2023-2024学年贵州省六盘水一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年贵州省六盘水一中高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2+2x−8<0}，B={x||x|≤2}，则A∩B=( )
A. (−4,−2)B. (−2,2)C. [−2,2)D. [−2,2]
2.已知复数z=a+2i，若z−⋅(3+i)是实数，则实数a=( )
A. 3B. −3C. 6D. −6
3.已知向量a=(m,−3)，b=(3m,m+2)，且a⊥b，则m=( )
A. 2B. −1C. 2或−1D. 2或−2
4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N(100,σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的16，数学考试成绩在80分到100分(含80分和100分)之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为( )
A. 1600B. 1800C. 2100D. 2400
5.已知锐角θ满足2cs2θ=1+sin2θ，则tanθ=( )
A. 13B. 12C. 2D. 3
6.从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的个数是( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为( )
A. 33
B. 2 33
C. 23
D. 43
8.已知a>0，设函数f(x)=x2+ax+1,x≤0,ex−ax,x>0,若存在x0，使得f(x0)A. (0,2 2−2)B. (0,2 2−2)∪(1,+∞)
C. (1,+∞)D. (2 2−2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在(2x−1 x)6的展开式中，下列命题正确的是( )
A. 偶数项的二项式系数之和为32B. 第3项的二项式系数最大
C. 常数项为60D. 有理项的个数为3
10.已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. {Snn}是等差数列B. 若d<0，则Sn有最大值
C. Sn，S2n，S3n成等差数列D. 若Sm=Sn，m≠n，则Sm+n=0
11.已知函数f(x)=x+2x3+4，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)在(−∞,−1)上单调递增
B. 函数f(x)在(1,+∞)上单调递减
C. 函数f(x)的极小值为13
D. 若f(x)=m有3个不等实根x1，x2，x3，则x1+x2+x3=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为0.92，−0.32，0.36，−0.95，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据．
13.已知等比数列{an}各项均为正数，前n项和为Sn，若a2=2，a1a5=16，则S5= ______．
14.已知抛物线C：y2=6x，过P(3,2)的直线l交抛物线C于A，B两点，且|PA|=|PB|，则直线l的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3bsinA=5asinBcsC．
(1)求csC的值；
(2)若B=π4，求ac的值．
16.(本小题15分)
某大型商品交易会展馆附近的一家特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近4次交易会的参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋)，得到如表数据：
(1)请根据所给四组数据，求出y关于x的线性回归方程y​=b​x+a​；
(2)若该店现有原材料20袋，据悉本次交易会大约有12万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？注：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(x−xi)2,a =y−−b x−．
17.(本小题15分)
2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表：
(1)求x的值；
(2)依据上表，判断是否有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关；
(3)学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1过点M(3,4)，左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q(P在第一象限)两点，PF2=3F2Q，E是双曲线上一点，△PQE的重心在x轴上，求点E的坐标．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xa−lnx−xea−x(a>0)．
(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.D
5.A
6.B
7.B
8.D
9.AC
10.ABD
11.BCD
12.H
13.31
14.3x−2y−5=0
15.解：(1)因为3bsinA=5asinBcsC，
由正弦定理可得3ab=5abcsC，
所以csC=35；
(2)由(1)可得sinC=45，又B=π4，
所以sinA=sin(3π4−C)= 22×35−(− 22)×45=7 210，
由正弦定理可得ac=sinAsinC=7 210×54=7 28．
16.解：(1)由数据得x−=8+9+10+114=9.5；
y−=20+23+25+284=24
i=15(xi−x−)(yi−y−)=(−1.5)×(−4)+(−0.5)×(−1)+0.5×1+1.5×4=13
i=15(xi−x−)2=(−1.5)2+(−0.5)2+0．52+1．52=5，
故b =135=2.6，a =y−−b ⋅x−=−0.7
所以y关于x的线性回归方程为y =2.6x−0.7．
(2)由x=12，得y =30.5，
而30.5−20=10.5(袋)，
所以该店应至少再补充原材料11袋．
17.解：(1)依题意，高三12个班级共抽取120名，则40+x+10+3x−10+40=120，解得x=10，所以x的值为10．
(2)由(1)得2×2列联表：
χ2=120×(40×40−20×20)260×60×60×60=403≈13.333>10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们认为学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关，此推断犯错误概率不大于0.001．
(3)这6人中课余学习时间超过两小时的人数为6×4040+20=4，
课余学习时间不超过两小时的人数为2，
则X的取值为1，2，3，
P(X=1)=C41C22C63=15，
P(X=2)=C42C21C63=35，
P(X=3)=C43C63=15，
所以X的分布列为：
E(X)=1×15+2×35+3×15=2．
18.解：(1)易知双曲线C的左、右顶点分别为A(−a,0)，B(a,0)，
所以kMA+kMB=43+a+43−a=249−a2=3，
解得a2=1，
因为点M(3,4)在双曲线上，
所以9−16b2=1，
解得b2=2，
则双曲线方程为x2−y22=1；
(2)设直线l的方程为x=ty+ 3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x=ty+ 3x2−y22=1，消去x并整理得(2t2−1)y2+4 3ty+4=0，
此时Δ=16(t2+1)>0，
由韦达定理得y1+y2=−4 3t2t2−1，y1y2=42t2−1，
因为PF2=3F2Q，
所以y1=−3y2，
此时−2y2=−4 3t2t2−1−3y22=42t2−1，
解得t2=111，
此时−3y22=42t2−1=−449，
解得y2=− 4427，
因为△PQE的重心在x轴上，
所以yE+y1+y2=0，
所以yE=2y2=−4 339，
代入双曲线得xE=± 3459．
故E(− 3459,−4 339)或E( 3459,−4 339)．

19.解：(1)当a=1时，令f(x)=x−lnx−xe1−x，
f′(x)=1−1x−1−xex−1=(x−1)(1x+1ex−1)，令f′(x)>0，得x>1，
故函数f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1,+∞)．
可得f(x)min=f(1)=0，故当a=1时，函数f(x)的最小值为0．
(2)由题意有f(1)=1a−ea−1≥0，
又由函数g(x)=1x−ex−1(x>0)单调递减，且g(1)=0，可得0下面证明：当0由函数ℎ(a)=xa−lnx−xea−x(0由(1)有x−lnx−xe1−x≥0，故有ℎ(a)≥0，
故若f(x)≥0，则实数a的取值范围为(0,1]． 第一次
第二次
第三次
第四次
参会人数x(万人)
8
9
10
11
原材料y(袋)
20
23
25
28
课余学习时间超过两小时
课余学习时间不超过两小时
200名以前
40
x+10
200名以后
3x−10
40
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
课余学习时间超过两小时
课余学习时间不超过两小时
总计
200名以前
40
20
60
200名以后
20
40
60
总计
60
60
120
X
1
2
3
P
15
35
15