新高考数学二轮复习培优专题训练专题18 圆锥曲线的综合应用（解答题）（2份打包，原卷版+解析版）

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1、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，证明：线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为定点．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见详解
【详解】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意可知：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点是定点 SKIPIF 1 < 0 .

2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点P．证明:点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析.
【详解】（1）设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由焦点坐标可知 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由(1)可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
显然直线的斜率不为0，所以设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，

直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上运动.
3、【2022年全国甲卷】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【解析】(1)
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
(2)设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，
所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
4、【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【解析】(1)
解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
(2)
，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】
5、【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【解析】(1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，
因为，所以，即，
即，解得，
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以， ，
同理可得，， ．
所以，，
点到直线的距离，
故的面积为．
6、【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】(1)
右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
题型一 圆锥曲线中的最值问题
1-1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E： SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)过椭圆E的左焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【分析】（1）由待定系数法求解析式；
（2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出 SKIPIF 1 < 0 ，进而讨论最值.
【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
不妨设 SKIPIF 1 < 0 在x轴上方，则 SKIPIF 1 < 0 在x轴下方．
椭圆在x轴上方对应方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则A处切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，得切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
同理可得B处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
代入①得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值是2．
另解：当直线l的斜率存在时，设l： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
椭圆在x轴上方的部分方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则过 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得过 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，为2．
1-2、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 焦距为2，且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 共顶点．P为椭圆C上一点，直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆C于另一点Q．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求过P、Q、 SKIPIF 1 < 0 三点的圆的方程；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由焦距为2得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由双曲线的顶点求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆方程；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由向量共线得到 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 两点坐标代入椭圆方程中，求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而表达出 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式求出最值.
【详解】（1）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得点Q的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
设过P，Q， SKIPIF 1 < 0 三点的圆为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时，取等号． SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0
1-3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据已知条件可得出 SKIPIF 1 < 0 的值，将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）分析可知直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，列出韦达定理，写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，可求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】（1）解：因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，则 SKIPIF 1 < 0 不存在，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，不合乎题意，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
题型二 圆锥曲线中的定点问题
2-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为3.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)证明：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】（1）根据题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而求解；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线和双曲线方程组，可得 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由对称性知以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆必过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求解.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 两点的横坐标均为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入双曲线方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）方法一：设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
由对称性知以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆必过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
由对称性知以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆必过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点.
设以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，即以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点 SKIPIF 1 < 0 .
2-2、（2023·山西·统考一模）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】(1)根据双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 和焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 列出方程组，解之即可；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的坐标，再求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点所在的直线方程即可求解.
【详解】（1）由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可得渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取渐近线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
由焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
题型三 圆锥曲线中的定值问题
3-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三个点在椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆外一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 斜率之积为定值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量关系用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程即可求解；
（2）用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，代入斜率公式即可求解.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是定值.
3-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，原点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，证明： SKIPIF 1 < 0 的面积为定值.
【解析】(1)
由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ① ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ②，
① ②联立解得 SKIPIF 1 < 0 ，
② 故椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由原点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，可知 SKIPIF 1 < 0
故可得此时有 SKIPIF 1 < 0 ，该点在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
则此时 SKIPIF 1 < 0 ;
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，不妨设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
且需满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 ，
由原点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心知， ，
故 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，代入到 SKIPIF 1 < 0 中，
化简得： ，即 ，
又原点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，故 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的3倍，
所以 ，
而
=
= ，
因此
=，
综合上述可知： SKIPIF 1 < 0 的面积为定值.
题型四 圆锥曲线中的角度问题
4-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点 SKIPIF 1 < 0 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角分别为 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理及斜率公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由差角的正切公式及基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由斜率公式可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若要使 SKIPIF 1 < 0 最大，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 .
4-2、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为4，左､右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的右支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，其中点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方.当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0
(1)设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）法一：根据实轴长，求得a值，根据题意，求得 SKIPIF 1 < 0 ，可得b值，即可得曲线C方程，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线联立，根据韦达定理，可得 SKIPIF 1 < 0 表达式，代入 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理，即可得答案.
法二：由题意，求得a，b的值，即可得曲线C方程，设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线联立，根据韦达定理，可得 SKIPIF 1 < 0 表达式，代入 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理，即可得答案.
（2）法一：因为 SKIPIF 1 < 0 ，根据二倍角的正切公式，结合 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，化简计算，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 方程，与曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，根据面积公式，即可得答案.
法二：设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，结合二倍角正切公式，可得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可得直线 SKIPIF 1 < 0 方程，与曲线C联立，可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入面积公式，即可得答案.
【详解】（1）法一：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
显然直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
法二：
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（2）法一：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，（※）
将 SKIPIF 1 < 0 代入（※）得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
法二：
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
题型五 圆锥曲线中的探索性问题
5-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率是 SKIPIF 1 < 0 ，P为椭圆上的动点.当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0
（1）求椭圆的方程：
（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据余弦定理和基本不等式确定点P为椭圆短轴端点时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，再根据三角形面积及 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案；
（2）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案；
【详解】（1）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 （即P为椭圆短轴端点）时等号成立，且 SKIPIF 1 < 0 取最大值；
此时 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，
同时 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
原点O到直线1的距离为d，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以定圆C的方程是 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 ， 存在定圆C始终与直线l相切 ，
其方程是 SKIPIF 1 < 0 .
5-2、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的“姊妺”圆锥曲线， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的离心率，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支于 SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 .
（i）试探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的比值 SKIPIF 1 < 0 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)（i） SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ；（ii） SKIPIF 1 < 0 ；
【分析】（1）根据“姊妺”圆锥曲线的定义设出双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 求得参数b的值，即得答案.
（2）（i）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，结合 SKIPIF 1 < 0 的表达式，化简即可得出结论；（ii）设直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线方程，根据韦达定理可解得 SKIPIF 1 < 0 ，结合A在双曲线右支，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，同理求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，结合二次函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）由题意可设双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）（i）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消元得 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
或由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的比值为定值 SKIPIF 1 < 0 .
（ii）设直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线方程并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为 SKIPIF 1 < 0 ，.
由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为点A在双曲线的右支上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由（i）中结论可知 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其图象对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
另解：由于双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作两渐近线的平行线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，由于点A在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 介于直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间（含 SKIPIF 1 < 0 轴，不含直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 .
同理，过点 SKIPIF 1 < 0 作两渐近线的平行线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，由于点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 介于直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间（不含 SKIPIF 1 < 0 轴，不含直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 .
由（i）中结论可知 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0
1、（2023·安徽安庆·校考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)由焦点和顶点坐标可得c和b的值，结合 SKIPIF 1 < 0 得到a,从而得到椭圆方程；（2）由点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上和椭圆定义，得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用余弦定理计算即可.
【详解】（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
2、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于不同于 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值.
【分析】（1）由已知可设，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据条件列出a，c关系式，解出代入方程即可；
（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m，k的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.
【详解】（1）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为焦点到渐近线的距离为2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，且均满足 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，与已知矛盾；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0
②当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE方程为：y=x-1，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上， SKIPIF 1 < 0 为该圆的圆心, SKIPIF 1 < 0 为该圆的半径，故存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
3、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系：定点问题
【解析】
(1)由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．
因为EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3，
所以EQ \B\lc\{(\a\al(\l(a＋c＝3(a－c)，),\l((a＋c)(a－c)＝3，)))…………………………………………………………………2分
解得eq \B\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝1，))从而b2＝a2－c2＝3．
所以椭圆C的方程eq \f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1．…………………………………………………………4分
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
因为直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．
由eq \B\lc\{(\a\al(\f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1，,y＝k＋m，))得(eq 3＋4k\s\up6(2))x\s\up6(2)＋8kmx＋4m\s\up6(2)－12＝0．
则eq x\s\d(1)＋x\s\d(2)＝\f(－8km,3＋4k\s\up6(2))，x1x2＝EQ \F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))．…………………………………………………………6分
所以k1＋k2＝EQ \F(y\S\DO(1),x\S\DO(1)＋2)＋EQ \F(y\S\DO(2),x\S\DO(2)＋2)＝EQ \F(2kx\S\DO(1)x\S\DO(2)＋(2k＋m)\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4m,x\S\DO(1)x\S\DO(2)＋2\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4)
＝EQ \F(2k·\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋(2k＋m)·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4m,\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋2·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4)
＝EQ \F(12(m－2k),4\b\bc\((\l(m\S(2)－4km＋4k\S(2))))＝EQ \F(3,m－2k)．
由k(k1＋k2)＝1，可得3k＝m－2k，即m＝5k．……………………………………………10分
故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5，0)．……………………………………………12分
4、（2022·山东枣庄·高三期末）如图， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点，过原点且异于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的另一交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．
5、（2023·山西晋中·统考三模）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点（其中 SKIPIF 1 < 0 点位于x轴上方），当 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 位于x轴上方，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0
消去x得， SKIPIF 1 < 0 ．
方程 SKIPIF 1 < 0 的判别式 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
6、（2022·江苏苏州·高三期末）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点（不含短轴端点），点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，直接根据条件列方程，注意挖去两点，即可得到答案；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示，进行计算可得 SKIPIF 1 < 0 为定值；
(1)
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 方程中令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为定值．