2023-2024学年河南省信阳高级中北湖校区学高一（下）月考数学试卷（二）（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省信阳高级中北湖校区学高一（下）月考数学试卷（二）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列结论正确的是( )
A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
2.设a,b,c是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是( )
A. (a⋅b)c=(b⋅c)aB. |a⋅b|≤a⋅b
C. (a⋅b)c−(b⋅c)a与b垂直D. ||a|−|b||≤|a−b|
3.下列概率模型，其中属于古典概型的是( )
A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D. 一只使用中的灯泡寿命长短
4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′=2，则原平面图形的周长为( )
A. 4 2+4
B. 4 6+4
C. 8 2
D. 8
5.下列命题中是真命题的有( )
A. 一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同
B. 有A、B、C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位数为4
6.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A=“甲击中靶”，事件B=“乙击中靶”，事件E=“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G=“恰一人击中靶”，对下列关系式(A−表示A的对立事件，B−表示B的对立事件)：①E=A−B−，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=A−B+AB−，⑥P(F)=1−P(E)，⑦P(F)=P(A)+P(B).其中正确的关系式的个数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等(如图①).这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm，底面为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆(如图③)，则该艺术品的体积为( )
A. (1000 3−10003π)cm3B. (2000 3−20003π)cm3
C. (2000 33−20009π)cm3D. (1000 33−10009π)cm3
8.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，若点E，F分别满足AE=23AB,AF=23AC，平面EB1C1F将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为V1和V2，则V1：V2=( )
A. 19：8
B. 2：1
C. 17：10
D. 16：11
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=3+4i，则( )
A. z的共轭复数是3−4i
B. z2对应的点在第二象限
C. z−=iz
D. 若复数z0满足|z0−z|=1，则|z0|的最大值是6
10.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是( )
A. 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
B. 如果m⊂α，α/​/β，那么m//β
C. 如果α∩β=l，m/​/α，那么m/​/l
D. 如果m⊥n，m⊥α，n/​/β，那么α⊥β
11.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，csA=15，AO=2，则( )
A. AO=14AB+14ACB. AB⋅AC≤3
C. △ABC的面积的最大值为3 6D. a的最小值为2 5
12.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，E在棱A1B1上运动(不含端点)，则( )
A. 侧面AA1D1D中不存在直线与DE垂直
B. 平面A1DE与平面ABCD所成二面角为π4
C. E运动到A1B1的中点时，A1C上存在点P，使BC/​/平面AEP
D. P为A1C中点时，三棱锥E−PBC1体积不变
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表(下表是随机数表的第一行和第二行)选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______．
14.已知e1，e2为平面内向量的一组基底，a=2e1+λe2，b=e1+(λ+1)e2，若a//b，则λ= ______．
15.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC= 2，若球O的体积为4π3，则SA= ______．
16.如图所示，某旅游景区的B，C景点相距2km，测得观光塔AD的塔底D在景点B的北偏东45°，在景点C的北偏西60°方向上，在景点B处测得塔顶A的仰角为45°，现有游客甲从景点B沿直线去往景点C，则沿途中观察塔顶A的最大仰角的正切值为______.(塔顶大小和游客身高忽略不计)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知关于x的方程3x2−2ax+a=0，a∈R．
(1)当a=1时，在复数范围内求方程的解；
(2)已知复数z=2a+i，若方程3x2−2ax+a=0有虚根，求z的模的取值范围．
18.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−b+cc=ba+b−c．
(1)求A；
(2)若b−c= 33a，证明：△ABC是直角三角形．
19.(本小题12分)
为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施.某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球.已知抽出1个白球减20元，抽出1个红球减40元．
(1)求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
(2)若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于80元的概率．
20.(本小题12分)
树人中学男女学生比例约为2：3，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况(锻炼时间长短(单位：小时))，采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生m人，女生n人进行调查.记男生样本为x1，x2，…，xm，样本平均数、方差分别为x−,s12；女生样本为y1，y2，…，yn，样本平均数、方差分别为y−,s22；总样本平均数、方差分别为w−,s2．

(1)该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数；
(2)已知男生样本方差s12=5.5，女生样本方差s22=5.7，请结合(2)问的结果计算总样本方差s2的估计值．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=4，AD=6．
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH/​/平面PAD；
(2)求证：PA⊥平面PCD；
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，点P1、P2、P3是BC边的四等分点．
(1)求AB⋅AP1+AP1⋅AC的值；
(2)若P为线段AP3上的动点，求PA⋅PC的最小值，并指出当PA⋅PC取最小值时点P的位置．
答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.B
8.A
9.ABD
10.AB
11.BC
12.BCD
13.05
14.−2
15.1
16. 2
17.解：(1)当a=1时，关于x的方程3x2−2ax+a=0，a∈R，即3x2−2x+1=0，
它的判别式Δ=−8，
利用求根公式可得x=2±2 2i6，即x=13+ 23i 或x=13− 23i．
(2)∵方程3x2−2ax+a=0有虚根，∴Δ=4a2−12a<0，求得0∴a2∈(0,9)．
∵复数z=2a+i，∴|z|= 4a2+1∈(1, 37)，即z的模的取值范围(1, 37).
18.解：(1)∵a−b+cc=ba+b−c，
∴bc=b2+c2−a2，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
又0(2)证明：∵b−c= 33a，
由正弦定理得sinB−sinC= 33sinA=12，
∴sinB−sin(2π3−B)=sinB− 32csB−12sinB=12sinB− 32csB=sin(B−π3)=12，
∵B∈(0,2π3)，
∴B−π3∈(−π3,π3)，
∴B−π3=π6，即B=π2，
故△ABC是直角三角形．
19.解：(1)设4个白球为a，b，c，d，2个红球为e，f，事件A为顾客所获得的减免金额为40元，
则Ω={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}，共15种情况，(3分)
A={ab,ac,ad,bc,bd,cd}，共6种情况，(5分)
所以顾客所获得的减免金额为40元的概率为P=615=25.(6分)
(2)设事件B为顾客所获得的减免金额为80元，则B={ef}，共1种情况，(8分)
所以顾客所获得的减免金额为80元的概率为P(B)=115，
故减免金额低于80元的概率P=1−P(B)=1415.(12分)
20.解：(1)根据题意，由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数x−=1×0.05×2+3×0.1×2+5×0.175×2+7×0.1×2+9×0.075×2=0.1+0.6+1.75+1.4+1.35=5.2；
由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数y−=1×15%+3×25%+5×30%+7×20%+9×10%=0.15+0.75+1.5+1.4+0.9=4.7．
(2)根据题意，由于是采用按比例分配的分层随机抽样，则m：n=2：3；
则可以估计树人中学学生课外运动时间的平均数w−=mm+nx−+nm+ny−=25×5.2+35×4.7=4.9，
∴s2=mm+n[s12+(x−−w−)2]+nm+n[s22+(y−−w−)2]=25×[5.5+(5.2−4.9)2]+35×[5.7+(4.7−4.9)2]=25×5.59+35×5.74=5.68．
21.(1)证明：连接BD，如图所示，底面ABCD为平行四边形，

则有AC∩BD=H，BH=DH，又由BG=PG，故GH//PD，
因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH/​/平面PAD．
(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN，如图所示，

△PCD为等边三角形，得DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，
平面PAC∩平面PCD=PC，DN⊂平面PCD，所以DN⊥平面PAC，
又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又已知PA⊥CD，CD∩DN=D，
CD，DN⊂平面PCD，所以PA⊥平面PCD．
(3)解：连接AN，如图所示，由(2)中DN⊥平面PAC，

可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，
因为△PCD为等边三角形，CD=4且N为PC的中点，
所以DN=2 3，又DN⊥AN，
在Rt△AND中，sin∠DAN=DNAD= 33，
所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 33．
22.解：(1)已知△ABC是边长为2的正三角形，点P1、P2、P3是BC边的四等分点．
故AB⋅AP1+AP1⋅AC=AP1⋅(AB+AC)=2AP1⋅AP2，
因为AP2⊥BC，所以AP2⋅P2P1=0，
故2AP1⋅AP2=2(AP2+P2P1)⋅AP2=2AP22=6，
因此AB⋅AP1+AP1⋅AC=6，
即AB⋅AP1+AP1⋅AC的值为6；
(2)记AB=a，AC=b，
由BP3=34BC，可得AP3=14a+34b，
设AP=tAP3，其中0≤t≤1，
则PA=−t4a−3t4b，PC=−t4a+(1−3t4)b，
则PA⋅PC=(−t4a−3t4b)⋅[−t4a+(1−3t4)b]
=t16[ta2+(6t−4)a⋅b+3(3t−4)b2]=14(13t2−14t)
=134(t−713)2−4952，t∈[0,1]，
则当t=713，即AP=713AP3时，PA⋅PC取最小值−4952．
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76