山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若可导函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的定义计算可得.
【详解】因为可导函数满足，
所以.
故选：D
2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递增
C. 在R上单调递减D. 在R上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】根据导函数的符号确定单调性.
【详解】∵导函数图象在x轴及x轴上方，则，函数为增函数,
∴在R上递增.
故选：D.
3. 曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设切点，根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】令，则，
设该曲线在点处切线为，
需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以，解得，则切点为，
故切线的方程为，即，
所以直线到直线距离为，
即该曲线上的点到直线的最小距离为.
故选：C
4. 从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（ ）
A. 140种B. 44种C. 70种D. 252种
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数的计算，结合间接法求解即可.
【详解】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为.
故选：C.
5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，可得在上恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案.
【详解】因为在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即，
又当时，函数，在时取得最大值4，
所以，所以的最小值为4.
故选：D．
6. 被除所得的余数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】，而的展开式中除最后一项外，其它项均能被8整除，所以将其最后一项加上10，再除以8可得结果
详解】，
其中所有含有的项都能被整除，只剩下，
被除所得的余数是，
故选：A.
7. ，则等于（ ）
A. 180B. C. 45D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出二项式通项公式，赋值后代入求解即可.
【详解】，展开式的通项为，
令，解得，故.
故选：C.
8. 已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
不等式，即，即，
所以，解得，所以不等式的解集是.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关排列数、组合数的等式中，其中，正确的是（ ）
A. B.
C. （）D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用排列数公式推理判断C；利用组合数性质计算判断D.
【详解】对于A，由组合数性质知，，A正确；
对于B，当时，，B错误；
对于C，当时，，C正确；
对于D，
，D正确.
故选：ACD
10. 某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，则下列说法正确的是（ ）
A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B. 若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法
C. 若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法
D. 若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法
【答案】ABD
【解析】
【分析】全排列可得A正确；先将人员分组为2,1,1，再将三组人员送到三个地方可得B正确；全排中除去甲去 区，乙去 区，再加上多减的即可判断C错误；隔板法，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，再计算后可得D正确.
【详解】A：若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，故A正确；
B：若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法，故B正确；
C：若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法，故C错误；
D：若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，则共有种不同的安排方法，故D正确；
故选：ABD.
11. 定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A. ，
B. 函数有三个零点
C. 过可以作两条直线与图像相切
D. 若函数在区间上有最大值，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由对称中心是，结合题中“拐点”的定义，求出和的值，再通过求导画出函数的图象，结合图象，判断各选项即可.
【详解】对于A中，由，可得，则，
因为点是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知，
且，解得，所以A正确；
对于B中，由，可知，则，
令，可得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，则函数图象如图所示，
由图象可知，函数只有一个零点，所以B错误；
对于C中，因为，所以点恰好在的图象上，
画出函数的切线，如图所示，
由图象可知过点可作函数的两条切线，所以C正确；

对于D中，若在区间上有最大值，由上图可知，最大值只能是，
所以且，解得，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有__________种站法.
【答案】
【解析】
【分析】利用捆绑法先对A、C、D三位同学进行排列，再对其余同学进行全排列可得结果.
【详解】根据题意先将A、C、D三位同学看成一个整体，A只能在C与D的中间，共有种排法，
再将其他三位同学与A、C、D三位同学组成的整体进行全排列，共有种排法，
因此共有种.
故答案为：
13. 的展开式中的系数为____________.
【答案】
【解析】
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
当时，有，当时，有，
则的展开式中的系数为.
故答案为：.
14. 已知，，若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先令，并构造函数表示，利用导数判断函数的单调性，即可求解.
【详解】由已知，则，
得，，则，
设，，
令，得，
当时，h'x<0，hx单调递减，当时，h'x>0，hx单调递增，
所以当时，函数取得最小值，，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象经过点，且是的极值点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间和最值.
【答案】（1）
（2）增区间为，减区间为，最小值为，无最大值
【解析】
【分析】（1）求得，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由（1）知，求得函数的单调区间，进而求得其最值.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
因为函数过点，且是的极值点，
可得，解得，经检验符合题意；
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：由（1）知，
令f'x>0，解；令f'x<0，解，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值.
即函数的增区间为，减区间为，最小值为，无最大值.
16. 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
（1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
（2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
【答案】（1）540种；
（2）65种.
【解析】
【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加；
（2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得.
【小问1详解】
若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；
该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．
【小问2详解】
若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；
若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；
若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；
若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；
所以总共有种不同的参赛方案．
17. 已知在的展开式中，第4项与第6项的二项式系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的有理项；
（3）若其展开式中项的系数为，求其展开式中系数的绝对值最大的项．
【答案】（1）
（2）
（3）和
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数的性质求解即可；
（2）求出展开式的通项，再令的指数为整数，即可得解；
（3）先根据项的系数求出，再利用不等式组法求解即可.
【小问1详解】
由题意可得，所以；
【小问2详解】
展开式的通项为，
当为整数时，，
所以展开式中的有理项为；
【小问3详解】
令，则，
所以展开式中项的系数为，得，
又，所以，
所以二项式的展开式的通项公式为，
设第项为系数绝对值最大项，则，
解得，又且，所以或，
所以展开式中系数的绝对值最大的项为和.
18. 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成．经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米．设米，游乐场的面积为平方米．
（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
（2）求面积关于的函数解析式；
（3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大．（结果精确到0.1米）（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）
（3）当时，即点到距离为米时，游乐场面积最大.
【解析】
【分析】（1）先以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；
（2）根据（1）求出，求出矩形面积；
（3）利用导数判断单调性，根据单调性求出最大值.
【小问1详解】
以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，，
设曲线所在的抛物线方程为，，点在抛物线上，
则，解得，，
所以曲线段所在的抛物线方程为.
【小问2详解】
因为点在曲线段上，，，所以，
，.
【小问3详解】
，，
令，解得，
当时，f'x>0，当时，f'x<0，
所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，
因此，当时，是极大值也是最大值，
由，米，
即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大.
19. 设函数.
（Ⅰ）讨论f(x)的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
【答案】（Ⅰ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（Ⅱ）见解析
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.
当时,，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，;
当时，.
故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，.
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.