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新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）38 排列组合中的常见七种类型问题（2份打包，原卷版+含解析）
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这是一份新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）38 排列组合中的常见七种类型问题（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学二轮考点培优专题精讲+精练38排列组合中的常见七种类型问题原卷版doc、新高考数学二轮考点培优专题精讲+精练38排列组合中的常见七种类型问题含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
一、排列组合中常见问题及其技巧
1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法
3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配．
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
5.涂色问题常用方法
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.
二、方法技巧分类
①特殊元素（位置）法
【一般策略】对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。
②捆绑法
【一般策略】捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.
③插空法
【一般策略】插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.
④倍缩法
【一般策略】部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法.
⑤排数问题
【一般策略】对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.
⑥分组、分配问题
【一般策略】①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
⑦涂色问题
【一般策略】解决涂色问题的一般思路
(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题
二、题型精讲精练
【典例1】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
【典例2】班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单；
(1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
【典例3】某学习小组有3个男生和4个女生共7人：
(1)将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？
(2)将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？
(3)现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？
【典例4】某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？
【典例5】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？
(2)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?
(3)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?
【典例6】有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．
(1)如果每人得两本，则有多少种不同的分法？
(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则有多少种不同的分法？
(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则有多少种不同分法？
【典例7】（单选题）如图，一圆形信号灯分成 SKIPIF 1 < 0 四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）
A．18B．24C．30D．42
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
2．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
4．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
6．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
7．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
8．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【题型训练2-刷模拟】
1.特殊元素（位置）法
一、单选题
1．）高三毕业来临之际，甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影留念，排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有（ ）种.
A．36B．24C．20D．12
2．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的 SKIPIF 1 < 0 接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（ ）
A．84B．108C．132D．144
3．甲、乙，丙、丁，戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（ ）
A．27种B．72种C．36种D．54种
4．）从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（ ）
A．120种B．150种C．180种D．210种
5．小李和小张等5名同学相约去旅游，在某景点排成一排合影留念，则小李不在两端，且小张不在正中间位置的排法数是（ ）
A．84B．60C．48D．36
6． SKIPIF 1 < 0 五名学生按任意次序站成一排，则 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 站两端的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A．18B．24C．32D．64
二、填空题
8．将字母 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 排成一排，其中 SKIPIF 1 < 0 必须在 SKIPIF 1 < 0 的左边，则不同的安排方法有 .（用数字作答）
9．某电视台计划在某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益宣传广告，且3个公益宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有 种．(用数字作答)
10．现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有 种
11．某医院选派甲、乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有 种．
2.捆绑法
一、单选题
1．2023年4月26日南通支云足球队将在主场迎战河南队，组委会安排甲、乙等5人到球场的四个区域参加志愿服务，要求每个区域都有人服务，且每位志愿者只能服务一个区域，则甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为（ ）
A．18B．24C．60D．120
2．）六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48种B．72种C．120种D．144种
3．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分 SKIPIF 1 < 0 战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种B．24种C．30种D．36种
4．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
5．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A和B不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．120种B．240种C．360种D．480种
二、填空题
6．）五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有 种．
7．）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
8．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ．
9．现有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 五人排成一列，其中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相邻， SKIPIF 1 < 0 不排在两边，则共有 种不同的排法（用具体数字作答）.
【答案】24
10．老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有 种．
3.插空法
一、单选题
1．某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．14B．120C．72D．24
3．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种B．360种C．480种D．504种
4．市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A．48B．54C．72D．84
5．义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．三个家庭的3位妈妈带着2名女宝和2名男宝共7人踏春，在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有（ ）
A．192种B．288种C．144种D．96种
7．寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中 SKIPIF 1 < 0 位女生， SKIPIF 1 < 0 位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全， SKIPIF 1 < 0 位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
8．甲、乙、丙、丁四人去电影院看电影，有4张连排的座位，要求甲、乙两人不相邻而坐，则不同安排方法的种数为 ．
9．3男2女五位老师排成一排照相，若五位老师已经站定，将两位新老师放入队列中，且两位新老师不相邻，则有 种放法．
10．夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种.
11．某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)．
4.倍缩法
一、单选题
1．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10B．20C．24D．30
2．高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（ ）
A．24种B．40种C．60种D．84种
3.某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20B．120C．360D．720
4．习近平总书记强调：“要在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生崇尚劳动、尊重劳动，懂得劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽的道理，长大后能够辛勤劳动、诚实劳动、创造性劳动．”这一重要论述，突出了劳动教育对于新时代立德树人的重要意义，是我们开展劳动教育工作的重要遵循．为了积极落实习近平总书记讲话的精神，高中课程中安排劳动课，我校高二（1）班本周星期五下午要上4节课，若把语文、数学、劳动、体育这4门课安排在星期五下午，劳动课必须比数学课先上，则不同的排法有（ ）
A．24种B．18种C．12种D．6种
5．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种B．12种C．36种D．72种
6．小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（ ）
A．2760B．3180C．3200D．3360
二、填空题
7．用“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”这六个字可以组成 种不同的六字短语（不考虑短语的含义）.
8．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有 种不同排法（用数字作答）
9．）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法．
10．甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种.
5.排数问题
一、单选题
1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）．
A．60B．96C．300D．360
2．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为（ ）
A．12B．18C．24D．36
3．由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）．
A．42个B．48个C．54个D．120个
4．）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．40个B．42个C．48个D．52个
5．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．从数字1，2，3，4，5中随机挑选若干个数字组成四位数，则满足相同数字最多出现两次的四位数的个数为（ ）
A．260B．480C．540D．720
7．在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 这 SKIPIF 1 < 0 个数中任取 SKIPIF 1 < 0 个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被 SKIPIF 1 < 0 整除，且比 SKIPIF 1 < 0 大的数共有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
二、填空题
8．用数字 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 组成没有重复数字的五位数，其中能被 SKIPIF 1 < 0 整除的数共有 个．（用数字作答）
9．将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 任意排成一行，可以组成 个不同的6位数．（用数字作答）
10．由0，1，2，3，4这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 种．
11．从数字 SKIPIF 1 < 0 中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有 个.
12．已知 SKIPIF 1 < 0 表示一个三位数，如果满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，那么我们称该三位数为“凸数”，则没有重复数字的三位“凸数”的个数为 ．
6.分组、分配问题
一、单选题
1．将4个不同的小球平均放入2个不同的盒子中，有多少种不同的放法？（ ）
A．6B．12C．3D．16
2．某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的分法种数为（ ）
A．210B．105C．315D．630
3．将4名学生志愿者分配到A、B、C社区参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
4．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术，赛艇，射击3个自选项目.若将3男，3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有（ ）
A．540种B．36种C．108种D．90种
5．开学初，学校将新转学来的A、B等五名同学分配到甲、乙、丙、丁四个不同的班级，每个班至少分一人，则A、B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有（ ）
A．36种B．48种C．72种D．144种
6．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（ ）
A．81种B．72种C．63种D．36种
7．2023年亚运会将在杭州举行.将6位志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，分赴亚运会的4个不同场馆服务，不同的分配方案的种数为（ ）
A．4320B．1080C．180D．90
8．某单位共招聘6名应届毕业生，其中男女各3人，准备平均分配到3个部门，其中有一组必须分配2名女生，则不同的安排方法有（ ）
A．36B．54C．72D．108
9．新高考按照“ SKIPIF 1 < 0 ”的模式设置，其中“3”为语文，数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物，政治，地理4门科目中选考2门科目，若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
10．将6本不同的书分成两堆，每堆至少两本，则不同的分堆方法共有 种．
11．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A、B、C、D四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A学校有 种安排方法．
12．将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为 ．
13．现有小赵、小钱、小孙、小李、小刘5人去北京、上海、广州三地参加研讨会，每人只能去一个城市，每个城市至少去一人，则小赵不去北京的概率为 ．
14．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有 SKIPIF 1 < 0 支救援队前往 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等 SKIPIF 1 < 0 个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排 SKIPIF 1 < 0 支救援队，其中甲救援队只能去 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是 .
15．实施乡村振兴战略是决胜全面建成小康社会的重大历史任务，是新时代做好“三农”工作的总抓手．某市聘请6名农业专家安排到三个乡镇作指导，每个乡镇至少一人，其中专家A不能去甲镇，则不同的安排方案的种数是 ．
16．2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，会务组将6张不同的纪念邮票分配给来自 SKIPIF 1 < 0 省的2名代表和 SKIPIF 1 < 0 省的2名代表，每名代表至少1张，则有 种分配方法．（用数字作答）
7.涂色问题
一、单选题
1．如图，用4种不同的颜色给图中 SKIPIF 1 < 0 四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，共有（ ）种植方式．
A．240种B．300种C．360种D．420种
3．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120B．360C．420D．480
4．如图所示，将四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120B．96C．72D．48
5．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．720种B．1440种C．1560种D．2520种
6．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125B．1000C．1040D．1020
二、填空题
7．如图，用四种不同颜色给矩形A， B， C， D着色，要求相邻的矩形涂色不同，共有 种不同的涂色方法．
8．有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜色不能相同，共有 种不同的涂色方案.
9．用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
10．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 种．（用数字作答）
①特殊元素（位置）法
②捆绑法
③插空法
④倍缩法
⑤排数问题
⑥分组分配问题
⑦涂色问题
一、排列组合中常见问题及其技巧
1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法
3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配．
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
5.涂色问题常用方法
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.
二、方法技巧分类
①特殊元素（位置）法
【一般策略】对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。
②捆绑法
【一般策略】捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.
③插空法
【一般策略】插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.
④倍缩法
【一般策略】部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法.
⑤排数问题
【一般策略】对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.
⑥分组、分配问题
【一般策略】①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
⑦涂色问题
【一般策略】解决涂色问题的一般思路
(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题
二、题型精讲精练
【典例1】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
【典例2】班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单；
(1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
【典例3】某学习小组有3个男生和4个女生共7人：
(1)将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？
(2)将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？
(3)现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？
【典例4】某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？
【典例5】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？
(2)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?
(3)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?
【典例6】有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．
(1)如果每人得两本，则有多少种不同的分法？
(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则有多少种不同的分法？
(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则有多少种不同分法？
【典例7】（单选题）如图，一圆形信号灯分成 SKIPIF 1 < 0 四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）
A．18B．24C．30D．42
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
2．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
4．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
6．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
7．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
8．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【题型训练2-刷模拟】
1.特殊元素（位置）法
一、单选题
1．）高三毕业来临之际，甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影留念，排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有（ ）种.
A．36B．24C．20D．12
2．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的 SKIPIF 1 < 0 接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（ ）
A．84B．108C．132D．144
3．甲、乙，丙、丁，戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（ ）
A．27种B．72种C．36种D．54种
4．）从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（ ）
A．120种B．150种C．180种D．210种
5．小李和小张等5名同学相约去旅游，在某景点排成一排合影留念，则小李不在两端，且小张不在正中间位置的排法数是（ ）
A．84B．60C．48D．36
6． SKIPIF 1 < 0 五名学生按任意次序站成一排，则 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 站两端的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A．18B．24C．32D．64
二、填空题
8．将字母 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 排成一排，其中 SKIPIF 1 < 0 必须在 SKIPIF 1 < 0 的左边，则不同的安排方法有 .（用数字作答）
9．某电视台计划在某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益宣传广告，且3个公益宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有 种．(用数字作答)
10．现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有 种
11．某医院选派甲、乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有 种．
2.捆绑法
一、单选题
1．2023年4月26日南通支云足球队将在主场迎战河南队，组委会安排甲、乙等5人到球场的四个区域参加志愿服务，要求每个区域都有人服务，且每位志愿者只能服务一个区域，则甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为（ ）
A．18B．24C．60D．120
2．）六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48种B．72种C．120种D．144种
3．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分 SKIPIF 1 < 0 战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种B．24种C．30种D．36种
4．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
5．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A和B不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．120种B．240种C．360种D．480种
二、填空题
6．）五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有 种．
7．）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
8．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ．
9．现有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 五人排成一列，其中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相邻， SKIPIF 1 < 0 不排在两边，则共有 种不同的排法（用具体数字作答）.
【答案】24
10．老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有 种．
3.插空法
一、单选题
1．某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．14B．120C．72D．24
3．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种B．360种C．480种D．504种
4．市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A．48B．54C．72D．84
5．义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．三个家庭的3位妈妈带着2名女宝和2名男宝共7人踏春，在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有（ ）
A．192种B．288种C．144种D．96种
7．寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中 SKIPIF 1 < 0 位女生， SKIPIF 1 < 0 位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全， SKIPIF 1 < 0 位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
8．甲、乙、丙、丁四人去电影院看电影，有4张连排的座位，要求甲、乙两人不相邻而坐，则不同安排方法的种数为 ．
9．3男2女五位老师排成一排照相，若五位老师已经站定，将两位新老师放入队列中，且两位新老师不相邻，则有 种放法．
10．夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种.
11．某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)．
4.倍缩法
一、单选题
1．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10B．20C．24D．30
2．高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（ ）
A．24种B．40种C．60种D．84种
3.某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20B．120C．360D．720
4．习近平总书记强调：“要在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生崇尚劳动、尊重劳动，懂得劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽的道理，长大后能够辛勤劳动、诚实劳动、创造性劳动．”这一重要论述，突出了劳动教育对于新时代立德树人的重要意义，是我们开展劳动教育工作的重要遵循．为了积极落实习近平总书记讲话的精神，高中课程中安排劳动课，我校高二（1）班本周星期五下午要上4节课，若把语文、数学、劳动、体育这4门课安排在星期五下午，劳动课必须比数学课先上，则不同的排法有（ ）
A．24种B．18种C．12种D．6种
5．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种B．12种C．36种D．72种
6．小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（ ）
A．2760B．3180C．3200D．3360
二、填空题
7．用“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”这六个字可以组成 种不同的六字短语（不考虑短语的含义）.
8．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有 种不同排法（用数字作答）
9．）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法．
10．甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种.
5.排数问题
一、单选题
1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）．
A．60B．96C．300D．360
2．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为（ ）
A．12B．18C．24D．36
3．由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）．
A．42个B．48个C．54个D．120个
4．）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．40个B．42个C．48个D．52个
5．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．从数字1，2，3，4，5中随机挑选若干个数字组成四位数，则满足相同数字最多出现两次的四位数的个数为（ ）
A．260B．480C．540D．720
7．在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 这 SKIPIF 1 < 0 个数中任取 SKIPIF 1 < 0 个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被 SKIPIF 1 < 0 整除，且比 SKIPIF 1 < 0 大的数共有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
二、填空题
8．用数字 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 组成没有重复数字的五位数，其中能被 SKIPIF 1 < 0 整除的数共有 个．（用数字作答）
9．将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 任意排成一行，可以组成 个不同的6位数．（用数字作答）
10．由0，1，2，3，4这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 种．
11．从数字 SKIPIF 1 < 0 中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有 个.
12．已知 SKIPIF 1 < 0 表示一个三位数，如果满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，那么我们称该三位数为“凸数”，则没有重复数字的三位“凸数”的个数为 ．
6.分组、分配问题
一、单选题
1．将4个不同的小球平均放入2个不同的盒子中，有多少种不同的放法？（ ）
A．6B．12C．3D．16
2．某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的分法种数为（ ）
A．210B．105C．315D．630
3．将4名学生志愿者分配到A、B、C社区参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
4．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术，赛艇，射击3个自选项目.若将3男，3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有（ ）
A．540种B．36种C．108种D．90种
5．开学初，学校将新转学来的A、B等五名同学分配到甲、乙、丙、丁四个不同的班级，每个班至少分一人，则A、B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有（ ）
A．36种B．48种C．72种D．144种
6．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（ ）
A．81种B．72种C．63种D．36种
7．2023年亚运会将在杭州举行.将6位志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，分赴亚运会的4个不同场馆服务，不同的分配方案的种数为（ ）
A．4320B．1080C．180D．90
8．某单位共招聘6名应届毕业生，其中男女各3人，准备平均分配到3个部门，其中有一组必须分配2名女生，则不同的安排方法有（ ）
A．36B．54C．72D．108
9．新高考按照“ SKIPIF 1 < 0 ”的模式设置，其中“3”为语文，数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物，政治，地理4门科目中选考2门科目，若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
10．将6本不同的书分成两堆，每堆至少两本，则不同的分堆方法共有 种．
11．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A、B、C、D四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A学校有 种安排方法．
12．将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为 ．
13．现有小赵、小钱、小孙、小李、小刘5人去北京、上海、广州三地参加研讨会，每人只能去一个城市，每个城市至少去一人，则小赵不去北京的概率为 ．
14．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有 SKIPIF 1 < 0 支救援队前往 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等 SKIPIF 1 < 0 个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排 SKIPIF 1 < 0 支救援队，其中甲救援队只能去 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是 .
15．实施乡村振兴战略是决胜全面建成小康社会的重大历史任务，是新时代做好“三农”工作的总抓手．某市聘请6名农业专家安排到三个乡镇作指导，每个乡镇至少一人，其中专家A不能去甲镇，则不同的安排方案的种数是 ．
16．2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，会务组将6张不同的纪念邮票分配给来自 SKIPIF 1 < 0 省的2名代表和 SKIPIF 1 < 0 省的2名代表，每名代表至少1张，则有 种分配方法．（用数字作答）
7.涂色问题
一、单选题
1．如图，用4种不同的颜色给图中 SKIPIF 1 < 0 四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，共有（ ）种植方式．
A．240种B．300种C．360种D．420种
3．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120B．360C．420D．480
4．如图所示，将四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120B．96C．72D．48
5．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．720种B．1440种C．1560种D．2520种
6．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125B．1000C．1040D．1020
二、填空题
7．如图，用四种不同颜色给矩形A， B， C， D着色，要求相邻的矩形涂色不同，共有 种不同的涂色方法．
8．有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜色不能相同，共有 种不同的涂色方案.
9．用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
10．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 种．（用数字作答）
①特殊元素（位置）法
②捆绑法
③插空法
④倍缩法
⑤排数问题
⑥分组分配问题
⑦涂色问题
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