云南省楚雄州2023-2024学年高二（上）期末教育学业质量监测数学试卷（含解析）

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高二年级数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第四章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的左顶点到其一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．在数列中，若，则下列数不是中的项的是（ ）
A．B．C．3D．
4．如图，在三棱锥中，点满足，则（ ）
A．B．C．D．2
5．设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．51B．C．17D．34
6．已知，经过两点的直线方程都可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数为奇函数，则（ ）
A．20B．10C．21D．11
8．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ）
A．7B．6C．5D．
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知圆和圆，则（ ）
A．圆与圆内切
B．两圆的公共弦所在的直线方程为
C．圆与轴相切
D．是圆与圆的一条公切线
10．已知是数列的前项和，，则（ ）
A．是等差数列B．
C．是递减数列D．的最小值为
11．在三棱锥中，和均为等边三角形，，则（ ）
A．平面平面
B．若为的中点，为的重心，则平面
C．直线与平面所成的角为
D．三棱锥的外接球的表面积为
12．按下列规律构造数列，即.记为数列的前项和，则（ ）
A．
B．使得成立的最小整数为46
C．
D．使得成立的最小整数为53
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知分别是椭圆的左､右两个焦点，点是椭圆上一点.若，则椭圆的离心率为 .
14．5名学生的期中考试数学成绩分别为，若这5名学生成绩的第60百分位数为111，则 .
15．已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为 .
16．已知抛物线的三个顶点都在上，且的重心为的焦点，若的面积分别为，且，则点到的准线的距离为 .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相交于两点，求.
18．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且点是上一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，且的中点在直线上，证明：直线的斜率为定值.
20．如图，在直四棱柱中，.
(1)证明：.
(2)若，四边形的面积为，求平面与平面夹角的余弦值.
21．已知数列满足.
(1)若为等比数列，求的通项公式；
(2)若的前项和为，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
22．动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹为.
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)若过的直线与交于两点，点是上一点，的最大值为，最小值为，且成等比数列，求的方程.
参考答案与解析
1．B
【分析】求出集合，由交集的定义求解即可.
【解答】依题得:，
则.
故选：B.
2．A
【分析】写出双曲线左顶点坐标以及渐近线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得答案.
【解答】因为双曲线的左顶点为，渐近线方程为，
所以双曲线的左顶点到其一条渐近线的距离为，
故选：A
3．A
【分析】根据递推公式判断数列周期性进而求解答案.
【解答】由题意得，，
所以为周期数列，且周期为4，
则不是中的项.
故选：A
4．D
【分析】根据空间向量的运算，求出以为基底的向量，进而求出的值，再计算,判断选项.
【解答】因为,,
则，
所以，故.
故选：D
5．D
【分析】由等差数列基本量的计算以及等差数列求和公式即可求解.
【解答】由，可得，所以.
故选：D.
6．C
【分析】对参数是否为0进行分类讨论，将直线方程的不同形式进行比较即可得出结果.
【解答】当都不为0时，所有经过两点的直线方程均可以用表示，
即，
当中有一个为0时，只有选项符合题意，
故选：.
7．C
【分析】根据为奇函数，得到，进而得到，求出答案.
【解答】因为为奇函数，所以，
即，
令，
则，
两式相加得所以，即.
故选：C
8．B
【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.
【解答】由圆可化为，则，半径为1，
因为是的下焦点，则，
由双曲线定义可得，
所以，
当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是.
故选：B.
9．CD
【分析】根据直线与圆位置关系、圆与圆的位置关系，两圆公共弦方程和公切线等知识直接计算求解即可.
【解答】圆可化为，
则圆心的坐标为，半径为2，则圆与轴相切，故C正确；
因为圆的圆心的坐标为，半径为，，
所以，所以圆与圆相交，故A错误；
因为圆，圆：，
将两圆的方程作差得，即两圆的公共弦所在的直线方程为，故B错误；
当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为，则有，
得，所以或（舍去），故，
所以公切线的方程为或，故D正确.
故选：BD
10．AD
【分析】根据递推公式可证明是公差为1的等差数列，可得为递增数列，所以A正确，B错误，C错误；显然当时，，当时，，所以的最小值为，D正确.
【解答】由，可得，
即是首项为首项，公差为1的等差数列，
所以，则是递增数列，且，
当时，，当时，，则的最小值为，
故选：AD
11．ACD
【分析】取为的中点，连接，利用已知求出，再逐项分析计算、判断即得.
【解答】在三棱锥中，和均为等边三角形，取为的中点，连接，
则，由，得，
显然为平面与平面所成二面角的平面角，且，
则，因此平面平面，A正确；
由为的重心，得，而为的中点，显然不平行于，
则不平行于平面，B错误；
显然平面，即为直线与平面所成的角，则，C正确；
由，得三棱锥的外接球的球心为，半径为1，其表面积为，D正确.
故选：ACD
12．BCD
【分析】根据题意，由数列中数字的排布规律，结合等差数列和等比数列的求和公式，以及乘公比错位相减法求和，根据选项，逐项判定，即可求解
【解答】根据题意，数列为，
因为，
当时，，当时，66，所以第60个数为，
又因为，所以使得成立的最小整数为；
又由前60个数的和为，
令，
则，
所以,
所以，
所以，
即.
当时，，所以，
令，解得，所以使得成立的最小整数为.
故选：BCD.
13．
【分析】根据题意，利用椭圆得到定义，求得，再在直角中，结合勾股定理，列出方程，即可求解.
【解答】因为且，所以，
由椭圆的定义，可得，所以，
在直角中，可得，即，解得，
即椭圆的离心率为.
故答案为：.
14．112
【分析】由百分位数的定义求解即可.
【解答】由，将成绩从小到大排列，
得第60百分位数为第三个成绩和第四个成绩的平均数，
所以，解得.
故答案为：112
15．
【分析】先根据求出的范围，再利用函数与方程的关系，将函数零点问题转化成相关的两函数图像的交点问题，借助于三角函数的图像观察即可确定参数范围.
【解答】因，则，结合正弦函数的图像知，要使函数在上恰有2个零点，
须使函数与直线在上恰有两个交点，即使，解得.
故答案为：.
16．
【分析】画出图形利用的重心坐标可得，再由面积表达式可得，构造方程可解得，即可求得结果.
【解答】根据题意易知,
设三点的坐标分别为，如下图所示：
则，
由的重心为的焦点可得，即，
易知，所以，同理可得；
所以，
解得，
因此点到的准线的距离为.
故答案为：.
【点拨】关键点拨：本题关键在于根据三角形重心为抛物线焦点，由坐标表示以及面积公式构造方程即可解得.
17．(1)
(2)
【分析】（1）首先圆心坐标满足，结合圆与轴相切于点可得，由此即可得解.
（2）由点到直线的距离公式、弦长公式依次求解即可.
【解答】（1）设圆的方程为，则.
因为圆与轴相切于点，所以，
所以，
故圆的方程为.
（2）圆心到直线的距离为，
则.
18．(1)
(2)
【分析】（1）当时，；当时，作差可得，求出结果即可；
（2）采用裂项相消法求和即可.
【解答】（1）当时，，
当时，由.
又，符合，
所以数列的通项公式为.
（2），
则
.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由渐近线方程设出双曲线的方程，再代入点的坐标，求出答案；
（2）得到的中点坐标，得到，结合，两式相减后得到直线的斜率为4，求出答案.
【解答】（1）由题可设双曲线的方程为，
将点代入上式，得，
所以双曲线的方程为.
（2）设，则的中点坐标为，
所以，
因为，
两式相减得，
所以，则直线的斜率为4，为定值.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，由题意可得，进而，可得，利用线面垂直的性质与判定定理可得，即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，由四边形的面积可得，利用空间向量法求解面面角，即可求解.
【解答】（1）连接，设与相交于点，因为，所以，
所以，又，所以，
所以，又，所以，即.
因为平面平面，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，
所以，因为，所以.
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
由题可知，四边形的面积为，解得
.
所以，
易知为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
则取，得，则，
所以.
故平面与平面夹角的余弦值为.
21．(1)
(2).
【分析】（1）设等比数列的公比为，赋值计算求出，，从而求出通项公式；
（2）并项求出，然后利用二次函数求最值，求出的取值范围.
【解答】（1）设等比数列的公比为，由题可知，
所以，
由可得，则，
所以.
（2）
，
，
由对于任意恒成立，
所以只要求解，
当时，取得最小值
所以，
即实数的取值范围为.
22．(1)，曲线是焦点在轴上的椭圆.
(2).
【分析】（1）由题可知利用距离之比代入化简即可得曲线的方程为；
（2）依题意可知，设直线与椭圆方程联立，利用韦达定理由等比数列性质可求得，解方程可求得的方程为.
【解答】（1）设点，根据题意可得，
化简得，即.
故曲线是焦点在轴上的椭圆.
（2）由题可知，所以，
当垂直于轴时，，此时不成等比数列，故的斜率存在.
如图所示：
设的方程为，则，
所以.
联立整理得，
则，
因为成等比数列，所以，
即，可得，
所以，解得，
因此的方程为.