2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin17π4的值为( )
A. − 32B. 32C. − 22D. 22
2.已知复数z满足z(2−i)=3+i(i是虚数单位)，则z=( )
A. 1−iB. 1+iC. −15+75iD. −15−75i
3.已知α∈(0,π2)，tanα=4sinα，则sinα=( )
A. 14B. 12C. 34D. 154
4.已知平面向量a=(−2,4)，b=(1,2)，若向量λa+b与b垂直，则实数λ的值为( )
A. 413B. −413C. 56D. −56
5.△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若csAa=csBb=sinCc，则△ABC是( )
A. 等边三角形B. 有一内角是30°的直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 有一内角是30°的等腰三角形
6.已知向量a=(2,1)，b=(−1,2)，则b在a+b方向上的投影向量的坐标为( )
A. (12,32)B. (−12,32)C. (1,3)D. (−1,3)
7.如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离MN为40(2− 3)m，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶F处的仰角分别是α=15°和β=60°，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角γ=45°，假设EF，MN和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高EF为( )
A. 120m
B. 90m
C. 40 3m
D. (80 3−120)m
8.欧拉公式eix=csx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. 复数eπ2i为实数B. ei对应的点位于第二象限
C. |eix−sinx+icsx|= 2D. |eix− 3−i|的最大值为1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若角α的终边与角7π12的终边关于x轴对称，且α∈(−2π,2π)，则α的值可能为( )
A. −7π12B. −19π12C. 19π12D. 17π12
10.下列说法正确的是( )
A. 若复数z满足z=z−，则z∈R B. 1+i3+i5+i7为纯虚数
C. z⋅z−=|z|2=|z−|2 D. z=12+ 32i是方程x2−x+1=0的一个复数根
11.设函数f(x)=sin(ωx+π3)，ω>0，下列说法正确的是( )
A. 当ω=2时，f(x)的图象关于直线x=π12对称
B. 当ω=12时，f(x)在[0,π2]上是增函数
C. 若f(x)在[0,π]上的最小值为−2，则ω的取值范围为ω≥76
D. 若f(x)在[−π,0]上恰有2个零点，则ω的取值范围为ω≥43
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若tanα=2，则cs2α+4sinαcsα−2= ______．
13.将函数f(x)=cs(2x−1)的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，求出g(x)图象的一个对称中心的坐标______．
14.在△ABC中，有AB⋅(AC−CB)=3BC⋅(BA−AC)，则tanB的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知非零向量a，b满足|a|=1，且(2a+b)(2a−b)=3．
(1)求|b|；
(2)当a⋅b=−12时，求|2a+b|和向量b与2a+b的夹角θ的值．
16.(本小题15分)
已知sin(β−π4)=15,cs(α+β)=−13，其中0<α<π2,0<β<π2．
(1)求sin2β的值；
(2)求cs(α+π4)的值．
17.(本小题15分)
设平面向量a=( 3sinx,cs2x−12)，b=(csx,−1)，函数f(x)=a⋅b．
(Ⅰ)求f(x)的单调增区间；
(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；
(Ⅲ)若锐角α满足f(α2)=14，求cs(2α+2π3)的值．
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a−ca+b=sinA−sinBsinC．
(1)求角B；
(2)若△ABC外接圆的周长为4 3π，求△ABC周长的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对∀x∈(0,π2)，使得关于x的不等式m2f(x−π3)≤cs22x−m+1恒成立，求实数m的最大值．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.D
5.C
6.A
7.A
8.C
9.AD
10.ACD
11.AC
12.−15
13.(−12+π4,1)(答案不唯一)
14. 393
15.解：(1)∵(2a+b)⋅(2a−b)=3，
∴4a2−b2=3，∵|a|=1，∴|b|=1；
(2)∵a⋅b=−12，
∴|2a+b|= (2a+b)2= 4a2+4a⋅b+b2= 4+4×(−12)+1= 3，
b⋅(2a+b)=2a⋅b+b2=2×(−12)+1=0，
∴csθ=b⋅(2a+b)|b||2a+b|=0，
∵θ∈[0,π]，∴θ=π2．
16.解：(1)∵sin(β−π4)=15，∴sinβcsπ4−csβsinπ4=15，即sinβ−csβ= 25，
(sinβ−csβ)2=225，得sin2β=2325；
(2)∵sin(β−π4)=15，cs(α+β)=−13，其中0<α<π2，0<β<π2，
∴cs(β−π4)=2 65, sin(α+β)=2 23，
∴cs(α+π4)=cs[(α+β)−(β−π4)]=cs(α+β)cs(β−π4)+sin(α+β)sin(β−π4)
=2 65×(−13)+2 23×15=2( 2− 6)15．
17.解：(Ⅰ)f(x)= 3sinxcsx−cs2x+12= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ],k∈Z；
(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，(2x−π6)∈[−π6,5π6]，
∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，即函数f(x)的值域为[−12,1]；
(Ⅲ)f(α2)=sin(α−π6)=14，则cs(α+π3)=cs[π2−(π6−α)]=sin(π6−α)=−14，
∴cs(2α+2π3)=2cs2(α+π3)−1=2×(−14)2−1=−78．
18.解：(1)根据a−ca+b=sinA−sinBsinC，可得a−ca+b=a−bc，化简得a2+c2−b2=ac，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=12，结合B∈(0,π)，可得B=π3．
(2)设△ABC外接圆的半径为R，则2πR=4 3π，解得R=2 3，外接圆直径为4 3，
因为B=π3，所以b=2RsinB=4 3sinπ3=6，
结合余弦定理b2=a2+c2−2accsB，得36=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−3(a+c2)2，
整理得(a+c)2≤144，a+c≤12，当且仅当a=c=6时，等号成立．
又因为a+c>b=6，可得6所以a+b+c∈(12,18]，即△ABC的周长的取值范围为(12,18]．
19.解：(1)由所给函数图象可知，A=2，T2=5π12−(−π12)=π2，即T=π，∴ω=2πT=2，
又图象过点(−π12,2)，∴2×(−π12)+φ=π2+2kπ，k∈Z，
解得φ=2π3+2kπ，k∈Z，
∵0<φ<π，∴当k=0时，φ=2π3，
故f(x)=2sin(2x+2π3)；
(2)若对于∀x∈(0,π2)，关于x的不等式m2f(x−π3)≤cs22x−m+1恒成立，
即对于∀x∈(0,π2)，关于x的不等式msin2x≤2−sin22x−m恒成立，
即对于∀x∈(0,π2)，m≤2−sin22x1+sin2x恒成立．
当x∈(0,π2)时，sin2x∈(0,1]，
令t=sin2x∈(0,1]时，y=2−t21+t=1−t2+11+t=1−t+1t+1=−(t+1)+1t+1+2为减函数，
∴当t=1时，y=2−t21+t取得最小值为12，即2−sin22x1+sin2x的最小值为12，
故实数m≤12，∴m的最大值为12．