云南省楚雄彝族自治州2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试卷(含答案)

这是一份云南省楚雄彝族自治州2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的,得到函数的图象,则( )
A.B.C.D.
4．某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示,则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为( )
A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区
5．已知,,,则( )
A.B.C.D.
6．已知,则( )
A.B.C.D.
7．如图,为正三角形,,与是三个全等的三角形,若,,则的面积为( )
A.2B.4C.D.
8．已知函数的图象经过点,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数z满足,则( )
A.的虚部为2B.C.D.为纯虚数
10．已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.
B.在上单调递减
C.直线是图象的一条对称轴
D.在上的取值范围为
11．如图,已知正方体的棱长为2,E是棱的中点,则( )
A.向量在方向上的投影向量为
B.异面直线与所成角的余弦值为
C.三棱锥外接球的表面积为
D.直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
12．若实数a,b满足,则的最大值为_______________.
13．已知函数在上恰有2个零点,则的取值范围为_________________.
四、双空题
14．已知正四棱台的上底面边长为2,侧棱长为,高为1,则该正四棱台的下底面边长为_____________,该正四棱台的体积为______________.
五、解答题
15．已知平面向量，，满足，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求向量与夹角的大小.
16．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知.
(1)求角C的大小;
(2)若,求的值;
(3)若,,D为的中点,求的长.
17．某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工,以推进该类产品的升级.该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品,对其质量（单位：g）进行统计,并将样本数据分为,,,,,六组,得到如下频率分布直方图.
(1)试估计样本数据的分位数;
(2)从样本数据在,内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例,再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例,求标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率;
(3)若规定质量在内的产品为优等品,用频率估计概率,从该生产线上随机抽取2件产品,求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率.
18．某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜,然后以每公斤2元的价格出售.如果当天卖不完,那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工
(1)若该商超一天购进800公斤青菜,求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式
(2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤）,整理得到下表.
（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜,求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数;
（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于780元的概率.
19．在四棱锥中，平面，，，，平面平面，M，N分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：.
（3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积.
参考答案
1．答案：D
解析：在复平面内对应的点在第四象限,
故选：D.
2．答案：A
解析：依题意得,,
则,
故选：A.
3．答案：B
解析：将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到.
故选：B.
4．答案：D
解析：由图可得,丁地区销量最稳定,所以丁地区销量的方差最小.
故选：D.
5．答案：A
解析：因为在上单调递增,且,
所以,所以,即,
因为在R上递增,且,
所以,即,
因为在上单调递减,且,
所以,所以,即,
所以.
故选：A.
6．答案：C
解析：由,得,
则,即,.
故选：C.
7．答案：D
解析：因,与是三个全等的三角形,则得,
即得,故.
又设,则,.
由余弦定理得,解得1,则,
所以的面积为.
故选：D.
8．答案：B
解析：由题意知,解得,所以,即 ,
易得在R上单调递增.因为,所以为奇函数.
又,故等价于,
则,解得.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：先求出,借助于相关概念即可判断各选项.
根据题意可得,
对于A,显然 的虚部为2,故A正确;
对于B,由可得,,故B错误;
对于C,因则,故C正确;
对于D,为纯虚数,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：对于A,由图可得,的最小正周期为,
则,解得,
将代人中,得,
则,解得.
因为,所以,则,故A错误.
对于B,由,得,
因为,所以在上单调递减,故B正确.
对于C,因为,
所以直线是图象的一条对称轴,故C正确.
对于D,由,得,
所以,
,
所以的取值范围为,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：对A,因为E是棱的中点,所以向量在方向上的投影向量为,A正确;
对B,连接,,由正方体的性质可知,,由等角定理易得即为异面直线与所成的角,易得,,
所以,B错误;
对C,三棱锥的外接球即为正方体的外接球,易得外接球的半径为,所以三棱锥外接球的表面积为,C错误;
对D,连接,因为几何体为正方体,体对角线垂直于没有公共点的面对角线,可得,,,由线面垂直的判定定理可得平面,设直线与平面所成的角为,则,D正确.
故选：AD.
12．答案：20
解析：根据题意可得,得,当且仅当或时,等号成立,故的最大值为20.
故答案为：20.
13．答案：
解析：由题意可得.
由,得.
因为在上恰有2个零点,
所以,解得.
故答案为：.
14．答案：4;
解析：设该正四棱台下底面的边长为a,则,
解得,
故该正四棱台的体积为.
故答案为：①4;②.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）根据题意可得，解得.
（2）由，得.
因为，所以，
所以，
所以，
又，所以.
16．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由,
得,
即,所以,
因为,所以.
(2)根据正弦定理,可得.
(3)由题意可得,
则.
17．答案：(1)
(2)
(3)0.1164
解析：(1)由频率分布直方图知,样本数据在的频率为,在的频率为0.63,
则样本数据的分位数,于是,解得,
所以样本数据的分位数约为73.75g.
(2)样本数据在内的产品被抽取的件数为,记为A,B,C,
样本数据在内的产品被抽取的件数为,记为a,b
则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有：
,,,,,,,,,共10种,
其中标准样例中恰有1件产品的质量在内的情况有6种.
所以标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率为.
(3)依题意,从该生产线上随机抽取1件产品,该件产品为优等品的概率为,
则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为.
18．答案：(1)
(2)（ⅰ）789元;（ⅱ）0.85
解析：(1)当时,;
当时,.
故y关于x的函数解析式为
(2)（i）这100天有5天的日利润为元,
10天的日利润为元,
20天的日利润为元,
65天的日利润为800元,
所以这100天出售青菜的日利润的平均数为元.
（ⅱ）若当天的利润不少于780元,则当日需求量不少于790公斤
故当天的利润不少于780元的概率为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）48
解析：（1）如图，连接.
因为M，N分别为，的中点，所以为的中位线，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）如图，过A作交于H.
因平面平面，平面平面，平面，故平面.
因为平面，所以.
因为平面，平面，所以.
因为，所以平面，
又平面，所以.
（3）如图3，过C作交于F，过F作交于E，连接.
因平面，平面，则，
因，平面，故得平面.
因平面，则.
因为，，平面，所以平面.
又平面，则，则即为二面角的平面角，
依题意，.
设，则.因为，，所以.
由，得，即，则，.
又由，得，即，解得.
，因，则的面积为，
故.
日需求量x
770
780
790
800
820
830
频数
5
10
20
35
20
10