2023-2024学年贵州省安顺市高一下学期期末教学质量监测考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年贵州省安顺市高一下学期期末教学质量监测考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=(1+i)2，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 4
2.在复平面中，复数i21−i对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知e1,e2是两个不共线的向量，a=2e1−e2,b=ke1+2e2，若a与b是共线向量，则实数k的值为( )
A. 1B. −1C. 4D. −4
4.下面的折线图展示了我国2017∼2022年某种疫苗进出口均价随时间的变化情况，则下列结论正确的是( )
A. 疫苗进口均价的中位数小于2500美元/千克
B. 疫苗出口均价的极差大于3000美元/千克
C. 疫苗进口均价逐年递增
D. 疫苗出口均价的方差大于疫苗进口均价的方差
5.已知a,b为单位向量，则“|a+b|< 2|a|”是“a与b的夹角是钝角”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知球O的体积为36π，球O被一个平面所截得的截面面积为5π，则球心O到该截面的距离为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.若将函数f(x)=sin2x−cs2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于原点对称，则φ的最小正值为( )
A. π8B. π4C. 3π8D. 3π4
8.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是23，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为( )
A. 227B. 827C. 2027D. 2627
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A，B是相互独立事件，且P(A)=P(B)=12，则下列说法一定正确的是( )
A. A与B可能互斥
B. 因为P(A)+P(B)=1，所以A与B可能相互对立
C. P(A∪B)=34
D. P(AB)=14
10.已知平面α,β,γ，且α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n，则下列结论正确的是( )
A. m与n可能是异面直线
B. 若l//m，则m//n
C. 若m∩n=O，则O∈l
D. 若α,β,γ两两垂直，则l，m，n也两两垂直
11.如图，在平面四边形ABCD中，下列结论一定正确的是( )
A. AB+DC=AC+DB
B. (AB+DC)⋅(BC+AD)=AC2+BD2
C. 2AC⋅BD=AD2+BC2−AB2−CD2
D. 若AB⋅AD+BA⋅BC+CB⋅CD+DC⋅DA=0，则四边形ABCD为平行四边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设i为虚数单位，已知1+2i是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，其中m,n∈R，则m= ．
13.设e是与b方向相同的单位向量，若a在b上的投影向量为−8e，且b=3，则a⋅b= ．
14.如图，透明塑料制成的四棱锥密闭容器P−ABCD内装有一定量的水(容器的厚度忽略不计)，底面ABCD为平行四边形，固定容器底面一边AB于地上，再将容器从图1的位置倾斜到图2的位置，图2的水面恰好经过CDEF，其中E,F分别为棱PA,PB的中点，则该容器中有水的部分与没有水的部分的体积之比为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图所示，已知▵ABC中，D为AC上一点，∠A=π4,AB=4,BD= 10,AD>AB．

(1)求sin∠ADB；
(2)若sin∠BDC=2sin∠C，求DC的长．
16.(本小题12分)
柜子里有3双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为a1，a2，记第2双鞋左右脚编号为b1，b2，记第3双鞋左右脚编号为c1，c2.如果从中随机取出4只，那么
(1)写出试验的样本空间Ω，并求恰好取到两双鞋的概率；(若取到a1，b1，c1，c2，则样本点记为a1b1c1c2，其余同理记之.)
(2)求事件M“取出的鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋”的概率．
17.(本小题12分)
树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数认可系数=认可程度平均分100不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中x的值和第70百分位数(结果保留两位小数)；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
18.(本小题12分)
如图，圆O的圆心在坐标原点，半径为2,P0(1, 3)，动点P从P0处开始在圆O上按逆时针方向以ωrad/s(ω>0)的角速度作匀速圆周运动，则t秒之后，点P的纵坐标y=f(t)可以表示为f(t)=Asin(ωt+φ)(A>0,|φ|<π2)．
(1)写出A和φ的值；
(2)若函数f(t)在[0,2π3]上恰有两个零点，求ω的取值范围；
(3)若函数f(t)的最小正周期为2π,g(t)=f(t)⋅f(t+π6)− 3，求g(t)在[0,π2]上的值域．
19.(本小题12分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱CC1,BC的中点．
(1)判断点F是否在平面AD1E内，并说明理由；
(2)求平面AD1E与平面ABCD所成的锐二面角的正切值；
(3)求点A1到平面AD1E的距离．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.D
5.B
6.B
7.C
8.D
9.CD
10.BCD
11.ACD
12.−2
13.−24
14.5:3或53
15.(1)
在▵ABD中，由正弦定理可得ABsin∠ADB=BDsin∠A，
所以sin∠ADB=ABBDsin∠A，
又因为∠A=π4,AB=4,BD= 10，
所以sin∠ADB=4 10× 22=2 55；
(2)
因为AD>AB，所以∠ABD>∠ADB，所以∠ADB<90∘，
由(1)结论，计算可得cs∠ADB= 1−sin2∠ADB= 55，
法1：由正弦定理可知BCsin∠BDC=BDsin∠C，又sin∠BDC=2sin∠C，
所以BC=2BD=2 10，
由余弦定理可得BC2=BD2+DC2−2BD⋅DCcs∠BDC，
化简整理得DC2+2 2DC−30=0，
解得DC=3 2．
法2：因为sin∠BDC=sin∠ADB=2 55且sin∠BDC=2sin∠C，
所以sin∠C=sin∠BDC2= 55，
由题意可得∠C<∠ADB，所以cs∠C=2 55，
所以sin∠DBC=sin∠ADB−∠C
=sin∠ADB⋅cs∠C−cs∠ADB⋅sin∠C
=2 55×2 55− 55× 55=35，
在▵BDC中，由正弦定理可得DCsin∠DBC=BDsin∠C，
所以DC=sin∠DBCsin∠CBD=35 55× 10=3 2．

16.解：(1)由题意得，试验的样本空间为：
Ω={a1a2b1b2,a1a2b1c1,a1a2b1c2,a1a2b2c1,a1a2b2c2,a1a2c1c2,a1b1b2c1,
a1b1b2c2,a1b1c1c2,a1b2c1c2,a2b1b2c1,a2b1b2c2,a2b1c1c2,a2b2c1c2,b1b2c1c2}，
设A表示事件“恰好取到两双鞋”，则A={a1a2b1b2,a1a2c1c2,b1b2c1c2}，
所以n(Ω)=15，n(A)=3，故事件“恰好取到两双鞋”的概率为P(A)=315=15；
(2)由(1)知，事件M“取出的鞋子中至少有两只左脚”为：
M = {a1a2b1b2,a1a2b1c1,a1a2b1c2,a1a2b2c1,a1a2c1c2,
a1b1b2c1,a1b1b2c2,a1b1c1c2,a1b2c1c2,a2b1b2c1,a2b1c1c2,b1b2c1c2}，
所以n(Ω)=15，n(M)=12，故事件“取出的鞋子中至少有两只左脚”的概率为P(M)=1215=45．
17.(1)
由图可知：10×x+0.015+0.02+0.03+0.025=1，所以x=0.01；
评分在[50,80)内的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.7，[50,90)内的频率为0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.7，
则第70百分位数位m∈[80,90),m=80+0.7−0.450.3×(90−80)≈88.33,
所以第70百分位数为88.33．
(2)
低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.2=2:3:4，
则应选取评分在60,70的学生人数为：30×32+3+4=10(人)．
(3)
由图可知，认可程度平均分为：
x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85，
显然认可系数低于0.85，所以“美食”工作需要进一步整改．

18.(1)
依题意，A=2，由f(0)= 3，得2sinφ= 3，即sinφ= 32，而|φ|<π2，
所以φ=π3．
(2)
由(1)知，f(t)=2sin(ωt+π3)，当t∈[0,2π3]时，ωt+π3∈[π3,2π3ω+π3]，
由函数f(t)在[0,2π3]上恰有两个零点，得2π≤2π3ω+π3<3π，解得52≤ω<4，
所以ω的取值范围是52≤ω<4．
(3)
由(1)知f(t)=2sin(ωt+π3)，ω=2π2π=1，即f(t)=2sin(t+π3)，
g(t)=f(t)⋅f(t+π6)− 3=2sin(t+π3)⋅2sin(t+π2)− 3
=412sint+ 32cstcst− 3=sin2t+ 3cs2t=2sin2t+π3，
当t∈[0,π2]时，2t+π3∈[π3,4π3]，则− 32≤sin(2t+π3)≤1，
所以g(t)的取值范围是− 3,2．

19.(1)
点F在平面AD1E内，理由如下：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接BC1,EF，AB//CD//C1D1,AB=CD=C1D1，
则四边形ABC1D1是平行四边形，BC1//AD1，由E，F分别为棱CC1,BC的中点，
得EF//BC1//AD1，所以点F在 平面AD1E内.
(2)
连接AF，由DD1⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，得DD1⊥AF，
过D作DO⊥AF于O，连接D1O，DO∩DD1=D,DO,DD1⊂平面DOD1，
则AF⊥平面DOD1，而OD1⊂平面DOD1，于是D1O⊥AF，
∠DOD1是平面AD1E与平面ABCD所成的锐二面角，
AF= 12+(12)2= 52，sin∠DAO=sin∠AFB=ABAF=2 5，
则DO=ADsin∠DAO=2 5，tan∠DOD1=DD1DO= 52，
所以平面AD1E与平面ABCD所成的锐二面角的正切值 52．
(3)
连接A1D，则A1D与AD1互相平分，即A1D的中点在平面AD1E上，
因此点A1到平面AD1E的距离等于点D到平面AD1E的距离，
由(2)知，AF⊥平面DOD1，而AF⊂平面AD1E，则平面DOD1⊥平面AD1E，
而平面DOD1∩平面AD1E=D1O，于是点D在平面AD1E上的射影在D1O上，
因此点D到平面AD1E的距离等于Rt▵DOD1斜边D1O上的高DD1⋅DO DD12+DO2=1×2 5 12+(2 5)2=23，
所以点A1到平面AD1E的距离为23．