2021-2022学年湖南省永州市新田县八年级下学期期中数学试题及答案

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4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
已知，为直角两锐角，，则
A. B. C. D.
下列命题中，真命题是
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
如图，小明从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点点时，一共走的路程是
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
如图，在▱中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定▱是菱形的只有
A. B. C. D.
矩形的对角线、相交于点，，，则的周长为
A.
B.
C.
D.
如图，，分别是，上的中点，是上的一点，且，若，，则的长为
A. B. C. D.
如图，在四边形中，，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用、、、来表示它们的面积，那么下列结论正确的是
A. B.
C. D.
四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为的正方形的内角，变为菱形，若，则阴影部分的面积是
A. B. C. D.
如图，矩形的对角线，交于点，点在边上从点到点运动，过点作于点，作于点已知，，随着点的运动，关于的值，下面说法正确的是
A. 先增大，后减小B. 先减小，后增大
C. 始终等于D. 始终等于
二、填空题（本大题共8小题，共32分）
如图，为了测量池塘两岸，两点之间的距离，可在外选一点，连接和，再分别取、的中点，，连接并测量出的长，即可确定、之间的距离．若量得，则、之间的距离为______
一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的对角线条数是______．
如图，在中，，平分交于，，，则______．
如图，为等边三角形，，于，若，则的长度为______．
如图，在▱中，的平分线交于，，则的度数为______．
如图，在菱形中，对角线、相交于点，，垂足为，如果，，那么的长为______．
把一张矩形纸片矩形按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为若，，则的长为______．
如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、，若，，则下列结论：垂直平分；≌；；：：；：：，其中正确的结论是______填正确的序号．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
下列网格图都是由个相同的小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，请在余下的个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
选取个涂上阴影，使阴影部分组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
选取个涂上阴影，使阴影部分组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
选取个涂上阴影，使阴影部分组成一个轴对称图形．
请将三个小题依次作答在图、图、图中，均只需画出符合条件的一种情形
如图，、、、在同一条直线上，，，求证：．
某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为．
求的长．
这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
如图，下面是小芸设计的“作三角形一边上的中线”的尺规作图过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：
分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧相交于点；
作射线，与交于点．线段就是所求作的边上的中线．
根据小芸设计的尺规作图过程，完成下面的证明：
证明：连接，，
，______，
四边形是平行四边形，______填推理的依据
，______填推理的依据
即线段是边上的中线．
如图，在▱中，点是对角线的中点，过点作，垂足为点，且交，分别于点，．
求证：四边形是菱形．
如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使，连接，，．
求证：四边形为矩形；
若，，，求的长．
如图，在中，、分别是、的中点，过点作，交于点．
求证：四边形是平行四边形；
当满足什么条件时，四边形是菱形？为什么？
综合与实践--图形变换中的数学问题．
问题情境：
如图，在中，，，将沿翻折得到，然后展平，两个三角形拼成四边形．
求证：四边形是正方形．
初步探究：
将从图位置开始绕点按逆时针方向旋转角度，得到，其中点，的对应点分别是点，，连接，并分别延长，交于点试猜想线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．
深入探究：
如图，连接，当时，请直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题．
本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中两个锐角互余是解题的关键．
根据直角三角形中两个锐角互余计算即可．
【解答】
解：，为直角两锐角，
，
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
【解答】
解：、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误，
故选：．
4.【答案】
解：每次小明都是沿直线前进米后向左转，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了米．
故选：．
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以即可．
本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
【解答】
解：正确．对角线垂直的平行四边形的菱形；
B.正确．邻边相等的平行四边形是菱形；
C.错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形；
D.正确．可以证明平行四边形的邻边相等，即可判定是菱形．
故选：．
6.【答案】
解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长；
故选：．
由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，即可求出的周长．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
7.【答案】
解：是的中位线，，
．
，是的中点，，
，
．
故选：．
利用三角形中位线定理得到由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．
本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．
8.【答案】
解：连接，
由勾股定理得，，
甲的面积乙的面积丙的面积丁的面积，
故选：．
连接，根据勾股定理可得甲的面积乙的面积丙的面积丁的面积，依此即可求解．
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明个正方形的面积之间的关系．
9.【答案】
解：设与交点为，
则，因此，
四边形为菱形，则，
，
同理，
，，
梯形面积为：
，
阴影面积为：
．
故选：．
用三角函数先求，再求，最后求梯形面积，最后求阴影部分的面积．
本题考查了多边形的面积，掌握求阴影部分的面积化为面积之差，三角函数、梯形面积的应用是解决此题的关键．
10.【答案】
解：过点作，交的延长线于点，
过点作于点，过点作于点，
在矩形中，
，，，
，
，
，
，
，
、、三点共线，
，
，，
由勾股定理可知：，
，
，
即，
故选：．
过点作，交的延长线于点，过点左于点，过点作于点，根据平行线的性质以及角平分线的性质可证明、、三点共线，所以，然后根据矩形的性质可求出的长度，从而可求出的长度．
本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及角平分线的性质，本题属于中等题型．
11.【答案】
解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】
解：设多边形的边数为，根据题意
，
解得．
这个多边形的对角线条数是，
故答案为：．
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
13.【答案】
解：过点作，垂足为，
由得
解得
平分交于，
．
故填．
过点作边上的高，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可．
本题考查了角平分线的性质及三角形面积公式的灵活运用．正确作出辅助线是解答本题的关键．
14.【答案】
解：为等边三角形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质求出，，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后根据直角三角形两锐角互余求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，熟记各性质是解题的关键．
15.【答案】
解：四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于，，
，
；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义和邻补角关系得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数．
本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出是解决问题的关键．
16.【答案】
解：四边形是菱形，，，
，，，
由勾股定理得到：．
又．
．
故答案为：．
根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，所以可得的长度．
本题考查了菱形的性质．属于中等难度的题目，解答本题关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于底乘以底边上的高，还等于对角线乘积的一半．
17.【答案】
解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，，
设，则，
在中，，，
由勾股定理得：，
解得，
，
故答案为：．
由矩形的性质得出，，由折叠的性质得，，，设，则，由勾股定理得列出方程解得，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠与矩形的性质，由勾股定理列出方程是解题的关键．
18.【答案】
解：四边形是矩形，是中点，
，
，
是等边三角形，
，
在的垂直平分线上，
同理，在的垂直平分线上，
两点确定一条直线，
垂直平分，
是正确的；
垂直平分，
，，
又，
，
过作于，如图，
，
在与中，
，
≌，
包含了，
≌是不成立的，
是错误的；
由可得，，
，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
垂直平分，
是的中点，
连接，一定是的中点，
，，三点是共线的，
垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
是正确的；
由可得，，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
设，
在直角中，，
，
同理，，
，，
：：：，
是错误的；
由可得，与是等边三角形，
，
四边形是菱形，
由可得，菱形的边长，
在中，，
，
在中，，
，
故答案为：．
先证明是等边三角形，再由，，由垂直平分线的判定定理，可以得到正确，过作于，证明≌，所以不成立，先证明，由于是中点，所以垂直平分，再证与是等边三角形，即可得到是正确的，设，可以直接用表示出的面积，证明≌，得到，也可以用表示出的面积，推导出是错误的，继续用表示出的面积和的面积，即可推导出是正确的．
本题考查了等边三角形，全等三角形，垂直平分线的判定与性质，对基础线段设参数，用参数表示出各个量，是解决本题的关键．
19.【答案】解：如图所示；
如图所示；
如图所示．
【解析】根据轴对称定义，在最上一行中间一列涂上阴影即可；
根据中心对称定义，在最下一行、最右一列涂上阴影即可；
在最上一行、中间一列，中间一行、最右一列涂上阴影即可．
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．
20.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】证明≌，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
21.【答案】解：根据题意得：，，，
，
答：的长为；
这辆小汽车超速了，理由如下：
该小汽车的速度为，
这辆小汽车超速了．
【解析】由勾股定理求出的长即可；
求出这辆小汽车的速度，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．
22.【答案】已知 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的对角线互相平分
解：连接，，
，已知，
四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
平行四边形的对角线互相平分，
即线段是边上的中线．
故答案为：已知，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
根据平行四边形的判定和性质解决问题即可．
本题考查作图基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，为对角线的中点，
，，
在和中，
，
≌；
，
又，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为菱形．
【解析】证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
24.【答案】证明：，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
解：由知，四边形为矩形，
，，
，，，
，
为直角三角形，，
，
，
即，
，
．
【解析】先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论；
由矩形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，，然后由面积法求出的长，即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：当时，四边形是菱形．
理由如下：是的中点，
，
是的中位线，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．
26.【答案】解：，，
，
，
，
是等腰三角形，
沿翻折得到，
≌，
，，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形．
由旋转可知，≌，
，，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：且．
取的中点，连接，，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
解得：，
设，
在中，，
，
，
故C．
【解析】先证明是等腰三角形，再根据翻折的性质可证明四边形是菱形，进而可证明四边形是正方形．
根据旋转性质得≌，进而可证明≌，≌，利用全等三角形性质可得且．
取的中点，连接，，先证明≌，利用全等三角形性质可证得，利用面积法建立方程求出，再运用勾股定理即可求得．
此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，旋转变换性质，正方形判定等知识，熟练掌握翻折、旋转性质，利用三角形全等是解决问题的关键．