2023-2024学年山东省部分校高一下学期6月期末联考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省部分校高一下学期6月期末联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若sinθ=−45，tanθ>0，则csθ的值为( )
A. −35B. 35C. −53D. 53
2.已知向量a=(2,1)，b=(−3,4)，则向量a在b方向上的投影向量为( )
A. (625,825)B. (−625,−825)C. (−625,825)D. (625,−825)
3.设a，b是两条不同的直线，α是平面，则下列命题正确的是( )
A. 若a/​/b，b⊂α，则a/​/αB. 若a/​/α，b⊂α，则a/​/b
C. 若a/​/b，a/​/α，b⊄α，则b/​/αD. 若a/​/α，b/​/α，则b/​/a
4.已知一组数据：x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数是10，方差是4，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1，2x6+1的方差是( )
A. 16B. 14C. 12D. 11
5.已知函数f(x)=2 2cs(π4+x)cs(π4−x)，要得到函数.g(x)=sin2x−2cs2x+1的图象，只需将f(x)的图象( )
A. 向左平移π8个单位长度B. 向右平移3π8个单位长度
C. 向右平移374个单位长度D. 向左平移3π4个单位长度
6.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=2DC，E，F分别为DC，AB的中点，若AC=xAE+yAF，其中x，y∈R，则x+y的值为( )
A. 12B. 1C. 65D. 85
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a,b)与n=(csA,sinB)平行.若c=2，b= 2，则BC边上的中线AD为( )
A. 1B. 2C. 10D. 102
8.如图，在三棱锥P−ABC中，▵PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB=2 2，AB=AC= 6，二面角P−AC−B的大小为120​∘，则三棱锥P−ABC的外接球表面积为( )
A. 5 103πB. 10πC. 9πD. 4+2 3π
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 已知复数z=a+bi，a，b∈R，则当且仅当a=0时z为纯虚数
B. 已知复数a2−4+(a+2)i(a∈R)为实数，则a=−2
C. 已知复数z=−2i，则|z|=2
D. 已知复数z=−1+2i，则复数z在复平面内对应的点在第四象限
10.如图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是( )
A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆
C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年D. 2020年销量高于这六年销量的平均值
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 不存在点Q，使得C1Q//A1C
B. 存在点Q，使得C1Q⊥A1C
C. 对于任意点Q，Q到A1C的距离的取值范围为[ 22, 63]
D. 对于任意点Q，△A1CQ都是钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b共线，且|a|=2|b|=2，则|a+b|= ______．
13.一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π2的扇形，则该圆锥的表面积为______．
14.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(π4)=1，f(53π)=0，且f(x)在(π4,5π6)上单调，则ω的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且b+c=2asin(C+π6).
(1)求角A；
(2)若△ABC的内切圆面积为π，求△ABC的面积S的最小值．
16.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)试判断直线BD1与平面ACE的位置关系，并说明理由；
(2)若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，求点B到平面AB1C的距离．
17.(本小题12分)
某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如图直方图：

已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．
(1)求n和乙样本直方图中a的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)；
(3)若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数．
18.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC−DEF中，∠ACB=90°，BF⊥AD，BC=2，BE=EF=FC=1．
(1)求证：平面BCFE⊥平面ABC；
(2)若直线AE与平面BCFE所成角为π3，求平面DEC和平面ABC所成角的正切值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[−π3,π3]时，求f(x)的最值．
(3)当x∈[π6,5π6]时，关于x的不等式af(12x−π6)−f(x+π12)≥4有解，求实数a的取值范围．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.A
5.B
6.C
7.D
8.B
9.BC
10.ABC
11.ABC
12.3或1
13.5π4
14.1817
15.解：(1)b+c=2asin(C+π6)，即sinB+sinC=sinA( 3sinC+csC)，sin(A+C)+sinC= 3sinAsinC+sinAcsC，
即sinAcsC+csAsinC+sinC= 3sinAsinC+sinAcsC,csAsinC+sinC= 3sinAsinC，sinC≠0，
故csA+1= 3sinA，sin(A−π6)=12，
又0(2)根据题意，内切圆半径是1，

设内切圆圆心是I，M，N是切点，则AI=2，AM=AN= 3，
所以BC=AC−AN+AB−AM,a=b+c−2 3，a2=b2+c2−2bccsA，则(b+c−2 3)2=b2+c2−bc，
即3bc−4 3(b+c)+16=0,b+c⩾2 bc，
即3bc+16⩾8 3bc,( 3bc−4)2⩾0,bc=4 3时，S△ABC=12bcsinA⩾1,△ABC的面积S的最小值是1．
16.解：(1)直线BD1//平面AEC，
理由如下：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接BD交AC于点O，连接OE，如图1，

∵四边形ABCD为正方形，则O为BD中点，又E为DD1中点，因此OE/​/BD1，
又OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，∴BD1/​/平面AEC．
(2)解法一：(等体积法)
在三棱锥B−AB1C中，AC=AB1=CB1=2 2，
则S△AB1C=12AC⋅AB1sin60°=12×2 2×2 2× 32=2 3，
△ABC的面积S△ABC=12AB⋅BC=2，
设点B到平面AB1C的距离为ℎ，

由VB−AB1C=VB1−ABC得：13S△AB1C⋅ℎ=13S△ABC⋅BB，
于是ℎ=S△ABC⋅BB1S△AB1C=2×22 3=2 33，∴点B到平面AB1C的距离为2 33．
解法二：(直接法)
连接B1O，在平面BB1D1D中，设B1O∩BD1=H，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1．
又∵B1B∩BD=B，B1B、BD⊂平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BD1
同理可得：B1C⊥BD1，
又∵AC∩B1C=C，AC，B1C⊂平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C，即BH⊥平面AB1C，
∴BH为点B到平面AB1C的距离，
由题意可知，在直角三角形B1BO中，B1B=2，BO= 2，B1O= B1B2+BO2= 6，
由B1B⋅BO=B1O⋅BH得BH=2 33，∴点B到平面AB1C的距离为2 33．
17.解：(1)由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020×10=0.20，
又因为乙样本中数据在[70,80)内有10个，
所以10n=0.20，
解得n=50，
由乙样本数据直方图可知，(0.006+0.016+0.020+0.040+a)×10=1，
解得a=0.018；
(2)甲样本数据的平均值估计值为(55×0.005+65×0.010+75×0.020+85×0.045+95×0.020)×10=81.5，
因为(0.006+0.016+0.02)×10=0.42<0.5，(0.006+0.016+0.02+0.04)×10=0.82>0.5，
所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为x，
则(x−80)×0.04+0.42=0.5，
解得x=82，
即乙样本数据的中位数为82；
(3)乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率为0.42+0.18=0.38，
由样本估计总体得300×0.38=114(人)，
故历史方向的学生数学成绩在85分以上的有114人．
18.(1)证明：∵BE=EF=FC=1，BC=2，如图：

作EG⊥BC，FH⊥BC，则BH=32，HC=12，FC=1，
则FH= 32，则BF= ( 32)2+(32)2= 3，
由勾股定理BF2+FC2=BC2，可得BF⊥FC，又∵BF⊥AD，
∴BF⊥平面ADFC，∴BF⊥AC，又∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴AC⊥平面BCFE，∴平面BCFE⊥平面ABC；
(2)由(1)知直线AE与平面BCFE所成角为∠AEC，∴ACEC= 3，∴AC=3，
设平面DEC和平面ABC的交线为l，易知l/​/AB，
过点E作EG⊥BC于G，∴EG⊥平面ABC，EG= 32，
再过点G作GK⊥l于K，连结EK，∴∠EKG即为所求角，
GK=32sin∠BCK=32sin∠B=32×3 13=92 13，
∴tan∠EKG= 32×2 139= 399．

19.解：(1)由题意，得函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3=sin2x+ 3cs2x
=2(12sin2x+ 32cs2x)=2sin(2x+π3)，
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)．
(2)当x∈[−π3,π3]时，2x+π3∈[−π3,π]，所以sin(2x+π3)∈[− 32,1]，则f(x)∈[− 3,2]，
当2x+π3=−π3即x=−π3时，函数f(x)取得最小值为− 3；
当2x+π3=π2即x=π12时，函数f(x)取得最大值为2；
(3)由题意得x∈[π6,5π6]时，af(12x−π6)−f(x+π12)=2asinx−2cs2x≥4有解，
而此时sinx>0，即a≥2+cs2xsinx有解，只需要a≥(2+cs2xsinx)min即可，
2+cs2xsinx=3−2sin2xsinx=3sinx−2sinx，x∈[π6,5π6]，
令t=sinx,t∈[12,1]，则y=3t−2t在[12,1]上单调递减，
所以当t=1时，ymin=1，即(2+cs2xsinx)min=1，
所以{a|a≥1}．