2023-2024学年河南省郑州市新郑市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州市新郑市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.不等式−2x<4的解集在数轴上可表示为( )
A. B.
C. D.
2.对任意整数n，(2n+1)2−25都能( )
A. 被3整除B. 被4整除C. 被5整除D. 被6整除
3.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是( )
A. AB平分∠CADB. CD平分∠ACBC. AB⊥CDD. AB=CD
4.下列运算正确的是( )
A. 3b4a⋅2a9b2=b6B. 13ab÷2b23a=b32
C. 12a+1a=23aD. 1a−1−1a+1=2a2−1
5.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE=12BC，则∠AFE=( )
A. 100∘
B. 105∘
C. 110∘
D. 115∘
6.若一个多边形的内角和与外角和之差是720∘，则此多边形是( )边形.
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.已知关于x的不等式x−m≥0的负整数解只有−1，−2，−3，则m的取值范围是( )
A. −48.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间没有空隙、也不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌.下列形状的瓷砖，不可以镶嵌平面的是( )
A. 正方形B. 长方形C. 正六边形D. 正八边形
9.定义运算“※”：a※b=aa−b,a>bbb−a,aA. 52B. 52或10C. 10D. 52或152
10.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A(0,2)，B(−3,−1)，AD=6，且AD//x轴．将▱ABCD沿y轴向上平移，使点C的对应点C′落在对角线BD上，则平移后点D的对应点D′的坐标为( )
A. (6,2)B. (6,3)C. (6,4)D. (8,4)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.要使分式1−x1+x有意义，则x的取值范围是______.
12.鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在______范围内．
13.如图，在▱ABCD中，∠C=120∘，AB=2，AD=2AB，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______.
14.如图，一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点B(1,32)，且分别交x轴于点A(−2,0)，点C(3,0)，则0≤kx+b≤mx+n的解集______.
15.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，且BP= 3，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，CQ，当AQ=CQ时，AQ的长为__________ .
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
16.先化简(x2−4x2−4x+4−12−x)÷1x2−2x，再在0，−1，2中选取一个适当的数代入求值．
17.某公司研发生产的560件新产品需要精加工后才能投放市场．现由甲、乙两个工厂来加工生产，已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的1.5倍，并且加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天．
(1)求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品？
(2)若甲工厂每天的加工生产成本为2.8万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元要使这批新产品的加工生产总成本不超过60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
四、解答题：本题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
下面是小明作业本上解不等式组{2x−13>3x−22−1①2x−4⩾−(x+1)②的部分过程，请认真阅读，完成相应任务.
任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：不等式②的解集是______；
直接写出这个不等式组的整数解是______.
任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下.(至少说两条)
19.(本小题9分)
若关于x的分式方程xx−1+1=m1−x的解为非负数，求m的取值范围.
20.(本小题9分)
请你完成命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的证明.
(提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.)
21.(本小题9分)
也许你会认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴藏着许多不为人知的奥妙.比如任意写下四个连续自然数，通过计算你会发现它们的积与1的和均能表示为一个自然数的平方，请你解释这其中的道理.
(温馨提示：字母具有一般性，借助字母进行推理能够说明规律的合理性.)
22.(本小题9分)
如图，▱ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F，在BD上找点M，N(点N在点M下方)，使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形.
(1)在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是______.
A.甲、乙、丙
B.只有甲、乙
C.只有甲、丙
D.只有乙、丙
(2)选择(1)中一个正确的方案进行证明.
23.(本小题10分)
综合与实践：
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：(1)基础计算：边长为2的等边三角形的面积为______；
(2)实践操作：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=4，AC①探究面积：记△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的值为______；
②深入探究：请证明四边形CDFE是平行四边形，并求∠CEF的度数.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：不等式−2x<4的解集为x>−2，在数轴上表示，如图所示：
故选：A.
求出不等式的解集，然后再在数轴上表示不等式的解集即可．
本题主要考查了解不等式并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是准确求出不等式的解集，注意不等式两边同除以或乘以同一个负数，不等号方向发生改变．
2.【答案】B
【解析】解：∵(2n+1)2−25=(2n+1)2−52=(2n+1−5)(2n+1+5)=(2n−4)(2n+6)=4(n−2)(n+3)，
∴对任意整数n，4都是4(n−2)(n+3)的一个因数，
∴对任意整数n，(2n+1)2−25都能被4整除，
故选：B.
先利用平方差公式因式分解可得(2n+1)2−25=4(n−2)(n+3)，因此对任意整数n，4都是4(n−2)(n+3)的一个因数，据此即可得出答案．
本题考查的是因式分解的应用，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：由作图知AC=AD=BC=BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB=CD，
故选：D.
根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．
4.【答案】D
【解析】解：3b4a⋅2a9b2=16b，故选项A错误；
13ab÷2b23a=13ab⋅3a2b2=12b3，故选项B错误；
12a+1a=12a+22a=32a，故选项C错误；
1a−1−1a+1=a+1−(a−1)(a+1)(a−1)=a+1−a+1(a+1)(a−1)=2a2−1，故选项D正确；
故选：D.
根据分式的乘除法和加减法可以计算出各个选项中式子的正确结果，从而可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60∘，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BAD=12∠BAC=30∘，AD⊥BC，BD=CD=12BC，
∴∠CDE=90∘，
∵DE=12BC，
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=45∘，
∴∠AEF=∠DEC=45∘，
∴∠AFE=180∘−∠BAD−∠AEF
=180∘−30∘−45∘
=105∘，
故选：B.
根据等边三角形的性质得到∠BAC=60∘，∠BAD=12∠BAC=30∘，AD⊥BC，BD=CD=12BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC=∠DCE=45∘，根据三角形的内角和定理即可得到答案．
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720∘，多边形的外角和是360∘，
∴这个多边形的内角和为720∘+360∘=1080∘，
设多边形的边数为n，
则(n−2)×180∘=1080∘，
解得：n=8，
即多边形是八边形，
故选：C.
先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．
本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=(n−2)×180∘，多边形的外角和等于360∘.
7.【答案】B
【解析】解：∵x−m≥0，
∴x≥m，
∵不等式的负整数解只有−1，−2，−3，
∴−4故选：B.
解不等式得出x≥m，由不等式的负整数解为−1，−2.−3知−4本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式的整数解情况得出关于m的不等式组．
8.【答案】D
【解析】解：A、正方形的内角为90∘，360∘÷90∘=4(个)，所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360∘，不符合题意；
B、长方形的内角为90∘，360∘÷90∘=4(个)，所以4个长方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360∘，不符合题意；
C、正六边形的内角为120∘，360∘÷120∘=3(个)，所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360∘，不符合题意；
D、正八边形的内角为135∘，360÷135∘=223，所以正八边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360∘，符合题意；
故选：D.
进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360∘，因此我们只需验证360∘是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
本题考查了平面镶嵌(密铺)，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了新定义，解分式方程，有理数的混合运算，正确掌握解分式方程的方法是解题的关键．
分别讨论5>x和5【解答】
解：若5>x，即x<5时，
原方程可整理得：
55−x=2，
方程两边同时乘以5−x得：
5=2(5−x)，
解得：x=52，
经检验：x=52是原方程的解，且52<5，即x=52符合题意；
若55时，
原方程可整理得：
xx−5=2，
方程两边同时乘以x−5得：
x=2(x−5)，
解得：x=10，
经检验：x=10是原方程的解，且10>5，即x=10符合题意，
综上所述x的值为52或10.
故选：B.
10.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD的顶点A(0,2)，B(−3,−1)，AD=6，且AD//x轴，
∴D(6,2)，BE=3，OE=1，BC=AD=6，
∴CE=BC−BE=6−3=3，
∵▱ABCD沿y轴向上平移，
∴CC′//y轴，
∴OE是△BCC′的中位线，
∴CC′=2OE=2，
∴D′(6,4).
故选：C.
由平行四边形的性质可求解D(6,2)，BE=3，OE=1，BC=AD=6，即可得CE=3，结合三角形中位线的性质可求得：CC′=2OE=2，再利用坐标与图形变化-平移的性质可求解D点坐标．
本题主要考查坐标与图形的变化-平移，平行四边形的性质，求解C′点坐标是解题的关键．
11.【答案】x≠−1
【解析】解：由题可知，
要使分式有意义，
则1+x≠0，
即x≠−1.
故答案为：x≠−1.
根据分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．
12.【答案】20≤x≤25
【解析】解：由题意得：20≤x≤2819≤x≤25，
解得：20≤x≤25，
故答案为：20≤x≤25.
根据题意列出不等式组，求不等式解集的公共部分即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解．
13.【答案】 32
【解析】解：如图，连接AG，过点A作AG′⊥BC于G′，
∵点E为AH的中点，点F为GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴EF=12AG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180∘，
∵∠C=120∘，
∴∠B=60∘，
∴∠BAG′=30∘，
∴BG′=12AB=1，
由勾股定理得：AG′= AB2−G′B2= 3，
由垂线段最短可知，当点G在G′位置时，AG最小，
∴EF的最小值为 32，
故答案为： 32.
连接AG，过点A作AG′⊥BC于G′，根据三角形中位线定理得到EF=12AG，根据直角三角形的性质求出BG′，根据勾股定理求出AG′，进而求出EF的最小值．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、垂线段最短，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】1≤x≤3
【解析】解：∵直线y=kx+b与直线y=mx+n相交于点B(1,32)，交x轴于点B(3,0)，
∴不等式0≤kx+b≤mx+n的解集是1≤x≤3，
故答案为：1≤x≤3.
看两函数交点坐标右边x轴以上的图象所对应的自变量的取值即可．
本题主要考查两条直线相交或平行问题，一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
15.【答案】 7或 31
【解析】解：如图，延长BQ交AC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，
∵AQ=CQ，
∴BQ垂直平分AC，
∴AH=CH=2，∠ABH=30∘，
∴BH= 3AH=2 3，
∵将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BP=BQ= 3，
当点Q在线段BH上时，QH=BH−BQ=2 3− 3= 3，
∴AQ= AH2+QH2= 22+( 3)2= 7，
当点Q在线段HB的延长线上时，QH=BH+BQ=2 3+ 3=3 3，
∴AQ= AH2+QH2= 22+(3 3)2= 31，
故答案为： 7或 31.
由等边三角形的性质可得AB=BC=AC=4，AH=CH=2，BH= 3AH=2 3，分两种情况讨论，先求出QH的长，由勾股定理可求解．
本题考查等边三角形中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质和勾股定理的应用．
16.【答案】解：原式=(x+2x−2+1x−2)÷1x(x−2)
=x+3x−2×x(x−2)
=x(x+3)，
∵x≠0，x≠2，
∴当x=−1时，原式=−(−1+3)=−2.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再在0，−1，2中选取一个适当的数代入求值即可．
本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意x≠0，x≠2.
17.【答案】解：(1)设乙工厂每天可加工生产x件新产品，则甲工厂每天可加工生产1.5x件新产品，
根据题意得：2401.5x+4=240x，
去分母得：240+6x=360，
解得：x=20，
经检验x=20是分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x=30，
则甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30件、20件新产品；
(2)设甲工厂加工生产y天，
根据题意得：2.8y+2.4×560−30y20≤60，
解得：y≥9，
则少应安排甲工厂加工生产9天．
【解析】(1)设乙工厂每天可加工生产x件新产品，则甲工厂每天可加工生产1.5x件新产品，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
(2)设甲工厂加工生产y天，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．
此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
18.【答案】2 5 不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变 x≥1x=1
【解析】解：任务一：小明的解答过程中，第2步是依据乘法分配律进行变形的；第5步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；
故答案为：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；
任务二：不等式①的解集是x<2，
不等式②的解集是x≥1，
直接写出这个不等式组的整数解是x=1；
故答案为：x≥1，x=1；
任务三：不唯一，如不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变：去分母时不要漏乘；移项要变号．
任务一：根据去括号法则判断即可，根据不等式的基本性质判断即可；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
任务三：按照解一元一次不等式组的步骤，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：xx−1+1=m1−x，
两边同乘(x−1)，得：x+x−1=−m，
移项，合并同类项得：2x=1−m，
系数化为1得：x=1−m2，
∵原分式方程的解为非负数，
∴1−m2≥0，且1−m2≠1，
解得：m≤1且m≠−1，
∴m的取值范围为m≤1且m≠−1.
【解析】先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
此题主要考查了解分式方程及分式方程的解，掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键．
20.【答案】解：已知：如图，△ABC中，AB=AC，MC，NB分别为AB边与AC边上的中线，
求证：CM=BN.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线，
∴MB=12AB，CN=12AC，
∴MB=CN，
在△MBC和△NCB中，
MB=NC∠MBC=∠NCBBC=CB，
∴△MBC≌△NCB(SAS)，
∴CM=BN.
【解析】根据题意写出已知、求证，利用SAS证明△MBC≌△NCB，根据全等三角形的性质求证即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：设四个连续自然数为 n，n+1，n+2，n+3，
则n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2，
∴任意四个连续自然数积与1的和均能表示为一个自然数的平方．
【解析】设四个连续自然数为 n，n+1，n+2，n+3，根据完全平方公式即可得出答案．
此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则和公式是解本题的关键．
22.【答案】A
【解析】解：(1)甲、乙、丙的方案都正确，
故答案为：A；
(2)选择甲方案证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
∠AOE=∠COFAO=OC∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
又∵OB=OD，BN=DM，
∴OB−BN=OD−DM，
∴ON=OM，
∴四边形EMFM是平行四边形．
(1)根据平行四边形判定和性质定理判断即可；
(2)根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，AD//BC，求得∠EAO=∠FCO，根据全等三角形的性质得到OE=OF，求得ON=OM，根据平行四边形的判定定理得到四边形EMFM是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
23.【答案】 3 4 3
【解析】解：(1)∵a=2，
∴S= 34a2= 34×22= 3，
故答案为： 3；
(2)①∵S1= 34AC2，S2= 34BC2，
∴S1+S2= 34AC2+ 34BC2= 34(AC2+BC2)，
∵∠ACB=90∘，AB=4，
∴AC2+BC2=AB2=16，
∴S1+S2= 34×16=4 3，
故答案为：4 3；
②证明：∵△BCE和△ABF是等边三角形，
∴AB=FB，CB=CE，∠ABE=∠CBE=∠CEB=60∘，
∴∠ABE−∠CBF=∠CBE−∠CBF，
∴∠ABC=∠FBE，
∴△ABC≌△FBE(SAS)，
∴AC=FE，∠ACB=∠FEB=90∘，
∴∠CEF=∠FEB−∠CEB=30∘，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
∴CD=FE，
同理可得CF=CE，
∴四边形CDFE是平行四边形．
(1)根据等边三角形面积公式计算即可；
(2)①S1= 34AC2，S2= 34BC2，AC2+BC2=AB2=16，即可得出答案；②证明△ABC≌△FBE，求出∠CEF的度数；证明CD=FE，CF=CE，得到四边形CDFE是平行四边形．
本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握手拉手全等模型是解题的关键．解：由不等式①，得
2(2x−1)>3(3x−2)−6…第1步
∴4x−2>9x−6−6…第2步
∴4x−9x>−6−6+2…第3步
∴−5x>−10…第4步
∴x>2…第5步