安徽省安庆市20校联考2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间∶ 120分钟 满分∶ 150分）
一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出，再计算结果的算术平方根即可．
【详解】解：算术平方根是：，
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根的求解，仔细审题，读懂题意是解题关键．
2. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，进行计算，即可求解．
【详解】A、，故此选项正确，符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能计算，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，解题的关键是掌握相关运算法则，正确计算．
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质，即可解答．
【详解】．若，则，此选项不合题意；
．当时，，此选项符合题意；
．若，则，此选项不合题意；
．若，则，此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式，不等号的方向不变．性质2、不等式两边都乘（或除以）同一个正数，正数不等号的方向不变．性质3、不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变改变．
4. 在 ，， ，， 2022，（两个1之间依次增加一个0 ）这几个数中无理数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解： ，， ，， 2022，（两个1之间依次增加一个0 ）这几个数中无理数有，， ，，（两个1之间依次增加一个0 ）,共4个，
故选：C．
5. 在数轴上表示不等式组的解集正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据选项即可求解．．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：
在数轴上表示不等式组的解集如图所示
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
6. 下列多项式中，完全平方式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
B、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
C、，是完全平方式，符合题意；
D、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是完全平方式的判断，掌握完全平方公式的特征是解题关键．
7. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法，熟练掌握幂的乘方与同底数幂的除法是解题的关键．
8. 若，则（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
【详解】原等式变形得：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
9. 要使展开式中不含项，则的值等于（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x的降序排列，使x的二次项的系数为0即可．
【详解】解：（x2-x+5）（2x2-ax-4）
=2x4-ax3-4x2-2x3+ax2+4x+10x2-5ax-20
=2x4-（a+2）x3+（a+6）x2+（4-5a）x-20，
∵展开式中不含x2项，
∴a+6=0，
∴a=-6，
故选：A．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确解答的前提，令x的二次项的系数为0是正确解答的关键．
10. 关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别解不等式①②，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
∵x的一元一次不等式组有解，
∴
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式组的解集的方法是解题的关键．
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 请写出一个比﹣小的无理数：_____．
【答案】-
【解析】
【分析】本题答案不唯一，写出一个符合题意的即可．
【详解】解：﹣比﹣小．
故答案可为：﹣．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，属于基础题，写出一个即可．
12. 肆虐全球两年多的新型冠状病毒，据现代医学研究它的平均直径约为100纳米．其中1纳米＝1.0×10﹣9米，则新型冠状病毒的平均直径用科学记数法表示为_______
【答案】米
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：100纳米米米，
故答案为：米．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
13. “的倍与的差不小于”列出的不等式是_____
【答案】
【解析】
【点睛】本题考查了列不等式，不小于就是大于等于，根据的倍与的差不小于可列出不等式．
【详解】解：的倍与的差不小于，列出的不等式是
故答案为：．
14. 边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】将图形补全为边长为的长方形，进而根据阴影部分面积等与长方形面积的一半减去小正方形的面积即可求解
【详解】如图，
图中阴影部分的面积为
故答案为：
【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，添加辅助线求解是解题的关键．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算算术平方根、零指数幂与负整数指数幂、化简绝对值，再计算实数的加减即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了算术平方根、零指数幂与负整数指数幂、实数的加减，熟练掌握各运算法则是解题关键．
16. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】
由①得：
，
，
；
由②得：
，
，
，
不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 先化简，再求值:，其中，．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据整式的运算法则先化简，再把a、b的值代入计算即可求出答案．
【详解】


;
把a=1,b=-1代入原式 .
【点睛】考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
18. 观察下列关于自然数等式：
32-4×12=5 ①
52-4×22=9 ②
72-4×32=13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92—4×（ ）2=（ ）；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.
【答案】（1）4，17；
（2）第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1，证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．
解：（1）32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
所以第四个等式：92﹣4×42=17；
（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=4n+1，
左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，
右边=4n+1．
左边=右边
∴（2n+1）2﹣4n2=4n+1．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）写出的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据正负数的意义计算；
（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．
【详解】解：（1）由题意A点和B点的距离为2，A点表示的数为，因此点B所表示的数；
（2）把m的值代入得：
．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．
20. 如图，现有一块长为(4a+b)米，宽为(a+2b)米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为a米的正方形．

（1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
（2）若a=2，b=3，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元?
【答案】（1）（3a2+9ab+2b2）平方米；
（2）完成绿化共需要8400元．
【解析】
【分析】（1）利用矩形面积公式求出长方形面积，减去中间正方形面积化简即可；
（2）将a=2，b=3代入公式（3a2+9ab+2b2），计算即可．
【小问1详解】
解：S=（4a+b）（a+2b）-a2
=4a2+8ab+ab+2b2-a2
=（3a2+9ab+2b2）平方米；
【小问2详解】
解：当a=2，b=3时，
S=3×22+9×2×3+2×32=84平方米，
100×84=8400元．
答：完成绿化共需要8400元．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式以及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
六、(本题12分)
21. “绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知2台A型设备和3台B型设备日处理能力一共为72吨；3台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为52吨．
（1）求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为多少吨？
（2）根据实际情况，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．要求B型设备不多于A型设备的3倍，且购回的设备日处理能力不低于144吨．请你利用不等式的知识为该景区设计购买A、B设备的方案．
【答案】（1）1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为12、16吨．
（2）该景区购买方案共有2种，方案1：购买A型设备为3台，则购买B型设备为7台；方案2：购买A型设备为4台，则购买B型设备为6台．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用：
（1）设1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为x、y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买A型设备为m台，则购买B型设备为台，根据题意列出一元一次不等式组，进而求正整数解即可求解．
小问1详解】
解：设1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为x、y吨，由题意得：
，
解得，
答：1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为12、16吨．
【小问2详解】
解：设购买A型设备为m台，则购买B型设备为台．
由题意得：，
解得，
∴，
∵m为正整数，
∴或4，
∴该景区购买方案共有2种，
方案1：购买A型设备为3台，则购买B型设备为7台；
方案2：购买A型设备为4台，则购买B型设备为6台．
七、(本题12分)
22. 已知多项式，多项式．
（1）若多项式是完全平方式，则 ．
（2）已知时，多项式的值为，则时，多项式的值为多少？
（3）在第（2）问的条件下，求的值．
【答案】（1）1；（2）3；（3）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方式的定义计算即可；
（2）根据题意可得（m+1）2+n2=0，再根据实数的非负性得到m和n，再代入计算即可；
（3）原式去括号合并，再将A和B代入，去括号合并，最后将m和n的值代入计算即可．
【详解】解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2=1；
（2）当x=m时，m2+2m+n2=-1，
∴m2+2m+1+n2=0，
∴（m+1）2+n2=0，
∴m=-1，n=0，
∴x=-m时，多项式A=x2+2x+n2的值为m2-2m+n2=3；
（3）
=
=
=
=
=
=
=
【点睛】本题考查整式的加减运算—化简求值，完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
八、(本题14分)
23. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、．
（1）请判断与的大小： ；
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含的代数式表示）；
②若该正方形的面积为，试探究：与的差（即）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；
（3）若满足条件的整数有且只有个，直接写出的值为 ．
【答案】（1）＞；（2）①m+4；②是常数，9；（3）1015
【解析】
【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可；
（2）根据长方形和正方形的周长和面积公式即可得到结论；
（3）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论．
【详解】解：（1）图①中长方形的面积S1=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，
图②中长方形的面积S2=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，
比较：∵S1-S2=2m-1，m为正整数，m最小为1
∴2m-1≥1＞0，
∴S1＞S2；
故答案为：＞；
（2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4，
则该正方形的边长为m+4；
②图中甲的长方形周长为2（m+7+m+1）=4m+16，
∴该正方形边长为m+4，
∴S3-S1=（m+4）2-（m2+8m+7）=9，
∴这个常数为9；
（3）由（1）得，|S1-S2|=|2m-1|，且m为正整数，2m-1＞0，
∴S1-S2=2m-1，
∵2021＜n≤|S1-S2|，
∴2021＜n≤2m-1，
∵整数n有且只有8个，
∴2029≤2m-1<2030，
解得：1015≤m<，
∵m为正整数，
∴m=1015．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式、长方形的性质、正方形的性质等知识．