2023-2024学年贵州省安顺市高一上学期期末教学质量监测考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省安顺市高一上学期期末教学质量监测考试数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=−2,−1,0,1,2，B=xy= x+lg32−x，则A∩B=( )
A. 0,1,2B. 1,2C. −1,0D. 0,1
2.在直角坐标系xOy中，角α与角β均以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，则“α与β的终边相同”是“sinα=sinβ”的
( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数y=−3tan2x−π6的最小正周期为
( )
A. π6B. π2C. πD. 2π
4.下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为( )
A. y=−1xB. y=x2C. y=x13D. y=13x
5.已知某扇形的 圆心角是4π3，半径是3，则该扇形的面积是
( )
A. 4πB. 6πC. 8πD. 12π
6.为了能在规定时间T内完成预期的运输最Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是
( )
A. B. C. D.
7.若不等式1 a+2 b≥m a+2 b恒成立，则实数m的最大值为
( )
A. 2B. 3C. 4D. 9
8.设a=lg32，b=lg43，c=lg54，则
( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算正确的有( )
A. lg2+lg3=lg5B. lg3100=10lg310
C. 4lg45=5D. lg34⋅lg43=1
10.已知实数a，b满足a>b>1，则下列不等式一定成立的是
( )
A. a2>abB. b2>abC. a+1a>b+1bD. a−1a>b−1b
11.下列说法正确的是( )
A. 命题“∃x0>0，ex0−2x0+1=0”的否定为“∀x≤0，ex−2x+1≠0”
B. 若幂函数y=fx的图象过点3, 3，则f4=2
C. y=elnx与y=x为同一函数
D. 函数y=10−x与函数y=−lgx的图象关于直线y=x对称
12.设函数fx=csπ3−x，则下列结论正确的是
( )
A. fx的一个零点为x=π3B. y=fx的图象关于直线x=7π3对称
C. y=12fx是周期函数D. 方程fx=−lgx有3个解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数fx=1+xa−x是偶函数，则a= ．
14.已知函数fx=lga2x−1−2图象恒过定点P，在直角坐标系xOy中，角θ以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，角θ的终边也过点P，则sinθ的值是 ．
15.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：Rx=1m,当x=nm时其中m,n为整数,为nm即约真分数,0,当x=0或1或区间0,1上的无理数时.若fx是定义在R上且最小正周期为1的函数，当x∈0,1时，fx=Rx，则f20242023+f 5= ．
16.已知函数fx=lg6x−1−kk∈R.若k=0，则fx的零点为 ；若函数fx有两个零点x1,x2x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知tanα=−32，求下列各式的值．
(1)sin2π−αcsπ+αcsπ2−αcsπ−αsinα−πsin3π2+α；
(2)2sin2α−3cs2α+1．
18.(本小题12分)
已知集合A=x12<2x−a<16，B=xx2−3x−10≤0．
(1)若a=2，求A∪B；
(2)若存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”成立的______，求实数a的取值范围.从“①充分不必要条件”和“②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答.若两个都选，则按第一个作答进行给分．
19.(本小题12分)
已知函数fx=sinωx+π6ω>0的最小正周期为π2．
(1)求函数fx的单调递减区间；
(2)若a>0，且函数gx=afx+b在区间0,π4上的值域为0,3，求实数a，b的值．
20.(本小题12分)
已知函数fx=lgaax−1(a>0且a≠1)，且f2=lga3．
(1)求函数fx的定义域：
(2)判断并用定义法证明函数fx的单调性；
(3)求关于x的不等式fx−221.(本小题12分)
人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB(1TB=1024GB)级别跃升到PB(1PB=1024TB)，EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：
(1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第x年全球生产的数据量y(单位：ZB)与x的关系，根据上述信息，试从y=a⋅bx(a>0,b>0且b≠1)，y=ax+ba>0，y=a⋅lgbx(a>0,b>0且b≠1)三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?(不用说明理由)；
(2)根据(1)中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍?
22.(本小题12分)
函数fx和gx具有如下性质：①定义域均为R；②fx为奇函数，gx为偶函数；③fx+gx=ex(常数e是自然对数的底数)．
(1)求函数fx和gx的解析式；
(2)对任意实数x，gx2−fx2是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；
(3)若不等式2fx−m⋅g2x≥0对∀x∈ln2,ln3恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可．
【详解】B=xy= x+lg32−x=0,2，故A∩B=0,1．
故选：D
2.【答案】A
【解析】【分析】根据充分与必要条件的定义，结合正弦值的定义判断即可．
【详解】因为α与β的终边相同则sinα=sinβ，但当sinα=sinβ时α与β的终边可能相同或者关于y轴对称，故“α与β的终边相同”是“sinα=sinβ”的充分而不必要条件．
故选：A
3.【答案】B
【解析】【分析】根据正切函数的周期公式求解即可．
【详解】函数y=−3tan2x−π6的最小正周期为π2．
故选：B
4.【答案】C
【解析】【分析】A选项，不满足在−∞,0∪0,+∞上单调递增；BCD选项，结合函数解析式可直接判断出函数单调性，得到答案．
【详解】A选项，y=−1x在−∞,0,0,+∞上单调递增，
而y=−1x的定义域为−∞,0∪0,+∞，故不满足在定义域上单调递增， A错误；
B选项，y=x2在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，故 B错误；
C选项，fx=x13的定义域为R，且13>0，
故y=x13在R上单调递增，满足要求，C正确；
D选项，y=13x在R上单调递减，D错误．
故选：C
5.【答案】B
【解析】【分析】根据扇形面积公式求解即可．
【详解】由题意，该扇形的面积S=12×4π3×32=6π．
故选：B
6.【答案】B
【解析】【分析】根据题意可得运输效率逐步提高则函数增长逐渐加快判断即可．
【详解】由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足．
故选：B
7.【答案】D
【解析】【分析】化简可得5+2 b a+2 a b≥m恒成立，再根据基本不等式求解5+2 b a+2 a b的最小值即可．
【详解】由题意 a+2 b a+2 a+4 b b≥m恒成立，即5+2 b a+2 a b≥m恒成立．
又5+2 b a+2 a b≥5+2 2 b a×2 a b=9，当且仅当a=b时取等号．
故实数m的最大值为9．
故选：D
8.【答案】A
【解析】【分析】根据换底公式，结合基本不等式与作商法判断即可．
【详解】易得a,b,c>0，结合换底公式与基本不等式有ab=lg32×lg34bc=lg43×lg45故ab<1，bc<1，故a故选：A
9.【答案】CD
【解析】【分析】根据对数的基本运算求解即可．
【详解】对A，lg2+lg3=lg6，故 A错误；
对B，lg3100=2lg310，故 B错误；
对C，4lg45=5正确；
对D，lg34⋅lg43=1正确．
故选：CD
10.【答案】ACD
【解析】【分析】根据不等式的性质，结合作差法逐个选项判断即可．
【详解】对A，因为a>b>1，故a2>ab，故 A正确；
对B，因为a>b>1，故ab>b2，故 B错误；
对C，a+1a−b+1b=a−b+1a−1b=a−bab−1ab，因为a>b>1，
则a−bab−1ab>0，故a+1a>b+1b，故 C正确；
对D，易得y=x−1xx>0为增函数，且a>b>1，故a−1a>b−1b，故 D正确．
故选：ACD
11.【答案】BD
【解析】【分析】对A，根据特称命题的否定为全称命题判断即可；对B，设幂函数y=xa，再代入3, 3可得a=12，进而可得f4；对C，根据函数的定义域判断即可；对D，根据反函数的性质判断即可．
【详解】对A，命题“∃x0>0，ex0−2x0+1=0”的否定为“∀x>0，ex−2x+1≠0”，故 A错误；
对B，设幂函数y=xa，则 3=3a，解得a=12，故y= x，故f4=2，故 B正确；
对C，y=elnx定义为0,+∞，y=x定义域为R，故 C错误；
对D，函数y=10−x与函数y=−lgx互为反函数，图象关于直线y=x对称，故 D正确．
故选：BD
12.【答案】BCD
【解析】【分析】对A，代入x=π3判断即可；对B，根据f7π3−x=f7π3+x判断即可；对C，根据周期函数的定义判断即可；对D，作图分析y=csπ3−x与y=−lgx的图象交点个数即可．
【详解】对A，fπ3=csπ3−π3=1，故 A错误；
对B，f7π3−x=csπ3−7π3+x=csx，f7π3+x=csπ3−7π3−x=csx，
故f7π3−x=f7π3+x，故y=fx的图象关于直线x=7π3对称，故 B正确；
对C，设gx=12csπ3−x，则gx+2π=12csπ3−x+2π=12csπ3−x=gx，故y=12fx是周期函数，故 C正确；
对D，作出fx=csπ3−x与y=gx=−lgx的图象，
当x→0+时−lgx→+∞，csπ3−x→12，且f1=csπ3−1>0，g1=0，
故在0,1之间两函数图象有1个交点；
当x∈1,10时，gx∈−1,0，且f4π3=−1，又f10>−1=g10，
故由图可得在1,10之间两函数图象有2个交点；
当x∈10,+∞时，gx<−1，fx≥−1，两函数图象无交点；
综上可得fx=−lgx有3个解，故D正确．
故选：BCD
13.【答案】1
【解析】【分析】根据偶函数的定义求解即可．
【详解】fx=1+xa−x=−x2+a−1x+a，由fx是偶函数可得−−x2−a−1x+a=−x2+a−1x+a，即a−1x=0恒成立．
故a=1．
故答案为：1
14.【答案】−2 55 或−25 5
【解析】【分析】由题意P1,−2，结合正弦值的定义求解即可．
【详解】当2x−1=1时x=1，故P1,−2，
则sinθ=−2 12+−22=−2 55．
故答案为：−2 55
15.【答案】12023
【解析】【分析】根据黎曼函数的定义与当x∈0,1时，fx=Rx，将自变量根据fx最小正周期为1转换到0,1，再代入Rx的关系式求解即可．
【详解】依题意f20242023+f 5=f12023+f 5−2
=R12023+R 5−2=12023+0=12023．
故答案为：12023
16.【答案】6；60
【解析】【分析】(1)求解lg6x−1=0即可；
(2)作出y=lg6x−1的图象，结合题意可得x1x2=36，再根据基本不等式求解最小值即可．
【详解】(1)lg6x−1=0，解得x=6，故fx的零点为6；
(2)由题意lg6x−1=k有两个零点x1,x2x1且x1<6故25x1+x2=25x1+36x1≥2 25x1×36x1=60，当且仅当25x1=36x1，即x1=65时取等号．
故答案为：6；60
17.【答案】解：(1)sin2π−αcsπ+αcsπ2−αcsπ−αsinα−πsin3π2+α=−sinα⋅−csα⋅sinα−csα⋅−sinα⋅−csα=−tanα=32．
(2)2sin2α−3cs2α+1=2sin2α−3cs2αsin2α+cs2α+1=2tan2α−3tan2α+1+1
=2×94−394+1+1=1913．

【解析】(1)根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可；
(2)根据2sin2α−3cs2α+1=2sin2α−3cs2αsin2α+cs2α+1，结合同角三角函数的关系求解即可．
18.【答案】解：(1)若a=2时，A=x|12<2x−2<16=1,6，B={x|x2−3x−10≤0}=[−2,5]，
所以A∪B=[−2,6)．
(2)∵A={x|12<2x−a<16}=a−1,a+4
选①“x∈A”是“x∈B”成立的 充分不必要条件，则A是B的真子集．
所以a−1≥−2a+4≤5⇒a≥−1a≤1⇒a∈−1,1．
经检验“=”满足．所以实数a的取值范围是−1,1．
选②因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则B是A的真子集．
所以a−1<−2a+4>5，解集为空集，
所以不存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件．

【解析】(1)将a=2代入集合中，解出两个集合，然后求两个集合的并集，
(2)分别选择两个条件，根据条件关系找出集合间的关系求出参数的取值范围．
19.【答案】解：(1)因为fx的最小正周期为π2，ω>0，故2πω=π2，解得ω=4，故fx=sin4x+π6．
令π2+2kπ≤4x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π12+12kπ≤x≤π3+12kπ,k∈Z．
故函数fx的单调递减区间为π12+12kπ,π3+12kπ,k∈Z
(2)根据x∈0,π4可得4x+π6∈π6,7π6，故fx∈−12,1，
又a>0，故gx∈−12a+b,a+b，由题意−12a+b=0a+b=3，解得a=2,b=1．

【解析】(1)根据正弦函数的周期公式可得ω，再代入正弦函数的单调递减区间求解即可；
(2)根据x∈0,π4可得4x+π6∈π6,7π6，结合正弦函数的图象可得fx的值域，进而根据值域为0,3列式求解即可．
20.【答案】解：(1)由f2=lga3可得lgaa2−1=lga3，因为a>0，解得a=2．
故fx=lg22x−1.令2x−1>0，解得x>0，即函数fx的定义域为0,+∞．
(2)任取x1,x2∈0,+∞，设x1则fx1−fx2=lg22x1−1−lg22x2−1=lg22x1−12x2−1．
因为x1>x2>0，所以2x1>2x2>1，从而2x1−1>2x2−1>0，
因此2x1−12x2−1>1，于是lg22x1−12x2−1>0，所以fx1−fx2>0，
故fx在0,+∞上单调递增．
(3)由(2)可得fx在0,+∞上单调递增，若fx−2解得2
【解析】(1)代入f2=lga3可得a=2，再根据对数函数的定义域与指数函数的单调性求解不等式即可；
(2)任取x1,x2∈0,+∞，设x1(3)根据fx的单调性与定义域求解即可．
21.【答案】解：(1)由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择y=a⋅bx更合适．
(2)题意，0.8=ab280=ab13，故b11=100，即b=100111，代入可得a=0.8×100−211，故y=0.8×100x−211．
设在第n年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则0.8×100n−21180=100，
即100n−211=10000=1002，解得n=24，此时为2031年．
即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍．

【解析】(1)根据数据量随年份增长呈爆炸增长判断即可；
(2)将2009年和2020年的数据量代入y=a⋅bx可得a,b，再设在第n年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算求解即可．
22.【答案】解：(1)由性质③知fx+gx=ex，则f−x+g−x=e−x，
由性质②知f−x=−fx，g−x=gx，故−fx+gx=e−x．
则fx+gx=ex−fx+gx=e−x,
解得fx=ex−e−x2，gx=ex+e−x2；
(2)由(1)可得gx2−fx2=ex+e−x22−ex−e−x22
=e2x+e−2x+24−e2x+e−2x−24=1；
(3)因为g2x=e2x+e−2x2>0，所以2fx−m⋅g2x≥0⇒m≤2fxg2x，
而2fxg2x=2ex−e−xe2x+e−2x=2ex−e−xex−e−x2+2，x∈ln2,ln3，
令t=ex−e−x，易知t=ex−e−x在x∈ln2,ln3上单调递增，所以t∈32,83，
记ℎt=2tt2+2,t∈32,83，则ℎt=2t+2t，
因为当t=2t,t>0时t= 2，且32> 2，
故由对勾函数性质可得ℎt在32,83上单调递增，
所以ℎtmin=ℎ32=1217，因此m≤ℎtmin=1217，故m的取值范围是−∞,1217．

【解析】(1)根据函数的奇偶性列方程组求解即可；
(2)根据(1)中解析式代入求解gx2−fx2即可；
(3)将不等式转化为m≤2ex−e−xex−e−x2+2对∀x∈ln2,ln3恒成立，再令t=ex−e−x，结合函数的单调性求解ℎt=2tt2+2,t∈32,83的最小值即可．
年份
2008
2009
2010
2011
…
2020
数据量(ZB)
0.49
0.8
1.2
1.82
…
80