安徽省安庆市石化第一中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题．（共10题，每小题4分，共计40分）
1. 下列各数中无理数是（ ）
A. B. C. 3.1415926D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数，熟记无理数即为开方开不尽的数或是无限不循环小数．根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：是开方开不尽数，故是无理数，符合题意；
，，，它们均是有理数，故不符合题意；
故选：．
2. 已知肥皂泡的厚度约为米，数据“”用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：．
3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，正确记忆分式有意义的条件分母不等于0是解题关键．
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：．
故选：D．
4. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到是解题的关键．先估算出的范围，再得到的范围，即可求解．
【详解】解：，
，
，
估计的值应在5和6之间，
故选：．
5. 如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判断直线与平行的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法，对各条件逐一判断即可．
【详解】解：①∵∠1与∠2无特殊位置关系，
∴由∠1=∠2不能得到l1//l2，故本条件不合题意；
②∵∠4=∠5，
∴l1//l2（同位角相等，两直线平行），故本条件符合题意；
③∵∠2+∠4=180°，
∴l1//l2（同旁内角互补，两直线平行），故本条件符合题意；
④∵∠1=∠3，
∴l1//l2（内错角相等，两直线平行），故本条件符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了行线的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
6. 如果不等式组有解，那么m的取值范围是 （ ）
A. m＞5 B. m＜5 C. m≥5 D. m≤5
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵不等式组有解，∴m≤x＜5，∴m＜5．故选B．
点睛：本题主要考查了不等式组有解的条件，在解题时要会根据条件列出不等式．
7. 一轮船从A点出发，沿南偏东方向行使30海里到达C点，再沿北偏东方向行使20海里到达B点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了方位角的定义，关键是由已知方位角的度数写出相应角的度数．
过点C作，由已知可得，，由得再根据求解．
【详解】解：过点C作，
由已知，，
，
．
故选：B．
8. 多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（ ）
A. 2个B. 4个C. 6个D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出、之积为，、之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和．
【详解】解：时，；
时，；
时，；
时，；
的取值有4个．
故选：．
9. 如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A. 5B. 4.8C. 4.5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，线段的值最小，再利用等积法求出最小值即可．
【详解】解：∵为所在直线上一动点，
∴当时，线段的值最小，
∵，，
∴当时，，即：，
∴，即：线段的最小值是4.8；
故选B．
10. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，即8为“和谐数”），在不超过2024的正整数中，将所有的“和谐数”从小到大排列，最中间的和谐数为（ ）
A. 1016B. 1012C. 1008D. 最中间的有两个：1008和1016
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了数字类规律问题，解答此题的关键是判断出在不超过的正整数中，“和谐数”的规律．根据题意，不超过的正整数中，“和谐数”有，，，，，，发现规律：“和谐数”都是8的倍数，求出在不超过的正整数中，判断出一共有253个“和谐数”，并求出最中间的“和谐数”．
【详解】解：，，，，，，
，，，，，，
“和谐数”都是8的倍数，
，
不超过的正整数中，最大的“和谐数”是，
在不超过的正整数中，所有的“和谐数”有，一共有个，最中间的数是1个，是第个“和谐数”．
最中间的“和谐数”为
故选：．
二．填空题（共4小题，每题5分，共计20分）
11. 若分式的值等于0，则a的值为___．
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零且分母不为零进而得出答案．
【详解】解：若分式的值等于0，则a-5=0且a≠0，
解得a＝5，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
12. 不等式组的解集为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的解法，关键是运用不等式的基本性质正确求解．
先在不等式两边同时减去3，再在不等式两边同时除以，注意同时在不等式两边同时除以负数时不等号要改变方向．
【详解】解：
．
故答案为：．
13. 已知实数a满足，则的值是______________．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，根据已知条件设元求解是关键．设，，得，，利用完全平方公式变形得，代入计算即可得答案．
【详解】解：设，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：7．
14. 在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为______________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题时注意：如果 一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补．
根据平行线性质得出①，②，再根据，分两种情况分别求出两个角的度数即可．
【详解】解：与的两边分别平行，，．
分三种情况：
（1）如图1，与的两边都不相交，
延长交于，，
，
，
，
；
（2）如图2，与的一条边相交，
，
，
，
，
；
（3）如图3，与的两条边都相交，
，
，
，
，
．
综上可得①或②，
比的3倍少，
③，把③代入①得：，
解得，；
把③代入②得：，
解得，
故答案为：或．
三．解答题．（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，关键是掌握平方根、立方根、乘方和零指数幂的运算法则．
由，，，，再代入计算即可．
【详解】解：
．
16. 化简求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】第一项先提公因式再利用平方差公式计算，第二项利用完全平方公式展开，再利用整式加减运算法则化简，将与的值代入计算即可求．
【详解】解：
，
∴当时，
原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 已知：，，
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂相除，掌握幂的乘方运算和同底数幂相除法则的逆用是解题关键．
（1）先逆用幂的乘方法则变形，然后再把代入计算即可；
（2）先逆用同底数幂相除和幂的乘方运算法则变形，然后再把，代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴．
18. 如图，在网格图中，平移三角形使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F．
（1）画出平移后的三角形；
（2）连接，则线段与的关系是______________．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
（1）根据平移的性质即可画出平移后的三角形；
（2）连接、，可得线段与的关系．
【小问1详解】
解：如图即为平移后的三角形；
【小问2详解】
解：线段与的关系是：，．
故答案为：，．
五、解答题．（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，画图见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式组，掌握不等式的基本性质是解题的关键．分别求解组中不等式，取公共部分得不等式组解集．
【详解】解：
5x>-5-2x≤-3-5，
x>-1x≤4，
．
数轴表示如下：
20. 已知，如图，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．由得，再由已知，得，从而证得．
详解】证明： （已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
（等量代换）．
（同旁内角互补，两直线平行）．
六、解答题．（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 某超市分别用元购进A、B两种糖果，因为A糖果的进价是B糖果的1.5倍，所以进回的A糖果的质量比B糖果少．
（1）如果超市将这两种糖果的销售利润定为，则两种糖果每千克售价分别是多少元？
（2）如果将这两种糖果混合在一起出售，总盈利不变（即仍为），那么混合后的糖果单价应定为多元？
【答案】（1）甲糖果的售价为13.2元千克，乙糖果的售价为11元千克．
（2）混合后的糖果单价应定为12元千克
【解析】
【分析】本题主要考查的是分式方程的应用，找出题目的等量关系是解题的关键．
（1）设B糖果的进价为元，A糖果的进价为元，然后依据进回的A糖果的重量比B糖果少列方程求出两种糖果的价格再依据售价进价利润求解即可；
（2）用总售价糖果的总重量即可．
小问1详解】
解：设B糖果的进价为元，A糖果的进价为元．
根据题意得：，解得：，
经检验是方程的解且符合题意
．
所以A糖果的进价为12元千克，B糖果的进价为千克．
甲糖果的售价元千克，乙糖果的售价为元千克．
答：甲糖果的售价为13.2元千克，乙糖果的售价为11元千克．
【小问2详解】
解：合后的糖果单价（元．
答：混合后的糖果单价应定为12元千克．
22. 如图，AD//EF,∠1+∠2=180°，
（1）若∠1=50°，求∠BAD的度数；
（2）若DG⊥AC，垂足为G，∠BAC=90°，试说明:DG平分∠ADC.
【答案】（1）50°（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据∠1=50°，∠1+∠2=180°，可求出∠2=130°，再由AD//EF，可知∠BAD=180°-∠2=50°；（2）由（1）可知∠1=∠BAD，再利用DG⊥AC，∠BAC=90°，得出AB∥DG，故∠BAD=∠ADG，故∠1=∠ADG，即可知DG平分∠ADC.
【详解】（1）∵∠1=50°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=130°，
又∵AD//EF，
∴∠BAD=180°-∠2=50°；
（2）由（1）可知∠1=∠BAD，
∵DG⊥AC，∠BAC=90°，
∴AB∥DG，
∴∠BAD=∠ADG，
∴∠1=∠ADG，
∴DG平分∠ADC.
【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的判定与性质.
七、解答题．（本题满分14分）
23. 阅读下列材料：
解答：“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：
又．
又①
不等式①三者同加2，得．
即②
①+②得，．
（1）已知，且，则的取值范围是______________．
（2）一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，问出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围（定价用w表示）？
（3）另一家生产桌椅企业，一张桌子的售价不低于130元，一把椅子的售价不超过100元，若一张桌子的售价比一把椅子高m元，则该企业出售一套桌椅的定价w范围是（结果用含m的式子表示）______________．
【答案】（1）
（2）出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次不等式的解法．
（1）熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
（2）设每张椅子的价格为元，则每张桌子的价格为元，由已知可知，再求出的范围即可；
（3）设每张椅子的价格为元，则每张桌子的价格为元，由已知可知，再求出的范围即可．
【小问1详解】
解：，
．
又，
，
．
又，
．
同理得：，
由①②得：．
的取值范围是：．
【小问2详解】
解：设每张椅子的价格为元，则每张桌子的价格为元，
由已知可知，解之得，
∵，
∴，
答：出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围；
【小问3详解】
解：设每张椅子价格为元，则每张桌子的价格为元，
由已知可知，解之得，
∵，
∴，
故答案为：．