2025年高考数学一轮复习-第三章-第9节-函数与方程-专项训练【含答案】

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[基础强化]
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 eq \f(1,6) B．1和－ eq \f(1,6)
C． eq \f(1,2) 和 eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,2) 和－ eq \f(1,3)
2．方程lg4x＋x＝7的根所在区间是( )
A．(1，2) B．(3，4)
C．(5，6) D．(6，7)
3．函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,lg x－1，x>0)) 的所有零点之和为( )
A．7 B．5
C．4 D．3
4．设函数f(x)＝ eq \f(1,3) x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间( eq \f(1,e) ，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间( eq \f(1,e) ，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间( eq \f(1,e) ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间( eq \f(1,e) ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
5．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点位于( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
6．方程lg3x＋x－3＝0的解所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
7．函数f(x)＝x eq \f(1,2) －( eq \f(1,2) )x的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1，3} B．{－3, －1，1，3}
C．{2－ eq \r(7) ，1，3} D．{－2－ eq \r(7) ，1，3}
9．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx＋2，x≤0，,ln x，x>0)) (k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k满足( )
A．k≤2 B．－1C．－2≤k<－1 D．k≤－2
二、填空题
10．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.
11．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x－2，x≤0，,\r(x)，x>0，)) 若f(x0)＝1，则x0＝________.
12．已知偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－lga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2023·山西省高三第一次模拟]设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|lg2（x－2）|，24)) ，若f(x)＝a有四个实数根x1、x2、x3、x4，且x1A．( eq \f(16,3) ， eq \f(13,2) ) B．(4， eq \f(13,2) )
C．(3， eq \f(17,4) ) D．(3，＋∞)
14．[2023·广西四市高三质检] 设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x，0≤x<1，,f（\f(x,2)）＋1，x≥1，)) 若方程f(x)＝lgax(a>0且a≠1)有唯一实根，则a的取值范围是( )
A.( eq \f(1,e) ，1)∪( eq \r(5,4) ，＋∞)
B．( eq \f(1,e) ，1)∪(1， eq \r(5,4) )
C．(0， eq \f(1,e) )∪( eq \r(5,4) ，＋∞)
D．(0， eq \f(1,e) )∪(1， eq \r(5,4) )
15．[2023·江西省高三二模]已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1＋21－x－2，x≥0,|lg4（－x）|，x<0)) ，f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1A．－2 B．－ eq \f(3,2)
C．－1 D．－ eq \f(1,2)
16．[2023·江西省高三一模]已知f(x)＝ eq \f(x,x－1) (x>1)，若α，β分别是方程f(x)＝ex，f(x)＝ln x的根，则下列说法：①α＋β>4；②e<αβ<2e2；③α＋β＝αβ，其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
第三章-第9节-函数与方程-专项训练（解析版）
1．B 由题意得x2－ax＋b＝0有两根2，3.
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝b，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝6.))
由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，
得x＝－ eq \f(1,6) 或x＝1.
2．C 令f(x)＝lg4x＋x－7，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)<0，所以函数f(x)＝lg4x＋x－7的零点所在的区间为(5，6)，即方程lg4x＋x＝7的根所在区间是(5，6).故选C.
3．A 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3＝0，,x≤0，)) 得x1＝－3，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg x－1＝0，,x>0，)) 得x2＝10，∴函数f(x)的所有零点之和为10－3＝7.
4．D ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e))) ＝ eq \f(1,3e) ＋1>0，
f(1)＝ eq \f(1,3) >0，f(e)＝ eq \f(e,3) －1<0，
∴f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1)) 内无零点，在(1，e)内有零点．
5．B ∵f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝ln 2＋4－6<0，f(3)＝ln 3>0，
∴f(x)的零点位于(2，3).
6．C 令f(x)＝lg3x＋x－3，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝lg32－1<0，f(3)＝lg33＋3－3＝1>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)即方程的解所在的区间为(2，3).
7．B ∵函数f(x)＝x eq \f(1,2) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 为单调增函数，且f(0)＝－1<0，f(1)＝ eq \f(1,2) >0, ∴f(x)在(0，1)内有一个零点．
8．D 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，
∴g(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≥0，,－x2－4x＋3，x<0，))
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3＝0，,x≥0，))
得x＝1或x＝3；
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2－4x＋3＝0，,x<0，)) 得x＝－2－ eq \r(7) ，故选D.
9．D 由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数图像只有一个公共点，所以k<0，f(x)＝kx＋2恒过点(0，2)，要使y＝|f(x)|与y＝－k的图像有三个公共点(如图所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．故选D.
10. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1，1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得 eq \f(1,3) 11．±1
解析：由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x0－2＝1，,x0≤0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x0)＝1，,x0>0，))
得x0＝±1.
12．(3，5)
解析：∵偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，
∴函数f(x)的周期为2.在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－lga(x＋2)有3个零点等价于f(x)的图像与y＝lga(x＋2)的图像在区间[－1，3]内有3个交点．
当01且lga(1＋2)<1，lga(3＋2)>1，解得a∈(3，5).
13．A 作出函数f(x)的图像如图所示：
由图可知，当0由图可知，点(x3，a)、(x4，a)关于直线x＝5对称，则x3＋x4＝10，
由图可知，2由f(x1)＝f(x2)可得－lg2(x1－2)＝lg2(x2－2)，所以，x1－2＝ eq \f(1,x2－2) ，
所以，可得x1＝ eq \f(1,x2－2) ＋2，
所以， eq \f(（x3＋x4）x1,5) ＋ eq \f(1,x2－1) ＝2x1＋ eq \f(1,x2－1) ＝ eq \f(2,x2－2) ＋ eq \f(1,x2－1) ＋4，
易知函数g(x)＝ eq \f(2,x－2) ＋ eq \f(1,x－1) ＋4在(3，4)上为减函数，且g(3)＝ eq \f(13,2) ，g(4)＝ eq \f(16,3) ，
故 eq \f(（x3＋x4）x1,5) ＋ eq \f(1,x2－1) ＝ eq \f(2,x2－2) ＋ eq \f(1,x2－1) ＋4∈( eq \f(16,3) ， eq \f(13,2) ).
14．D 若x∈[2n－1，2n)(n∈N*)，即 eq \f(x,2n) ∈[ eq \f(1,2) ，1)，
有f(x)＝f( eq \f(x,2n) )＋n＝n＋1－ eq \f(x,2n) ，
作出函数y＝f(x)，y＝lgax的图像，如图，
由图像，可以发现当a∈[2，＋∞)时，两者无公共点，当f(2)＝lga2时，即lga2＝ eq \f(5,2) ，a＝ eq \r(5,4) 时，有两个公共点，故由图像可知，当a∈(1， eq \r(5,4) )时，两者有唯一公共点，当a<1时，由f(x)＝1－x与y＝lgax相切于点(1，0)时，由k＝y′|x＝1＝ eq \f(1,ln a) ＝－1可得a＝ eq \f(1,e) ，
结合图像可知，a∈(0， eq \f(1,e) )时，两者有唯一公共点．
综上，a的取值范围是(0， eq \f(1,e) )∪(1， eq \r(5,4) ).
15．D 设g(x)＝2x＋2－x－2，因为g(－x)＝g(x)，所以g(x)是偶函数，g(0)＝0，g(x)＝2x＋2－x－2≥2 eq \r(2x＋2－x) －2＝0(当且仅当x＝0时等号成立)，
故g(x)是偶函数，且最小值为0，
函数y＝2x－1＋21－x－2可以由函数y＝2x＋2－x－2的图像向右平移1个单位长度得到，
函数f(x)图像如图所示：
则x3＋x4＝2，且f(x3)≤f(0)＝ eq \f(1,2) ，
因为f(x1)＝f(x2)，
所以lg4(－x1)＝－lg4(－x2)，
所以lg4(－x1)＋lg4(－x2)＝0，
即(－x1)(－x2)＝1，
因为|lg4(－x2)|≤ eq \f(1,2) ，
即lg4(－x2)≥－ eq \f(1,2) ，所以x2∈(－1，－ eq \f(1,2) ]，
所以x1＋x2＝ eq \f(1,x2) ＋x2，
又因为h(t)＝t＋ eq \f(1,t) ，t∈(－1，－ eq \f(1,2) ]，
任取t1，t2∈(－1，－ eq \f(1,2) ]，且t1则h(t1)－h(t2)＝t1＋ eq \f(1,t1) －t2－ eq \f(1,t2) ＝(t1－t2)＋ eq \f(t2－t1,t1t2) ＝ eq \f(（t1t2－1）（t1－t2）,t1t2) ，
因为t1－t2<0，t1t2－1<0，
所以h(t1)－h(t2)>0，即h(t1)>h(t2).
所以y＝h(t)＝t＋ eq \f(1,t) 在t∈(－1，－ eq \f(1,2) ]上单调递减，
所以x1＋x2≥－2－ eq \f(1,2) ＝－ eq \f(5,2) ，
所以x1＋x2＋x3＋x4的最小值是－ eq \f(1,2) .
16．D f(x)＝ eq \f(x,x－1) ＝ eq \f(x－1＋1,x－1) ＝1＋ eq \f(1,x－1) (x>1)，
因为x>1，所以x－1>0，
所以f(x)>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
α，β分别是方程f(x)＝ex，f(x)＝ln x的根，
因为y＝ex与y＝ln x互为反函数，
所以y＝ex与y＝ln x的图像关于直线y＝x对称，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(x,x－1)（x>1）,y＝x)) ，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝2)) ，
画出函数y＝ex，y＝ln x和f(x)＝ eq \f(x,x－1) (x>1)的图像，
由图可得
1<α<2，
因为当x＝3时，ln 3＝ln eq \r(9) 当x＝4时，ln 4＝ln eq \r(3,43) >ln eq \r(3,e4) ＝ eq \f(4,3) ＝ eq \f(4,4－1) ，
所以3<β<4，
所以4<α＋β<6，所以①正确，
对于②，由图可得1因为1<α<2，所以e<αβ<2e2，所以②正确，
对于③，因为f(x)＝ eq \f(x,x－1) ＝ eq \f(x－1＋1,x－1) ＝1＋ eq \f(1,x－1) (x>1)的图像关于直线y＝x对称，
因为y＝ex和y＝ln x互为反函数，
所以(α， eq \f(α,α－1) )与(β， eq \f(β,β－1) )关于直线y＝x对称，
所以α＝ eq \f(β,β－1) 或β＝ eq \f(α,α－1) ，化简得α＋β＝αβ，所以③正确．