
,
∴,
∵(对顶角)，
∴.
故答案为：100°.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质进行角的等量替换是解题的关键.
17、11
【分析】连接AD，交EF于点M，根据的垂直平分线是可知CM=AM，求周长的最小值及求CM+DM的最小值，当A、M、D三点共线时，AM+AD最小，即周长的最小．
【详解】解：连接AD，交EF于点M，
∵△ABC为等腰三角形，点为边的中点，底边长为
∴AD⊥BC，CD=3
又∵面积是24，
即，
∴AD=8，
又∵的垂直平分线是，
∴AM=CM，
∴周长=CM+DM+CD= AM+DM+CD
∴求周长最小值即求AM+DM的最小值，
当A、M、D三点共线时，AM+AD最小，即周长的最小，
周长=AD+CD=8+3=11最小．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换解决最短路径问题，解题的关键是找出对称点，确定最小值的位置．
18、134°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
【详解】解：∵∠1＝44°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣44°＝46°，
∴∠4＝180°﹣46°＝134°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝134°．
故答案为134°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，准确识图是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）①50；②18.
【分析】（1）根据题意，通过等量关系进行列式即可得解；
（2）①根据购进的类桶不少于类桶的倍的不等关系进行列式求解即可得解；
②根据题意设类桶的数量为a，根据A类桶单价与C类桶单价的比值关系确定不等式，进而求解，由总费用不变即可得到B类桶的数量.
【详解】（1）由题意，得，整理得
∴关于的函数表达式为；
（2）①购进的类桶不少于类桶的倍
，解得
∴至少购买类桶个；
②当时，
∵类桶单价元，类桶单价元
∴类桶单价:类桶单价=2:3
设调换后C有a本
由题意得：
解得，可知a时2的倍数
∵，a为正整数
∴
∴类桶最多可买18个.
【点睛】
本题主要考查了一次函数表达式的确定以及一元一次不等式的实际应用，结合实际情况求解不等式是解决本题的关键.
20、（1）点A（1，3），B（4，3）；（2）第一象限或第三象限．
【分析】（1）由AB∥x轴知纵坐标相等求出a的值，再得出点A，B的坐标即可；
（2）根据点B到y轴的距离等于点A到x轴的距离得出关于a的方程，解之可得；
【详解】解：（1）∵线段AB∥x轴，
∴2a-1＝3，
解得：a＝2，
∴点A（1，3），B（4，3）；
（2）∵点B到y轴的距离与点A到x轴的距离相等时，
∴|a+2|＝3，
解得：a＝1或a＝-5，
∴点B的坐标为（3，1）或（-3，-11），
∴点B所在的位置为第一象限或第三象限．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形的性质，重点在于理解点到坐标轴的距离与点坐标之间的关系．
21、（1）∠D是直角．理由见解析；（2）2.
【分析】（1）连接AC，先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理，求得∠D=90°即可；
（2）根据△ACD和△ACB的面积之和等于四边形ABCD的面积，进行计算即可．
【详解】（1）∠D是直角．理由如下：
连接AC．
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理得AC2=202+152=1．
又∵CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=1，
∴AC2=CD2+AD2，
∴∠D=90°．
（2）四边形ABCD的面积=AD•DC+AB•BC=×24×7+×20×15=2．
【点睛】
考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合运用，解决问题时需要区别勾股定理及其逆定理．通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题是关键．
22、见解析；
【解析】首先根据平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，再根据ASA定理证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】证明：∵ AC∥DF，∴ ∠ACB=∠DFE．
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D，
AC＝DF，
∠ACB＝∠DFE，
∴ △ABC≌△DEF．(ASA)
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
23、（1）∠BOD=60°；（2）∠BOD=120°．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BC=AC, ∠BCE=∠CAD =60°，然后利用SAS即可证出△BCE≌△CAD，从而得出∠CBE=∠ACD，然后利用等量代换和三角形外角的性质即可求出∠BOD的度数；
（2）根据等边三角形的性质可得BC=AC, ∠BCE=∠CAD =60°，然后利用SAS即可证出△BCE≌△CAD，从而得出∠CBE=∠ACD，然后利用三角形内角和定理、等量代换和三角形外角的性质即可求出∠BOD的度数．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴BC=AC, ∠BCE=∠CAD =60°
在△BCE与△CAD中
∴△BCE≌△CAD．
∴∠CBE=∠ACD．
∵∠BCD+∠ACD=60°
∴∠BCD+∠CBE=60°
又∵∠BOD=∠BCD+∠CBE
∴∠BOD=60°
（2）∵△ABC是等边三角形
∴BC=AC，∠BCE=∠CAD =60°
在在△BCE与△CAD中
∴△BCE≌△CAD
∴∠CBE=∠ACD
而∠CBE+∠BCA+∠E=180°，∠BCA=60°
∴∠ACD+60°+∠E=180°
∴∠ACD+∠E=120°
又∵∠BOD=∠ACD+∠E
∴∠BOD=120°．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形外角的性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形外角的性质是解决此题的关键．
24、（1）见解析，点A1（﹣3，0），点B1（﹣2，3）；（2）最小值等于，此时点C的坐标为（0，）．
【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出△OA1B1，并写出A1的坐标和B1的坐标即可；
（2）设直线A1B的解析式为y＝kx+b，代入A1（﹣3，0），B（2，3），解得直线A1B的解析式，令x＝0即可得出点C的坐标；
【详解】（1）如图所示，△OA1B1即为所求，点A1的坐标为（﹣3，0），点B1的坐标为（﹣2，3）；
（2）如图所示，A1C+B1C的最小值等于A1B＝，
设直线A1B的解析式为y＝kx+b，
由A1（﹣3，0），B（2，3），可得
，
解得 ，
∴直线A1B的解析式为y＝x+，
令x＝0，则y＝，
此时点C的坐标为（0，）．
【点睛】
本题考查了作轴对称图形以及求直线的解析式的问题，掌握轴对称图形的性质以及作法、直线解析式的解法是解题的关键．
25、 (1)10°，20°；（2）（Ⅰ）；(II)①证明见解析；②=40°，△BMN等腰三角形．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得AD=AC，∠CAD=60°，利用等量代换可得AD=AB，根据等腰三角形的性质即可求出∠ABD的度数，由等腰三角形“三线合一”的性质可得∠ADE=30°，进而可求出∠BDF的度数；
（2）（Ⅰ）根据等腰三角形的性质可用表示出∠BAC，由∠CAD=60°即可表示出∠BAD；
（Ⅱ）①如图，连接AN，由角平分线的定义可得∠CAN=，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得DN是AC的垂直平分线，可得AN=CN，∠CAN=∠CAN，即可求出∠DAN=+60°，由（Ⅰ）可知∠BAD=240°-2，由△ABN≌△AND可得∠BAN=∠DAN，可得∠BAN=120°+，列方程即可求出的值，利用外角性质可求出∠ANM的度数，根据三角形内角和可求出∠AMN的度数，利用外角性质可求出∠MNB的度数，可得∠BMN=∠ABN，可证明△BMN是等腰三角形．
【详解】（1）∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC=CD，∠CAD=∠ADC=60°，
∵AB=AC，
∴AD=AB，
∵∠BAC=100°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）=10°，
∵点E为AC中点，
∴ ∠ADE=∠CDE=30°，
∴∠BDF=∠ADE-∠ADB=20°，
故答案为：10°，20°
（2）（Ⅰ）∵AB=AC，∠ACB=，
∴∠ABC=∠ACB=，
∴，
∵△ACD为等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=240°+．
(II)①如图，连接，
∵△ACD为等边三角形，
∴，
在△ABN和△AND中，，
∴△ABN≌△AND，
∴∠ABN=∠ADN，
∵点E的中点，
∴DF⊥AC，ED平分∠ADC，
∴∠ADE=30°，
∴∠ABN=∠ADE=30°．
②∵CM平分∠ACB，∠ACB=，
∴∠CAM=∠BCM=，
∵点E是AC的中点，△ACD是等边三角形，
∴DN是AC的垂直平分线，
∴AN=CN，
∴∠CAN=∠ACM=，
∴∠DAN=∠CAD+∠CAN=60°+，
∵△ABN≌△AND，
∴∠BAN=∠DAN=60°+，
∴∠BAN=2∠BAN=120°+，
由（Ⅰ）得：∠BAD=240°-2，
∴120°+=240°-2，
解得：=40°，
∴∠BAN=60°+=80°，∠ANM=∠NAC+∠NCA==40°，
∴∠AMC=180°-∠BAN-∠ANM=60°，
∵∠ABN=30°，
∴∠MNB=∠AMC-∠ABN=30°，
∴∠ABN=∠MNB，
∴MB=MN，
∴是等腰三角形．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，等边三角形的三条边都相等，每个内角都是60°；等腰三角形的两个底角相等，顶角的角平分线、底边的高、底边的中线“三线合一”；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
26、（1）证明见解析；（2）52°．
【分析】（1）根据，，，即可得到，进而得出；
（2）根据，可得，依据，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
【详解】解：（1），，
，
又，，
，
；
（2），
，
，
，
又，
中，．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．