山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高二下学期第一次教学质量调研（期中）数学试卷(含答案)

这是一份山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高二下学期第一次教学质量调研（期中）数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列求导数的运算中正确的是( )
A.B.
C.D.
2．已知函数（是的导函数）,则( )
A.B.C.D.
3．重庆市高考综合改革实施方案中规定:高考考试科目按照“”的模式设置,“3”为语文,数学,外语3门必选科目;“1”为由考生在物理,历史2门科目中选考1门作为首选科目;“2”为由考生在思想政治,地理,化学,生物4门科目中选2门作为再选科目.现由甲,乙2位同学选科,若他们的首选科目相同,再选科目恰有一门相同的不同选法的种数为( )
A.24B.36C.48D.72
4．函数在区间上的最大值是3,则a的值为( )
A.3B.1C.2D.-1
5．已知函数有三个零点,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．如图1,现有一个底面直径为,高为的圆锥容器,以的速度向该容器内注入溶液,随着时间t（单位：s）的增加,圆锥容器内的液体高度也跟着增加,如图2所示,忽略容器的厚度,则当时,圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为( )
A.B.C.D.
7．设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
8．若函数有大于零的极值点,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,则( )
A.B.
C.D.
10．设函数的导函数为,的部分图象如图所示,则( )
A.函数在上单调递增B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极小值D.函数在处取得极大值
11．设函数则下列说法正确的是( )
A.当时,的图象位于x轴下方
B.存在单调递增区间
C.有且仅有两个极值点
D.在区间上有最大值
三、填空题
12．已知,则曲线在点处的切线方程为_____________.
13．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军,且每门学科只有1名冠军产生,有_____________种不同的冠军获得情况.
14．已知函数,则的最小值是_____________.
四、解答题
15．已知的展开式中,所有二项式系数的和为32.
(1)求n的值;
(2)若展开式中的系数为-1,求a的值.
16．有6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动,每位同学恰报1个项目.
（1）6位同学站成一排拍照,如果甲乙两位同学必须相邻,丙丁两位同学不相邻,求不同的排队方式有多少种？
（2）若每个项目至少需要一名志愿者,求一共有多少种不同报名方式？
（3）若每个项目只招一名志愿者,且同学甲不参加项目A,同学乙不参加项目D,求一共有多少种不同录用方式？
17．已知函数.
(1)若在处取得极小值,求实数a的值;
(2)若在上单调递增,求实数a的取值范围.
18．已知函数.
(1)求函数的单调性与极值;
(2)若关于x的方程有两个解,求实数m的取值范围.
19．已知函数.
(1)当时,求的最值;
(2)当时,若的两个零点分别为,,证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：A：,故A错误;
B：,故B错误;
C：,故C错误;
D：,故D正确;
故选：D.
2．答案：D
解析：因为,则,
又因为,
当时,,解得,
所以.
故选：D.
3．答案：C
解析：第一步:甲乙首选科目相同,有种方法;
第二步:从思想政治,地理,化学,生物4门科目中选一科中选一科作为甲乙的相同科目,有种方法;
第三步:甲从剩下的三科中选一科,有种方法;
第四步:乙从剩下的两科中选一科,有种方法.
所以共有种不同方法.
故选:C
4．答案：B
解析：由题意可知,,
令,解得或（舍）.
当时,;
当时,;
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
所以,,,则最大,
所以当时,函数取得最大值为.
由题意可知,,解得,
所以a的值为1.
故选：B.
5．答案：A
解析：令,则,
由得,或;由得,,
则当或时单调递增;
当时单调递减.
则时取得极大值;时取得极小值.
函数有三个零点,
即函数与直线的图像有3个不同的交点,
则实数m的取值范围是
故选:A
6．答案：C
解析：设注入溶液的时间为t（单位：s）时,溶液的高为,
则,得.
因为,所以当时,,
圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
7．答案：B
解析：令,则,,,
而,当时,,单调递减,
,所以,即.
故选：B.
8．答案：A
解析：原命题等价于有大于零的零点,显然在上单调递增,又因为时,,所以,所以
故选：A.
9．答案：ACD
解析：令,可得,故A正确;
含的项为,故,B错误;
令,,又,故,C正确;
令,,又,故,D正确.
故选：ACD.
10．答案：AB
解析：有的图象可得
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增;
所以函数在上单调递增,故A正确;
函数在上单调递减,故B正确;
函数在处无极值,故C错误;
函数在处取得极小值,故D错误.
故选：AB.
11．答案：AB
解析：因为函数,可得函数的定义域为,且,
令,可得,
当时,;当时,,
当时,,由,所以,
即,所以在上单调递减,
因为时,,当时,的图象在x轴的下方,所以A正确;
当时,,所以,
又因为,所以存在使得,
所以当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单递增,
当时,函数取得极小值,无极大值,所以函数只有一个极值点,
且在区间上先减后增,没有最大值,所以C、D错误.
故选：AB.
12．答案：
解析：,则,又,
故切线方程为,即.
故答案为：.
13．答案：64
解析：由题意可知数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军各有4种情况,
故有种情况.
故答案为：64.
14．答案：
解析：由函数,
则函数的最小正周期为,
又由,可得函数为奇函数,只需考虑在上的最值即可,
又由,
可得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以函数在上的最大值为,
因为函数为奇函数,所以函数的最小值为.
故答案为：.
15．答案：(1)5
(2)
解析：(1)所有二项式系数的和为32,
,.
(2)二项式展开式的通项公式为,
令,
展开式中的系数为,
解得.
16．答案：（1）144
（2）1560
（3）252
解析：（1）根据题意先把甲乙看成整体,与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列,再把丙丁插空进行排列,
所以共有.
（2）先分为4组,则按人数可分为1,1,1,3和1,1,2,2两种分组方式,
共有种;
再分到4个项目,即可得共有;
（3）先考虑全部,则共有种排列方式,
其中甲参加项目A共有种,同学乙参加项目D共有种;
甲参加项目A同时乙参加项目D共有种,
根据题意减去不满足题意的情况共有种.
17．答案：(1);
(2).
解析：(1)因为,
所以,得,此时,
所以在上,单调递减,在上,单调递增,
所以在处取得极小值,符合题意,
故实数a的值为.
(2)由(1)知,,
因为在上单调递增,所以在上恒成立.
因为,所以在上恒成立,即在上恒成立.
因为在上单调递减,所以,
故实数a的取值范围为.
18．答案：(1)在上单调递增,在上单调递减,极大值为,无极小值;
(2).
解析：(1)依题意,,,
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减.
故当时,函数的极大值为 ,无极小值;
(2)令,得.
当时,,则在上单调递增.
因此函数至多只有一个零点,不符合题意,
当时,由,得,
因此在上是单调递增,在上是单调递减,所以.
一方面,当x从右边趋近于0时,趋向于;
当x趋向于时,,
因此,趋向于;
另一方面,由,得,即,
因此,,
很明显在上是单调递增且,
根据题意得：,所以.
即方程有且只有一个大于1的正实根.
设,由（开口向下）且,
对称轴为,得,解得.
所以实数m的取值范围是;
综上,在单调递增,单调递减,极大值,无极小值,
.
19．答案：(1),无最大值
(2)证明见解析
解析：(1)当时,,定义域为,
,
当时,;当时,.
可知在上单调递减,在上单调递增,
所以,无最大值.
(2)证明：,因为,所以在上单调递增,
又因为,所以当时,,当时,.
所以的最小值为,
因为,所以在上存在一个零点;
因为,可知在上也存在一个零点;
所以,故.