贵州省安顺市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测考试数学试卷(含答案)

这是一份贵州省安顺市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )
A.B.iC.D.1
2．函数在点处的切线倾斜角为( )
A.B.C.D.
3．下列说法正确的是( )
A.某班共有学生50人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，则该班女生共有20人
B.数据2，3，3，5，7，8，10，12的第80百分位数为8
C.线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强
D.线性回归模型分析中，模型的决定系数越小，模型的拟合效果越好
4．已知函数的导函数为，且满足，则的最大值为( )
A.B.0C.D.1
5．高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有( )
A.21种B.27种C.30种D.42种
6．你正在做一道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是，那么这一刻，你答对这道选择题的概率为( )
A.B.C.D.
7．的展开式中各项系数和为32，则展开式中含的项是( )
A.B.C.D.
8．已知，，，则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．集合，.若，则实数a可取值( )
A.B.C.D.0
10．已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即，则下列说法正确的有( )
A.B.
C.在上是增函数D.，使得
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是( )
A.曲线C关于坐标原点对称
B.曲线C上的点到原点的最大距离为
C.四叶草曲线C所围的区域面积大于
D.四叶草曲线C恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题
12．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表：
若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数________.
13．函数的所有极值之和为________.
四、双空题
14．已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为P，椭圆C的右焦点为F，在方向上的投影向量为，则椭圆C的离心率为________；双曲线E的渐近线方程为________.
五、解答题
15．若数列是等差数列，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前99项和.
16．由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表：
（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？
（2）将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
附：
17．五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后得到的几何体，，，D为的中点，F为线段的中点.点E满足上.
（1）若，求实数的值；
（2）若P是线段的中点，求平面与平面夹角的正弦值.
18．如图，在斜坐标系中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
（1）若斜坐标系中，，且，求实数m的值；
（2）若斜坐标系中，，求向量，的夹角的余弦值.
19．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）求与的导数；
（2）证明：在上恒成立；
（3）求的零点.
参考答案
1．答案：D
解析：，z的虚部为1.
故选：D.
2．答案：A
解析：，，
设在点处的切线倾斜角为，
则有，由，则.
故答案为：A.
3．答案：C
解析：对于A，按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，
则样本中女生有3人，该班女生共有人，A错误；
对于B，数据2，3，3，5，7，8，10，12，共8个，，则该组数据的第80百分位数为10，B错误；
对于C，线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强，C正确；
对于D，线性回归模型分析中，模型的决定系数越小，模型的拟合效果越差，D错误.
故选：C
4．答案：C
解析：由，求导得，
令，则，即，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：C
5．答案：D
解析：5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择，
当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择，
所以2位老师与同学们站成一排的站法共有（种）.
故选：D
6．答案：A
解析：依题意，由全概率公式，得答对这道选择题的概率为.
故选：A
7．答案：A
解析：令，则有，解得，
对有，
则有，
故展开式中含的项是.
故选：A.
8．答案：B
解析：令,，求导得，即函数在上单调递减，
则，即，因此；
令,，求导得，
函数在上单调递增，则，即，因此，
所以.
故选：B
9．答案：BC
解析：依题意，，由，得，解得且，D错误，
对于A，，此时，，A错误；
对于B，，此时，，B正确；
对于C，，此时，，C正确.
故选：BC
10．答案：ABC
解析：对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，
所以，故B正确；
对于C：当x增大时，也增大，
所以在上是增函数，故C正确；
对于D：因为，，
当时，，所以，
又，所以，所以；
当时，，则，
又，所以不成立，故D错误；
故选：ABC.
11．答案：AB
解析：对A：若点在C上，则亦在C上，
故曲线C关于坐标原点对称，故A正确；
对B：若，，，
则，即，当且仅当时等号成立，
故曲线C上的点到原点的最大距离为，故B正确；
对C：由B知，故曲线C在圆内部，
圆的面积为，
故叶草曲线C所围的区域面积不大于，故C错误；
对D：由B知，则，，
则当x、y为整数时，只有、，此时满足曲线C，
故四叶草曲线C只经过1个整点，故D错误.
故选：AB.
12．答案：115
解析：依题意，，，
而线性回归方程为，则，
所以.
故答案为：115
13．答案：4
解析：函数的定义域为，求导得，
由，得或，由，得或，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
所以函数的所有极值之和为.
故答案为：4
14．答案：/；
解析：
设椭圆的半焦距为c，
则，，①
因为在方向上的投影向量为，点P在第一象限，
所以点P的横坐标，
代入椭圆C的方程得，
又点P在双曲线上，
所以，②
由①②解得，，
所以椭圆C的离心率为；
双曲线E的渐近线方程为.
故答案为：；.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）等差数列中，，，则公差，因此，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以.
16．答案：（1）能；
（2）分布列见解析，数学期望为
解析：（1）零假设：保护动物意识的强弱与性别无关，
由表中数据计算，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01.
（2）从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为：
数学期望.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）以点C为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，
所以，，
因为，所以，
所以，
因为，则，
解得；
（2）因为P是线段AC的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则有，，即，
显然平面的一个法向量为，
设平面ABC与平面PBF的夹角为，
则，
所以，
即平面ABC与平面PBF夹角的正弦值为.
18．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）依题意，，由,，得，，
由，得，即，
整理得，所以.
（2）由（1）知，，由，，得，，
则，
，
，
所以向量，的夹角的余弦值.
19．答案：（1），；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1），；
（2）构造函数，，
由（1）知，，
当且仅当，即时，等号成立，
故在上单调递增，则，
故在上恒成立，即得证；
（3）由，则，
令，则，
令，则，
令，则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
由，
且定义域为R，则为奇函数，
由，则在R上单调递增，
故具有唯一零点.
x
15
16
18
19
22
y
102
98
115
m
120
性别
保护动物意识
合计
强
弱
男性
30
70
100
女性
60
40
100
合计
90
110
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P