2022-2023学年广东省广州市番禺区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省广州市番禺区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式得集合B，应用集合交运算求结果.

【详解】由题意，又，

则.

故选：A

2．设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的运算法则求出复数，从而得到，再利用复数的几何意义即可求出结果.

【详解】因为，得到，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，

故选：C.

3．在中，点D满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意画出并确定点的位置，即可以向量为基底表示出.

【详解】根据题意如下图所示：

根据向量加法法则可知，又，所以，

即，

可得.

故选：A

4．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算即可判断.

【详解】因为，易知的定义域为.

因为，所以为奇函数，

图象关的原点对称.排除A，D选项；

又，，所以排除C选项.

故选：B.

5．已知函数，则（    ）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．在上单调递减 D．在上单调递增

【答案】C

【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为.

对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；

对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；

对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；

对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.

故选：C.

6．近年来，电动自行车以其快捷、轻便、经济等优点成为老百姓的代步工具，但随之出现了一系列问题，如违规停放，私拉电线充电，占用安全通道等，给人民安全带来隐患.为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到A，B，C三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分组分配法求出分配方案数后，由古典概型概率公式计算出概率．

【详解】由题意知，每个人都有去三个小区的可能性，即总共有种情况，

三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员，

第一类，两个小区分别为3人、1人，总共有种情况；

第二类，两个小区分别为2人、2人，总共有种情况；

所以三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为.

故选：D

7．已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示：

若，则的值大约为（    ）

A．4.94 B．5.74 C．6.81 D．8.04

【答案】C

【分析】令，把转化为的线性回归方程，再用线性回归的方法处理即可

【详解】由，令，则，由题意，，，所以，解得，所以，所以，解得.

故选：C

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用常见放缩，构造函数，判断出，然后利用构造从而判断即可.

【详解】

令，则，

当时, ，所以在上单调递增，

，

；

，

易知

，

.

故选：D.

二、多选题

9．对于的展开式，下列说法正确的是（    ）

A．展开式共有6项 B．展开式中各项系数之和为1

C．展开式中的常数项是240 D．展开式中的二项式系数之和为32

【答案】BC

【分析】根据二项式展开式的项数判断A；利用赋值法求得各项系数和可判断B；根据二项式通项公式求得常数项判断C；根据二项式系数和性质可判断D.

【详解】因为二项式的次数为6，所以展开式共有7项，故A错误；

令，则展开式中各项系数之和为，故B正确；

的通项为，，

令，得，故展开式中的常数项为，故C正确；

的展开式中的二项式系数之和为，故D错误.

故选：BC

10．直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（    ）

A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4

C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切

【答案】BD

【分析】由抛物线方程求焦点坐标验证选项A；焦点弦中通径最短验证选项B；直线与抛物线联立方程组由韦达定理计算验证选项C；由圆心到直线的距离判断选项D.

【详解】抛物线的焦点，A选项错误；

抛物线的焦点弦中，通径最短，故的最小值为4，B选项正确；

由题意，直线斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程得，则，C选项错误；

如图所示，的中点为M，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则，可知以为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.

故选：BD

11．甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据全概率公式及条件概率概率公式计算可得.

【详解】因为，，，

若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，故A正确；

若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，

若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，

所以

，故B正确；

因为，所以，

所以，故C错误；

，故D正确；

故选：ABD

12．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则（    ）

A．平面

B．四棱锥的外接球的表面积为

C．与平面所成角的正弦值为

D．点A到平面的距离为

【答案】ACD

【分析】对于A：根据线面垂直的判定定理结合平行关系分析判断；对于B：将四棱锥转化为正方体，根据正方体的外接球分析运算；建系，对于C：利用空间向量求线面夹角；对于D：利用空间向量求点到面的距离.

【详解】对于A：连接，

因为平面，平面，

可得

由为正方形，可得，

，平面，

所以平面，

又因为，分别为，的中点，则//，

可得平面，故A正确；

对于B：四棱锥的外接球即为以A为顶点，为相邻三边的正方体的外接球，

则外接球的半径，

所以表面积为，故B正确；

如图，以A为坐标原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，

对于C：可知平面的法向量，

则，

所以与平面所成角的正弦值为，故C正确；

对于D：可得，

设平面的法向量，则，

令，则，即，

所以点A到平面的距离为，故D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为            （结果填整数）.

附：若，则，.

【答案】23（22也可以）

【分析】根据，得出，再乘以总人数得出结果.

【详解】由每名学生的成绩，得，

则

，

则优秀的学生人数为.

故答案为：23.

14．已知正数等比数列的前3项和为168，，则          .

【答案】3

【分析】根据等比数列的通项公式写出前3项，列出等式求解公比，根据等比数列通项公式求解即可.

【详解】设正数等比数列的公比为，

则的前3项和，

又因为，

所以，

即，

解得（舍），或，

所以.

故答案为：3

15．已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为      ．

【答案】3

【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线过点，可求出，进而求出结果．

【详解】∵点不在曲线上，设切点坐标为．

又∵，所以

∴在处的切线方程为，

∵切线过点，

∴，解得，

∴切线斜率为.

故答案为：3．

16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为         .

【答案】

【分析】首先设，再根据题意和椭圆的定义求得，转化为关于的等式，进而求得椭圆的离心率.

【详解】由题意得，

又由椭圆的定义得，

记，则，，

则，所以，

故，

则，则，即

等价于，得：或（舍）

故答案为：

四、解答题

17．记为正数数列的前n项的和，已知.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求数列的前n项之和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件讨论和，从而用定义法证明等差数列即可；

（2）根据（1）中的证明写出，然后根据裂项相消法求和即可.

【详解】（1）因为，

所以令，得，即，

所以或，因为数列是正数数列，所以；

当时，由，

则，

两式相减，

即，

整理得，

因为，

所以，

所以，即

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.

（2）由（1）知，，

所以，

所以，

其前n项和为，

所以数列的前n项之和为.

18．在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．

（1）若，求的面积；

（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，且.

【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；

（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.

【详解】（1）因为，则，则，故，，

，所以，为锐角，则，

因此，；

（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，

由余弦定理可得，

解得，则，

由三角形三边关系可得，可得，，故.

19．某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出200人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业精神满意的人数是总人数的40%，对员工管理水平满意的人数是总人数的45%.

(1)完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的列联表，依据小概率值的独立性检验能否认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联?

(2)若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价，设对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

附：，

【答案】(1)表格见解析，能认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联；

(2)分布列见解析，；

【分析】（1）根据给定的数据完善2×2列联表，再计算观测值作答.

（2）求出的可能值，求出对应的概率，列出分布列并计算期望作答.

【详解】（1）由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表

零假设为：对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意无关.

据表中数据计算得：，

根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联.

（2）对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的概率为，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

其中；；

；，

所以随机变量X的分布列为

则.

20．如图，三棱柱中，平面，，，，以，为邻边作平行四边形，连接和.

(1)求证：平面；

(2)线段上是否存在点F，使平面与平面垂直?若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）先根据图形建立空间直角坐标系，设出点 的坐标，根据两平面垂直得到二面角的平面角为 ，再分别算出两平面的法向量，使两个法向量的夹角的余弦值为0，即可求解.

【详解】（1）  

如图所示：连接，

∵四边形为平行四边形，

∴，

又，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又平面，

平面，

∴平面.

（2）假设存在点，使平面与平面垂直，

则平面与平面的二面角为直二面角，

设平面与平面的二面角的平面角为，则，

如图所示：以为坐标原点，分别以射线，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

∵，，，

∴，，，，

∵点在上，∴设点，

∴，，，

分别设平面和平面的法向量为，，

则 ，，

即，，

∴取，，

则，

∴，即，∴，

即，∴.

∴线段上不存在点F，使平面与平面垂直

21．已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为．

(1)求该双曲线的方程；

(2)若直线与双曲线在第一象限交于两点，直线交线段于点，且，证明：直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用条件直接求出，从而求出双曲线的方程；

（2）利用三角形面积公式可得，结合韦达定理可得出结果.

【详解】（1）因为双曲线的渐近线为，

又因为双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，所以，

又，，联立解得，

所以双曲线的方程为.

（2）由已知有，双曲线的右焦点为，直线过双曲线的右焦点．

则

直线与直线的倾斜角互补，．

显然直线的斜率存在，设直线的方程为．

联立得，

所以，

因为，所以．所以，

所以，整理得．

所以，化简得，即，

所以直线的方程为，恒过点．所以直线过定点．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．已知函数，．

(1)当，求的单调递减区间；

(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间为

(2)

【分析】（1）根据导函数和原函数的单调性关系，先设求得，得到函数单调区间；

（2）把在上恒成立, 转化为在上恒成立，令,即得恒成立求参即可.

【详解】（1）当时，，

所以，令，所以，

当时，，故为增函数；

当时，，故为减函数，

所以，即，

所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.

（2）因为，所以，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

转化为在上恒成立，

令，，则且

当时，恒成立，故在上为增函数，

所以，即时不满足题意；

当时，由，得，

若，则，故在上为减函数，在上为增函数，

所以存在，使得，即时不满足题意；

若，则，故在上为减函数，

所以，所以恒成立，

综上所述，实数的取值范围是.