贵州省安顺市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测考试数学试题

这是一份贵州省安顺市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测考试数学试题，共9页。

高二 数学试题
特别提示：
1．本卷为数学试题单，共22个题，共4页；
2．考试采用闭卷形式、用笔在特制答题卡上答题，不能在本题单上作答；
3．答题时请仔细阅读答题卡上的注意事项，并根据本题单的编号在答题卡上找到答题的对应位置，用规定的笔书写．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列满足点在直线上，则（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．抛物线的焦点为F，准线为l，则点F到l的距离为（ ）
A．1B．2C．D．4
4．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记，，…，的长度构成的数列为，则（ ）
A．B．1C．10D．100
5．P：，，是三个不共面的单位向量，q：可为空间的一个基底，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（ ）
A．8或20B．20C．6或22D．22
7．如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（ ）
A．B．C．D．1
8．已知椭圆的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．数列的通项公式为，其前n项和为，则下列说法一定正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递减数列
C．的最小值为D．有可能大于1
10．已知两直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行
B．存在实数m，使直线垂直于x轴
C．存在实数m，使直线，互相垂直
D．当时，直线的方向向量不存在
11．如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，点P在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．与平面ABCD所成角为
B．平面ABD与平面的夹角的余弦值为
C．当点P是线段的中点时，平面
D．当点P与点C重合时，点P到平面的距离最小
12．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且（c为双曲线C的半焦距），点P在双曲线C的左支上，点I为的内心，若成立，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率B．
C．点I的横坐标为定值D．当轴时，
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知等比数列满足，则__________．
14．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为__________．
15．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕折成四面体ABCD．当四面体ABCD中满足平面平面ACD时，则
（1）；
（2）平面平面BCD；
（3）为等腰直角三角形
以上结论中正确的是__________（填写你认为正确的结论序号）．
16．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列中，，（，），且是和的等差中项．
（1）求实数的值；
（2）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．
18．（本小题满分12分）
已知直线，圆．
（1）若直线l与圆C无公共点，、求实数m的取值范围；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且（C为圆C的圆心）为直角三角形，求实数m的值．
19．（本小题满分12分）
已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．
20．（本小题满分12分）
将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体．已知，，点E在线段上，P为圆弧的中点．
（1）当E是线段的中点时，求异面直线AE写所成角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点E，使得平面？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求的表达式．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆经过点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的右顶点和上顶点分别为A，B，P为椭圆C上位于第三象限内的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，探究四边形ABNM的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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全市2023—2024学年度第一学期期末教学质量监测考试
高二数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．314．15．（1）（2）16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
解：（1）根据题意有，
因为是和的等差中项，所以，解得．
（2）由（1）知，所以，
又，所以（常数），
所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列．则，所以．
18．（本小题满分12分）
解：（1）易知圆C的圆心坐标为，半径．
由直线l与圆C无公共点知，
圆心到直线的距离或．
故实数m的取值范围是或．
（2）由题意知，半径CA，CB互相垂直，为等腰直角三角形．
又圆心到直线的距离为，
所以，即，解得：．
19．（本小题满分12分）
解：（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知，
点P的轨迹为以焦点，准线方程为抛物线，
故点P的轨迹C的方程为：．
（2）由（1）得，曲线C的方程为：．
由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设，
由得：．
设，，则，．
所以，，故．
20．（本小题满分12分）
解：（1）如图，以A为原点，以AC，AB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz．
则，，，，
当E是线段的中点时，，，，
则，
所以异面直线AE与所成角的余弦值为．
（2）设，
设平面的法向量为，
又，，，
所以，令，得，
若平面，则，解答．
所以在线段上存在点E，使得平面，此时．
21．（本小题满分12分）
解（1）因为，所以（，）．
所以（，）．
又也满足上式，所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以，．
作差，．
22．（本小题满分12分）
解：（1）由题设得，，又椭圆C经过点，所以，
由解得：，．故椭圆C的方程为：．
（2）设（，），则，即．
又，，所以直线PA的方程为，
令，得，从而；
直线PB的方程为，令，得，
从而．
因为，所以四边形ABNM的面积，
即
．
故四边形ABNM的面积为定值4．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
C
A
B
B
D
题号
9
10
11
12
答案
BC
AC
BCD
ABC